数学学科的本质，就是教给学生解决生活实际中问题的能力，引导学生建立严谨的逻辑思维习惯、科学态度。然而，小学数学知识大部分只强调学生用所学知识解决生活中的问题，培养学生严谨的思维能力和科学态度方面则相对较匮乏。还有部分教师在教学过程中只重视科学知识的传授，以题海战术为手段，最终为了迎合考试，而让数学课堂变得枯燥乏味，甚至偏离了数学课堂的本质。作为培养下一代社会全面的建设人才来讲，我想失去了思维能力和创新研究的人才，一定只是些机械的“蠢材”吧！为此，强烈建议教师，不要在数学课堂中把孩子们变成“计算器”“打字机”“搬运工”……我们要充分挖掘教材中的内容，让孩子们形成良好地解决问题的思维习惯，总结一套高效的学习方法，更要让孩子们对科学知识产生浓厚的学习兴趣，建立良好的科学研究态度。下面我将个人在工作中的几个案例展示给大家，共同探讨：
案例一：在教学“有余数的除法”时，教材中强调余数一定要比除数小。很多教师在这里都是采取让学生死记硬背的办法，并在随后的练习巩固中进一步强化。我讲到这里时提出了这样一个问题：“同学们，大家想一想为什么余数一定要比除数小呢？请大家独立思考后在将自己的意见和同桌交流。”很多学生冥思苦想，一筹莫展。几分钟过去了情况依旧，我知道他们是没办法独立完成了，于是便叫停了，让他们反过来这样想：“如果余数可以比除数大或可以和除数相等，那么81÷2可以怎么算？大家拿出作业本自己试着找答案，看谁找的答案多。”只见学生争先恐后地找着答案，有的学生已经开始小声讨论了。忽然有个学生举手，我试着让他回答。他说：“老师，我知道为什么余数一定要比除数小了，因为如果余数可以比除数大或相等的话，那么就有很多个答案，这个算式的答案就不确定了，这样就无法进行准确的机算了。”同学们深有同感，向他报以热烈的掌声。
案例二：在教学除法算式中，除数不能为“0”时，我也没有让学生简单的死记硬背，而是提出一个问题：“同学们你们想一想除数为什么不能为0？”教室里学生依旧苦着脸，有的紧锁眉头，有的抓耳挠腮，不知从何入手。紧接着我提出了下一个问题：“请同学们看黑板上的两个算式‘0÷0=’和‘108÷0’学生们拿起笔开始计算了。不一会儿学生们开始讨论了，“我的第二个算式怎么找不到答案”“我写了好多答案验算都不对”……我知道学们已经可以确定原因了。于是我顺势作了总结：如果除数是“0”,当被除数是“0”时，大家的答案是多少都对，因为验算都是正确的，但这个无限答案的算式显然就失去了意义；当被除数不是“0”而是其他数时，你们能找到答案吗？验算一下对吗？对！无法找到正确答案，这个算式也失去了意义，所以“0”不能作为除数。其实从除法的意义上讲，如果除数是“0”，就表示把单位整体分成“0”份，“0”份即一份也没有，分都没分怎么知道是多少？
案例三：在教学“圆的周长”时，我给学生们布置了这样的家庭作业：“地球赤道的半径a是6378.14公里，如果我们在离地球一米的地方画一个圆，这个圆的周长比地球赤道的周长多多少米”？请同学们回家计算，明天来和大家交流。当时，我听到不少学生在议论：“哇，不晓得有好多米了？”第二天，早早地就有学生到办公室找我，“老师你昨天给我们布置的家庭作业数字太大了，我无法计算，干脆把答案告诉我吧!”我故意卖了个关子，自己找答案吧!只见孩子们个个遗憾地走出了办公室，在教室里又展开了激烈的讨论。上课了，学生迫不及待地请我给大家讲解昨天的家庭作业。我走上讲台，在黑板上写出“6.28米”。孩子们个个瞪大了眼睛说：“老师不对吧，这么大个圆就只多出6.28米，怎么可能呢？”这时有个同学说，我用计算器算了是6.28米，但我不敢讲，觉得太不可思议了。我说：“看来有些同学还是没有动脑筋啊!听我来讲解吧!”圆的周长公式是：C＝2πr，那么地球赤道的周长是：C＝2πa，而地球赤道外一米的周长是：C＝2π（a+1），可分解为C＝2πa+2π，大家比较一下是不是只是多了2π，即6.28米。孩子们立即恍然大悟。我又补充道其实任何圆的半径增加1米，周长都增加6.28米。在日常生活中小圆的半径增加1米，我们可以看见明显的变化，可是地球赤道的半径增加1米，在宇宙中观察就犹如沧海一粟，看不出变化，这也是学生以后要学习的相对论。
（作者单位 四川省乐山市峨边县大堡小学）
一、在认知冲突中矫正意识
【案例1】教学有余数的除法时，有一填空题：32.6÷2.3=（ ）……（ ），练习后发现大部分学生的答案是错误的，不少同学得出的商是14，余数是4。
订正路径：学生在问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了几种判断错误的方法：余数4与除数2.3比，余数比除数大，说明是错误的。由于计算时，被除数和除数同时扩大了10倍，商里的小数点不能忘记，余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，正确的余数应把4缩小10倍，得0.4。
反思：练习出现的错误，是直接反映学生学习情况的生成性教学资源。教师要引领学生进行新的探索和实践，引导学生从不同的角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题、解决问题，经历对问题的自我否定的过程，培养学生的发现意识，促进学生的思维发展。
二、在对比分析中获得方法
【案例2】计算（能简算的一定要简算）：5÷（+）。由于受乘法分配律的干扰和“能简算的一定要简算”字样的诱导，大多数学生的计算过程如下：
5÷（+）=5÷+5÷=25+50=75
订正路径：在课堂练习后，我出示：12÷（1+2），学生都乐了：老师怎么出这么简单的问题啊？我追问道：还可以应用运算定律计算这题吗？学生跃跃欲试，犹豫不定后还是放下了。最后，我说，有些同学是这样算的：12÷（1+2）=12÷1+12÷2=18。教室里一片笑声。我引导学生比较12÷（1+2）和5÷（++），在交流中一位学生说道：“a×（b+c）=a×b+a×c，但是a÷（b+c）≠a÷b+a÷c。在除法运算中，做除数的那部分不能被拆开。”
反思：这里学生出现错误是受乘法分配律的影响，习惯性地去掉括号，被除数分别除以括号中的两个数，自认为这样能使计算简便些。这些其实是由于学生的思维定式引起的干扰性错误，是学习上的负迁移。因此，在教学简便计算时，最好让学生理解算理，呈现给学生的应是对比习题，让学生知道有些习题通过运用运算定律能使计算简便，让学生通过对比练习理解算理，从而更好地掌握简便的计算方法。
三、在交流展示中建立联系
【案例3】判断题：甲的与乙的相等，则甲大于乙（甲、乙均不为0）（ ）。
订正路径：（1）假设等式左右两边的结果都等于“1”，那么，甲就是4，乙就是5，这就与倒数的意义有关了。（2）通过画线段图的方法展示思路，本题的重点是考查学生对“一个数的几分之几”意义的理解。（3）还可以将原有的问题转化成甲∶乙=∶=4∶5，涉及比例的基本性质。（4）假设其中一未知数为一定的数量，然后算出另一个数，再进行比较即可。（5）因为甲×=乙×，而要保证等式的左右两边是相等的，甲一定大于乙。
反思：数学知识具有整体的关联性，知识点之间是互相渗透的，一个问题常常可以用多种方法解决。在帮助学生订正的环节中，要关注学生回答问题的思考过程，要突出解题方法的发展性、可选择性，让学生在发表各自想法的交流和思维碰撞中建立知识的联系。这样的错例分析比解决几道题更有价值，对学生的后续自主学习能起到促进作用。
四、在自我佐证中建构知识
【案例4】求一个直径是6厘米的半圆的周长。
这是五年级下学期“圆的认识”课后的一道练习题。练习时，不少学生计算出的是直径是6厘米的圆的周长的一半。
订正路径：对于学生的错误，我将原题抄在黑板上，画一个封闭的半圆，问：你想让错误的答案变成正确吗？那只有把题目改了：求一个直径是6厘米圆周长的一半。我用手遮去了封闭的半圆中的那条直径，学生似乎一下子就明白了：半圆的周长是圆周长的一半加上直径。最后，引导学生比较原题与改后题目的异同，不知不觉中教育学生要养成认真审题、仔细做题的好习惯。
一、巧用错误资源，培养发现意识
在课堂教学中，学生出现思维上的差错并不奇怪，关键在于教师如何利用这一错误资源启发学生从思维的低谷中跳出来，重新审视，找出思维链中的障碍点，由无意识活动转为有意识活动，由形象思维向抽象思维过渡，其中的传媒就是顿悟。 因此，教师要创设自主探究的问题情境，激起学生思维的波澜，让他们在错误思维中突发奇想，在正确思维中突破常规，在常规思维中高峡急转……只有这样，才能深化对知识全方位的理解，才能有效培养学生的发现意识。
案例1：在教学《有余数的小数除法》后，出示填空题：0.69÷0.13=5……(),大部分学生填的是“4”。教师不急于评判，而让学生展开讨论，判断答案是否正确。并进一步追问，是怎样发现错误的。生（1）：余数4与除数0.13比，余数比除数大，说明填“4”是错误的。生（2）：余数4与被除数0.69比，余数比被除数大，说明填“4”是错误的。生（3）：验算：5×0.13+4≠0.69，说明填“4”是错误的。于是，与学生一起步入思维的正确轨道：计算时，被除数和除数同时扩大100倍，商不变。而余数是被除数扩大100倍计算后余下的，因此余数应缩小100倍，为0.04。
二、巧用错误资源，培养创新意识
在课堂教学中，经常会有学生回答错误或理解错误。作为教师，不要急于用自己的思想去“同化”学生的错误观
点、错误答案，而应分析学生错误思路的源头，把握其错误思想的运行轨迹，然后加以正确引导，让他们在错误的思维中茅塞顿开。这样，错误也就成了一种可以利用的教学资源。
案例2：教学《两位数减一位数退位减法》。师：65-9=？。生（1）：“65－9=64。”师：怎样想的？生（1）：因为个位5-9不够减，所以用9-5=4，再与十位上的6合起来就是64。师：果真如此吗？这时，好像在平静的湖面上扔下一颗小石子，激起思维的涟漪。学生们想出了各种各样的办法：第一种算法，先算60-9=51，再算51+5=56；第二种算法：15-9=6，50+6=56；第三种算法：先算10-9=1，再算1+55=56……还有一个学生迫不及待地说：“我想用9-5=4也行，因为5比9少4，所以再从60里去掉4就可以了。”多么独特的方法！可见孩子们的思维方式与大人的思维习惯有时是不同的。他们更习惯于用比较的方法去想。由此看来，“9-5=4”的思路也是可以想象的。
三、巧用错误资源，培养反思能力
经验告诉我们：学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须有一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反思为前提。利用学生学习上的错误，及时引发学生思想内部冲突，求得学生去伪存真的认识，乃是问题解决的动因。从而，达到有效地培养学生自我反思能力的目的。
关键词：小学教学；计算教学；有效利用；错误资源
小学生在数学计算学习中，由于知识背景、思维方式以及表达方式的不成熟，不可避免地会出现一些偏差和失误，作为教师，除了以平和的心态来对待这些出现的错误外，更要将这些错误当成宝贵的教学资源来引导学生，让学生自己发现错误，分析错误从而得出正确的答案。笔者在实际教学工作中，利用学生在学习中出现的错误总结出以下几点教学经验：
一、利用错误，激发学生的学习兴趣
教室就是出错的地方，学生在答题时出现错误是很正常的。而如何处理学生的错误就是对教师能力的考验了。如果教师对这些错误处理的简单粗暴则会严重挫伤学生学习的积极性，相反，如果注重倾听，让学生充分展示自己的思维过程，引导学生走上正确的思维方式，就能激发学生的学习兴趣。
举例：5.6-5.6×0.5=？
学生甲：等于0，因为5.6-5.6×0.5=0×0.5=0。
学生乙：等于2.8,因为5.6-5.6×0.5=5.6-2.8=2.8。
“到底哪一种答案是正确的？”于是又将问题还给学生，学生们便各抒己见，热情高涨。
经过学生们的充分分析和讨论，便马上得出第一种算法是错误的。同时为了进一步提高学生的学习兴趣，笔者便又结合生活，创造情景，例如：妈妈带着5.6元买了0.5千克的水果，每千克的水果是5.6元，妈妈还剩多少钱。这样便立即将枯燥的计算变为生动的生活实例，在加深学生印象防止后期出现相似错误的同时，也大大提高了学生的学习兴趣。
二、利用错误，培养学生的发现意识
培养学生的发现意识，让学生养成主动思考、主动学习的良好学习习惯是教学的重要目标之一。在教学工作中，利用学生学习中出现的错误，给学生假设一个自主研究的问题情景，让学生在修正错误的过程中，自主的发现问题、解决问题，来培养他们发现问题的能力。
举例：计算27.9÷2.3等于多少，并要求对结果进行验算。
结果很多学生得出的结果是错误的，有的学生得出的商是1.2,有的学生得出的余数是3。针对这一典型的错误，笔者还是把问题抛给学生，让学生自己判断答案是否正确，如果是错误的，是通过什么样的方法发现的。学生便在启发性问题的引导下，积极主动地去思索发现，很快就找到了3种方法来判断答案是否正确：
1.余数3比除数2.3大，说明余数是错误的。
2.通过验算：1.2×2.3+0.3≠27.9，说明商是错误的。
3.通过验算：12×2.3+3≠27.9,说明余数是错误的。
紧接着，笔者再帮助学生分析，找出正确的商和余数，计算时，被除数和除数同时扩大10倍，商里的小数点也要扩大10倍，得12；余数是被除数扩大10倍计算后余下的，所以余数也扩大了10倍，正确的余数就要把3缩小10倍，得0.3。
通过上面的举例，我们可以得出，教师可利用课堂中的错误例子，充分挖掘错误中潜在的智力因素，提出具有针对性和启发性的问题，创立一个自主探索的问题，来引导学生从不同角度来发现问题，引发学生的质疑精神，并让学生在纠正错误的过程中自主地发现问题、思考问题、解决问题，深化对知识的理解和掌握，培养学生的发现能力。
三、利用错误，拓宽学生的思维方式
在课堂上，当学生出现错误时，教师也可以借机创造性地处理教材，结合学生的认知规律、生活经验和社会实践，来拓展学生的视野和思维。
举例：笔者在让学生对3.4×9.9进行演算时，发现了以下几种错误演算方法。
（1）3.4×9.9
=3.4×（9.9+0.1）
=3.4×10-3.4×0.1
=34-0.34
=33.66
（2）3.4×9.9
=3.4×10+3.4×0.1
=34+0.34
=34.34
（3）3.4×9.9
＝3.4×（100-1）
＝3.4×100-3.4×1
＝340-3.4
＝336.6
这个演算主要是用来训训练学生对乘法的交换律、结合律、分配律的应用，可是由于教材内容的编排不足、变式不足，导致学生遇到教材稍有不同的变化时就会不知所措。这时，笔者便在教材的基础上对变式进行了补充，出示了以下例题：
0.99=（ ）-（ ），9.9=（ ）-（ ），99=（ ）-（ ），让同学独立思考，发现规律，掌握方法。同时为了学生更好地掌握折算法，又将折算法进行扩充，列出了例如24+9的例题，要求学生用不同的方法计算出来，于是有的学生就把9分成了6和3，先算24加6得30，再算30加3得33；有的把24分成23和1，先算9加1得10，再算23加10得33；也有的把24分成20和4，先算4加9得13，再算13加20得33等等，在学生熟练掌握计算方法的同时也让学生“异想天开”，思维能力得到拓展。
四、结语
在教学过程中，教师应该充分利用学生所创造的错误，经过与学生的沟通交流来引导学生主动思考、发现，并解决问题，这样不仅增强了学生学习的积极性，而且还能培养学生的发现力及思维创新能力。
参考文献：
［1］谭红海.计算教学中如何关注学生思维能力的培养［J］.小学时代：教师，2009（3）.
［2］郭慧.小学低年级计算教学错例分析及有效策略［J］.小学时代：教育研究，2009（11）.
一、“数据收集整理”以解决问题为基础，体现统计全过程及抽样的思想
第一单元例1与例2都从实际问题引入，如要解决“校服选哪种颜色合适？”这个问题，很自然地“要选大多数学生最喜欢的颜色”，这就需要通过调查（即统计）解决问题，进而需要确定统计方案，即确定调查对象（学生）、调查内容（校服颜色）、调查方式（举手）、呈现数据的方法（统计表），对数据进行简单分析，涵盖了统计的各要素，既使学生体验完整的统计过程，又感受统计的作用与价值。
解决问题这一载体也使抽样的思想得到了较好地体现。例如，例1以“全校学生那么多，怎样调查呢？哦，可以先在班里调查”。渗透了抽样的思想（尽管这是非统计抽样）；在简单的数据分析中，以“如果这个班做校服，选择（？摇）色合适。全校选择这种颜色做校服合适吗？为什么？”体现了由于非统计抽样不具有代表性，不能由此推断出全校学生最喜欢的颜色。当然，这里只要学生能体会到“我们班级学生最喜欢的颜色，不一定是全校学生最喜欢的颜色”即可。
二、运算部分重视运算意义和算理的理解
学生初次接触的运算包括“表内除法”和“有余数的除法”。表内除法重在理解平均分含义的基础上理解除法的含义及用乘法口诀计算出商的方法；有余数的除法重在表内除法的基础上理解余数的含义，探索并体会“余数小于除数”的道理，学会利用除法竖式试商。教材的编排体现了以下特点。
1.抓住基本概念，加强对运算意义的理解。
对平均分概念的理解是学生理解除法的重要基础。为此，教材进一步完善了对平均分内容的编排：首先，以开放性的操作活动，让学生通过对比从直观到抽象理解平均分的含义（P8，例1），不断加深平均分活动的相应表象；其次，对于平均分两种情况（即除法的两种现实情境模型）的编排，注重以操作、连线及圈一圈等方式体现平均分的过程，注重呈现平均分的结果，使学生认识到其共同的本质――平均分（P9例2，P10例3），为学生用语言叙述除法算式的含义和用除法运算解决问题做好准备。
2.利用多种表征方式的转换，加深对运算意义的理解。
布鲁纳的多元表征理论认为，对于一个数学概念可以有多种表征方式，多种方式之间要建立联系，才能深化对概念的理解。作为这种理念的体现：除法的编排，注重通过“直观或操作―文字叙述―算式”的方式，生动而严密地阐明除法的含义；有余数除法的编排，注重通过“直观或操作―文字叙述―算式”的方式，以表内除法与有余数除法的对比，使学生理解有余数除法和余数的含义；练习中更是体现了多种表征方式之间的转换，如P16第6、8题，P26第1题等。从而，为促进学生理解运算的含义、探索求商的方法、解决问题等作好铺垫。
3.在探索中加强对算理的理解，体现知识的形成过程。
人教版教材历来重视让学生理解算理，修订教材更为突出。例如，在探索求商方法时（P18，例1），教材以操作为基础呈现了用连减、连加求商的方法，再利用直观图承接连加的思路给出乘法算式，由具体数所表示的意义及其在除法算式中的位置，将乘法算式与除法算式联系起来，进而理解用乘法口诀求商的道理，初步形成算法。后面内容的编排，都以直观支撑加深理解。
有余数的除法中，为使学生更好地掌握试商的方法，为后面多位数的计算做好准备，修订教材新增例4（P63）。这里的试商是建立在学生丰富表象基础上的数学的思维形式，教材以“想”和小精灵的提示呈现了试商的方法（算法），其背后的道理则是在例2（P61）的教学中加以明确的。
混合运算的教学也在一定程度上体现了数学上规定运算顺序的道理。例如，例2（P48）呈现了两种列综合算式的方法（加小括号的、不加小括号的），通过对比体现数学上这样规定的理由以及数学表达的简洁性。
三、图形的运动降低难度，注重语言的规范与科学
根据《课程标准》的要求，本册教材降低了图形运动内容的难度，体现为：（1）不让学生找出并画出一个图形的对称轴；（2）不要求学生画出一个轴对称图形的另一半；（3）不要求学生从量化的角度认识平移（即在方格纸上平移了多少小格）。这些内容都移至第二学段进行教学。
此外，教材通过对用语的规范，较为严格地区分了日常生活中的“现象”与图形的运动。例如，做一做（P29），明确判断“哪些图形”是“轴对称图形”，而不是生活中的实物，不是“对称现象”。便于教师把握教学，避免判断时的困惑。
四、与解决问题适当分开，体现运算顺序的“数学规定性”
“混合运算”中虽然呈现了一些情境，但其目的有二：一是唤起学生已有知识经验，为本单元整理混合运算的知识做好准备；二是为在整理的基础上拓展混合运算的知识提供载体。同时，教材以色框的形式直接呈现了完整的数学上关于混合运算顺序的规定，既使学生有数学上的提升，又避免了教学中存在的一些偏差。
鉴于学生在学习上的定势，教材编排了专门性的练习，如只判断运算顺序的题目、列综合算式的题目等，从多方面培养学生的运算能力。
五、数的认识抓住“十进位值制”这一核心，理解数概念，形成数感
数概念的教学在本册教材中由100以内扩展到万以内，它既是前面数概念学习的拓展，又是后面学习多位数的重要基础。因此，进一步感知、理解“十进制”与“位值制”这两个基本概念就显得非常关键。教材紧扣它们，从计数单位的认识和数数、数的组成、读写数、数的大小比较等方面，引导学生构建与理解数概念。
1.在认识计数单位的基础上充分地数数，进一步认识十进制计数法。
数数需要用到计数单位。1000以内各数要以“一”“十”“百”为单位计数，计数结果是几个百、几个十和几个一的不同组合，10个一百是一千；万以内各数更要以“一”“十”“百”“千”为单位计数……所以，认识万以内各数，首先就是要继续认识计数单位“百”“千”“万”，了解计数单位间的关系，会根据需要用计数单位计数，同时了解数的组成。前面的学习中，学生已初步认识了计数单位“一”“十”“百”，形成了直观、结构化的模型（一根小棒、一捆小棒、一大捆小棒），这里直接利用直观模型，使学生系统地认识计数单位，充分感受“满十进一”的十进制思想，同时突破教学难点（见P75例1，P82～83例5）。
2.整理数位顺序表，通过读写数等加深对“位值制”的理解。
随着数位扩展到万位，整理数位顺序表就成为学生认识位值制的关键点。实验教材将其编排在读、写万以内的数之后，现在则将其调整到认识计数单位之后，从而使得学生对于位值制的理解更为系统、全面，也为按位值制来读、写数做好准备。
读、写数的编排与前面大体一致（P76例2，P83～84例6，P85例7，P86例8）：从要把计数结果记录下来开始，突出读、写数的必要性；再用小棒摆出计数结果，以数的组成为基础突出不同的计数单位（几个十几个一）；又用带数位的计数器表示出来，直观突出数位；最后再对照计数器按数位写数并读数，学会读写数的方法，即把计数的结果（几个千、几个百、几个十、几个一）按照数位用符号0～9表示出来或按照数位根据数的组成以几千几百几十几、几千几百、几千零几十、几千零几等方式读出来，使学生直观而充分地体会“位值制”。
此外，教材新增了认识算盘的例题（P78例4）。算盘本身有半直观半抽象的特点，它能直观、形象地体现数位的特征，因此，用算盘表示数可以深化学生对位值制的理解。
3.加强数感的培养。
“万以内数的认识”特别突出了对学生数感的培养，将数感的培养切切实实地、细致地体现在每一处教学内容中：首先，用有视觉冲击力的图片使学生直观感受万以内的数，建立表象（P76例2，P83～84例6，P77“做一做”第1题，P79第4题）；其次，通过多种形式体验、感受较大的数及其应用，在数的表达、交流中体会数与数之间的关系。例如，以生活中用“一”“十”“百”为单位的事物，帮助学生直观认识数的结构，包括：1元、10元、100元一张的钞票等。
六、借助丰富的素材和多样的解决问题的策略，落实“四能”的培养
除“数据收集整理”和“数学广角”外，其他各单元都至少编排了一个解决问题的例题，并在解决问题的不同步骤均有针对性的突破。如，理解题意时抓住关键词（“最多”“至少”等），排除多余信息；分析解答时引入新的策略（估算、估量等）。
从策略的角度来讲，表内除法中的解决问题和表内乘法中的解决问题相呼应，即选择一种运算来解决问题。图形的运动中是剪指定图形的问题，由实验教材中的实践活动变化而来，这类问题可先转化为较简单的问题，再通过“实际操作―调整”的策略解决。混合运算中要解决的问题是需要用两步计算解决的，由于信息复杂，需要用色条图分析数量关系，以直观地发现解决问题的关键――找出隐藏的问题（中间问题），并且这里开始逐步要求学生列综合算式表达解决问题的过程，培养学生综合解决问题的能力。有余数的除法中编排了两个例题：（1）需要用进一法确定答案的问题，（2）与按规律排列有关的问题。二者在确定问题答案时的关注点有所不同：前者要根据实际问题，确定答案是否要在商上加1；后者关注余数，在明确余数的含义的基础上得出问题的答案。万以内数的认识中则是用估算的策略解决问题（教学估算的起点）。克和千克中是通过估量解决问题，突出了估量的方法：即运用1千克的质量观念作标准估出结果，突出了测量的本质。
七、数学广角以解决问题为载体，理清层次
2006年，笔者在第一次教学人教版三年级下册“三位数除以一位数笔算除法”这一内容时，按照课本的内容编排顺序进行教学，一节课下来，学生中出现的错误令人瞠目结舌。一个班38个学生只有17个学生完全理解和掌握除法竖式并能正确计算，其余学生对于除法竖式的书写均有不同程度的错误。主要错误情况如下：
图1.1 图1.2 图1.3
图2 图3
从统计情况来看，学生的错误主要集中在除法竖式的书写格式上，近40%的学生不能正确地书写除法竖式，10%左右的学生横式答案会忘写余数，5%左右的学生偶有计算错误。这节课的内容真的有那么难吗？到底难在哪里？这些问题引发了笔者的思考。
二、归因分析——探寻错误的成因
（一）学情和教材分析
“三位数除以一位数笔算除法”是人教版义务教育课程标准三年级下册第22页的教学内容，该内容起着“承上启下”的作用，它既是学生在熟练掌握“两位数除以一位数笔算除法”基础上的提升，又是后续学习“商中间和末尾有0的除法”的基础，更是四年级学习“除数是两位数除法”的基础，所以学生对本节课内容的掌握情况将直接影响着学生的后续学习和发展。
另一方面，按照教材的内容安排，教师需要在一课时内让学生掌握“三位数除以一位数笔算除法”的计算方法。而“三位数除以一位数”的类型并非只有教材中的例3，同时本节课的重点“理解并掌握用三位数除以一位数（商是两位数且有余数）的笔算方法”需要突出，并且还要突破“被除数的最高位不够商1，怎么办？商的最高位定在哪里？被除数的前两位除以除数后有余数怎么办？除法竖式的正确书写”等等难点。所以，这一课时承载着太多的重任，需要教师的精心设计。
（二）错因剖析
1.学生受经验影响，格式错误
由错误情况统计可以明显看出，学生的错误主要集中在“除法竖式的正确书写上”。学生由于受经验的影响，计算难度不大的除法题，更愿意口算而非笔算。所以，当三位数除以一位数能够直接口算出结果时，学生更容易甚至更喜欢直接写答案，而不愿拘泥于形式一步一步计算。如上页中的图1.1、图1.2和图1.3即此类情况。其实答案是正确的，但是不正确的计算格式对于学生的后续学习是不利的。
2.教师不了解学情，过于乐观
在教学过程中，两位数除以一位数的笔算教学只用了3个课时，而期间对于两位数除以一位数的除法没有任何的铺垫和渗透，直接进行三位数除以一位数有余数除法的笔算教学。由于教师对学情的不了解，对学生掌握和理解知识的能力和水平过于乐观，教学过于依赖教材而缺乏深入的思考和分析，种种原因，导致了学生错误的产生。
3.教材编写跨度大，难以把握
反观教材，笔者将人教版的实验教材和省编教材就“除数是一位数除法”单元的知识编排做了对比分析，具体编排见下表：
从上表不难发现，实验教材的内容安排显得大气和粗犷，新课程更重视估算的教学，重视学生自主探究能力的培养，而省编教材却彰显了步步为营、扎实推进的风格。实验教材在安排两位数除以一位数笔算除法两道例题以后直接进行三位数除以一位数且有余数的笔算除法教学，它的教材设计缺乏阶梯性和层次性，对学生而言知识跨度较大。而省编教材在教学两位数除以一位数时则用了4道例题，之后又用了两道例题来进行三位数除以一位数的笔算教学，练习和巩固的量有一定的保证，而且对题目类型的剖析也要比实验教材来得深入。从上表教师可以感受到省编教材的细致与周全，它给了学生充分理解、运用和巩固的时间，步步深入理解三位数除以一位数的算理和算法。所以实验教材大气的设计也给学生的学习带来了一定的影响。
三、系统思考，有的放矢——难，亦不难
2011年，第二轮使用新教材，由于有了2006年的前车之鉴，在教学该内容时就特别慎重。在认真研读教材和对比分析的基础上，笔者对教学设计进行了调整。
（一）分析学情，关注难点
课前笔者立足学生和教材实际编写了前测卷，并提前一天对三年级两个班共计65名学生进行了前测。前测卷主要根据三位数除以一位数的笔算除法选编了6道不同类型的计算题，前测结果整体情况如下表：
从前测结果分析来看，学生对于“三位数除以一位数每一位上的数正好能整除”以及“三位数除以一位数最高位不够除且前两位除后无余数”的两种题型口算正确的人相对较多，正确率分别为92.3%和75.4%，而同样的这两题能正确列竖式的学生就大大减少了，正确率只有23.1%和18.5%。对于后面的四道题由于学生未学过相关知识，不能正确书写除法竖式，只有极个别提前接受过教育的学生能够正确计算。从前测结果分析可以发现，学生对于三位数除以一位数的主要困难在于除法竖式的书写格式上。
（二）分解难点，拾级而上
由于课前笔者对两个班的学生进行了有效的前测，也发现了学生的学习难点，即“除法竖式的正确书写以及除法竖式的意义理解”，所以在新课教学前对课堂教学进行了有效的设计，以便能更早、更好地弥补教材或学生的缺失。具体教学设计如下：
1.课前复习，巩固算理
由于学生在学习“三位数除以一位数笔算除法”的内容前刚学习了“两位数除以一位数”的笔算除法，无论被除数是两位数还是三位数其算理都是一致的，除法竖式的书写也有其相通性，所以，在新课教学前需提供两位数除以一位数的练习，在练习的过程中进一步明确算理，在理解算理的基础上明确竖式的正确写法。因此，笔者在教学新课前设计了“24÷2和54÷3”这组练习，让学生通过独立计算、反馈交流算理，从而进一步明确除法竖式的正确写法。
2.预设困难，逐层深入
在前测中笔者已经明确了学生学习的难点，所以在新课教学时就需要根据学生的学情精心设计教学内容，为学生的学习搭建台阶，进而有效分解学生的学习难点。
教学新课前设计一组复习练习“24÷2和54÷3”。设计“24÷2”是为了帮助学生进一步明确除法竖式的正确书写格式，可以有效避免口算的影响，在进一步理解算理的基础上明确“笔算除法需要从最高位除起，依次计算”。而设计“54÷3”的价值在于除了让学生进一步明确正确的除法书写格式外，还可以让学生复习巩固“当最高位除后有余，余下来的数要和个位上的数合并继续除”这一计算方法。
新课中先出现“三位数除以一位数每一位上的数正好能整除”的类型，如246÷2，让学生独立尝试解决，在解决的过程中学会计算方法的迁移，明确从最高位算起，依次计算。接着出现256÷2，让学生在计算的过程中明确算理和算法。第三层次再出现与例题同类型的题目256÷6，通过256÷2与256÷6对比思考“百位不够除怎么办”的问题。如此步步为营、层层深入，有效分解了学生的学习难点。
3.突破难点，加强理解
尽管笔者在教学内容的设计中为学生的难点学习搭建了台阶，帮助学生更好地掌握算法，但我们也不能忽视对于算理的理解，只有基于理解基础上的方法才是永恒陪伴学生解决问题的方法，所以，笔者在搭建学习台阶有效分解难点的同时也借助小棒图帮助学生更好地理解算理。
如：256÷6=42……4
小棒图辅助算理理解：
第一步：把2个百平均分成6份不够分，就把2个百分成20 捆10根的小棒，然后和5捆10根的小棒合在一起变成25捆10根的小棒（即25个10），然后把25捆10根的小棒平均分成6份，每份是4捆10根即4个10，还多余1捆10根的小棒。
第二步：余下的1捆10根的小棒平均分成6份不够分，就需要把1捆小棒拆开和6个单根的小棒合并，成为16根小棒再分，此时能分成每份2根，还多余4根。
使用小棒图辅助对算理的理解，更有助于学生对计算方法的理解和掌握。
四、成效评估
一节课后，笔者针对本节课的教学内容，细化了三位数除以一位数的各类题型，并针对不同题型出了后测卷，课后马上对所任教的两个班的学生共计65人及时进行了后测。从学生的后测结果来看，笔者明显感受到学生的进步，除极个别学生由于横式答案忘记写、题目抄错以及除法竖式的书写格式错误外，绝大多数学生整体的掌握情况比较乐观。
从问题情境出发引导学生探索是课程标准的一个基本要求。因此，在教学《租船》这一课时，我没有把余数除法作为新知识进行单纯讲授，而是由浅入深地组织学生探索和讨论三个问题，引导学生联系生活实际加以解决。如：我先出示情境图，先让学生说一说从图中看到了什么？引导学生充分关注“每只船限坐4人”“每只船每时3元”两条信息。然后提出“如果你遇到这样的问题，你打算怎样解决？”组织学生在小组内说一说自己的想法，试着列出算式，并计算出结果。并在小组讨论的基础上选代表在全班交流。当大家统一认识到至少要租6只船后，提出“你认为怎样分配合理？”组织学生用小棒摆出分配方案，鼓励学生各抒己见，只要合理就可以。最后组织学生讨论“试一试”中的问题。并在小组讨论的基础上，组织全班交流。通过这样三个学习活动，有利于培养学生的探索精神，发挥学生的主体性。只是教学中，应如何引导学生灵活运用所学的知识去解决生活中的实际问题，还是我要继续研究的问题。
租船教学反思（二）
《租船》这一课是在学生能正确计算有余数除法的基础上，帮助学生学会灵活运用有余数除法的有关知识，来解决生活中的简单实际问题。“生活中处处有数学”，根据《课程标准》的理念，本节课充分地体现数学与实际生活的密切联系。
“租船”这一课时的教学目标是运用有余数除法的有关知识解决生活中的简单实际问题。在教这一课时，我是通过创设同学们租船的情境，结合生活实际，运用有余数除法的有关知识，让学生通过这一课的学习以后能解决一些简单的实际问题。在教学时，我先演示课件图，让学生说一说从情境图中得到了什么信息，然后提出课本中的问题。在个人思考的基础上，进行小组交流；你是怎样想的，如何列式，结合实际想一想，怎样回答问题。学生都知道要利用有余数除法的知识来计算，可是在最后的“答”这一环节就出现了问题，部分学生都想21÷4＝5（条）……1（人），所以“至少要租5条船。”他们没有想到多出来的1人。还有学生对于安排的合理性掌握也不算好，他们不知道怎样的安排才是合理的。在理解 “最多”、“至少 ” 的意思时还存在一定的难度，不会写答。所以在上课 时 应尽量多给学生一些主动探索的空间，多设计一些动手操作的游戏和活动，这样学生的主动性可能会发挥得更好一些，体会得更深一些。本节课的不足是：学生在练习时探索的空间还不够，虽然学生在解决有余数的问题时大部分孩子基本上都已经会计算，但在写商和余数的单位名称时还有几个孩子写不对，在理解 “最多”、至少“的意思时还存在一定的难度，所以不会写答。所以老师在上课应尽量多给学生一些主动探索的空间，多设计一些动手操作的游戏和活动，这样学生的主动性可能会发挥得更好一些，体会得更深一些。
租船教学反思（三）
《租船》这一课是北师大版数学二年级下册第一单元的内容，是让学生灵活运用余数的有关知识解决生活中的实际问题，发展学生的应用意识，通过合理解决实际问题，体验成功的喜悦。
在课的开始，我先让学生说说对春天的理解和体会，并在其中插入了“惊蛰”这个节气，增加学生对中国传统文化的认知，而后通过创设同学们郊游需要租船的情境来引出课题，并激发学生学习的兴趣。
[关键词]智性复习；整体教学；认知结构；数学课堂
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0019-02
复习课的教学目的是，通过对知识的回顾与整理，巩固知识、训练思维、培养能力、发展智力，使学生再次获得成功体验的同时，提高对知识的掌握和应用水平。
下面以“三位数除以两位数”的复习课为例，谈谈什么才是“智性复习”。
【片段1】
题目：用竖式计算下面的算式，并选择你认为容易错的两题进行验算。
①330÷42= ②266÷38= ③202÷53=
④192÷27= ⑤414÷23= ⑥540÷18=
（90%的学生计算全部正确）
师：你认为下面这两种算法正确吗？为什么？
生1：错了，因为余数和除数相等，说明商偏小。
生2：也错了，因为商应该是两位数，个位上漏写了0。
师：希望同学们计算结束后记得验算。如果要把这6道算式进行分类，你打算怎么分？
生3：按照是否有余数来分，把②⑤⑥分为一类，①③④分为一类。
师：在计算有余数的除法时，余数和除数有什么关系？
生4：余数一定要比除数小。
师：还有不同的分法吗？
生5：把①②③④分为一类，因为它们的商都是一位数；把⑤⑥分为一类，因为它们的商都是两位数。
师：能够不计算就知道商是一位数还是两位数吗？
生6：三位数除以两位数的除法，如果被除数的前两位比除数大，商就是两位数；如果被除数的前两位比除数小，商就是一位数。
师：说得真不错，还能怎样分类？
生7：按计算方法来分，①③⑤是用“四舍”的方法试商，为一类；②④⑥是用“五入”的方法试商，为另一类。
师：用“四舍五入”的方法试商，初商会出现什么情况？
生8：用“四舍”的方法试商，初商会偏大，需要调小；用“五入”的方法试商，初商会偏小，需要调大。
教师从学生的错误入手，把典型错例写在黑板上，请全体学生一起修改，既避免了部分学生因做错而感到羞愧，同时也使其他学生在评价的过程中能够防微杜渐。
分类的过程，是学生在计算方法上对三位数除以两位数的抽象和整合过程，体现了学生的口算和估算能力。学生在分类的过程中对计算方法加以沟通和整理，从而能更准确地解答问题。在这个过程中，学生不仅要“算”，而且要“想”，消除了复习课常常将计算练习单纯地作为“程序性训练”的弊端。
这个教学过程看似非常完美，但仔细想想，我还忽略了学生在计算过程中经常出现的另一个错误：
虽然学生在这节课上没有出现这个错误，但不代表他们以后都不会再出错。我应该将这种情况也一并展示，引导学生对这个问题进行深入剖析，那这种错误以后出现的概率或许会小一些。
【片段二】
（3）商的末尾有0时，35÷38，“”里可以填（ ）；
商的末尾有0时，35÷33，“”里可以填 （ ）。
（4）65÷46，商是两位数时，“”里可以填（ ）；
商是一位数时，“”里可以填（ ）。
师：这些题基本都是根据算式中已有的信息，填写“”中的数，希望同学们在解答时要积极思考。
生1：第（1）题中，不改商，“”里可以填6。
师：66÷3正好等于3，商不需要改。还有其他答案吗？
生2：还可以填7、8、9，不整除有余数，但商也是3，不需要改。
师：回答得真完整。如果把商调小呢？
生3：把商调小后，可以填0～5，但最大填5。
师：根据第（1）题的结论，你能完整地给出第（2）题的答案吗？
生4：8÷47=，商是1时，被除数“”里可以填4、5、6、7、8；商是2时，被除数“”里只能填9。
师：回答得真好。接下来解答第（3）题。
生5：商的末尾有0时，35÷38，“”里可以填8、9；商的末尾有0时，35÷33，“”里可以填3、4、5。
师：第（4）题呢？
……
在学生已经能完整并熟练地解答题目的基础上，我不断变换算式，紧接着给出“45÷46”“465÷6”“465÷4”等算式，引发学生继续思考。对于“45÷46”的商为一位数时，刚开始学生只想到了在“”里填1～5，漏了“0”，在计算“465÷4”时，学生就已经能给出完整的答案“0～6”六个数了。
在这一环节中，我充分发挥了教师的主导作用，创造性地使用了教材，紧扣本章节的内容重点拓展知识，设计了一些有助于学生自主学习的问题，发展学生的数学思维。由于这些问题具有开放性，学生能从多角度展开思考，从刚开始的只满足于一个答案到慢慢完善答案，接着得出完整的答案，最后即使是面对复杂的题目也能完整思考并圆满解答。学生学得愉快，教师教得也轻松。像这种“跳一跳才能摘得到”的“桃”，学生非常乐于思考并积极探讨，在参与中能主动发现问题、分析问题并积极地解决问题，真正有所收获。
虽然这是一节计算复习课，但学生并没有多少时间是拿出笔进行纯粹计算的，而是通过思考就达到了计算的目的，这在无形之中就培养了学生的口算能力和估算能力。“智性学习不在于记忆大量的法则，而是在于建立完善的知识结构，当需要时，各式各样的行动计划将应情况而形成，进而促进智力的发展。”学生只有在探索中才能不断完善知识结构，才能发现知识间的内在联系，这是探索本身的魅力，同时也是智性学习的根本所在。
一、运用数学魅力，激发学习兴趣，让学生主动探求新知
小学数学本身存在着一些有趣的规律和现象，这正是数学的魅力。作为教师要充分利用这个有利因素，设计出让学生置身于其中的教学程序，从而在教学中让学生的思维始终处于活跃状态，激发他们学习的兴趣。长此以往，不同层次的学生在教师的激发下，都会增强学习数学的兴趣，使他们主动地参与到探求新知的活动中去。
如教学“圆的周长”时，首先让学生拿出大小不等的圆片和准备好的白线。然后，指导学生用白线沿着圆片的边绕上一周再量出各自的长度，最后，让学生计算白线的长度与圆片直径的关系。从而发现圆的周长总是圆的直径度3倍多一些。这样逐步分层前进，是不同层次学生读充分参与探求新知的活动，主动研究周长与直径关系，其教学效果当然不言自明。再如，教学“商不变性质”时，一位教师首先讲了一个“猴子分桃”的故事，一天猴王让悟空把10个桃子平均分给5个小猴子吃，悟空听后，满脸不高兴，猴王就问：“悟空你怎么不高兴呀？”悟空说：‘“每个猴子才分到2个桃子太少啦，能不能多分一些？”猴王听后，说：“可以，那我给你150个桃子，但是有个条件，你必须平均分给75个猴子吃，行吗？”悟空一听，可高兴啦！就带着桃子准备非给猴子吃了。学生听完故事后，教师引导学生思考，这次每个猴子分得的桃子多了吗？悟空应该高兴吗？为什么？通过这样的设计就展现了数学的魅力，是学生思维活跃起来，对掌握理解商不变性质也就容易多了，从而让各层次学生学有所得。
二、努力设疑，不断激发求知欲，让各层次学生共同提高
数学课堂教学中，突出重点，抓住关键，是每节课教学的核心。而“设疑”恰恰就是达到教学核心的一个重要拐杖之一。当然，设疑的方法很多，从大的方面来讲，主要有以下几种设疑方法。
1.利用原有知识设疑。如新授1/3+1/4时，先让学生凭自己理解说得数，在出现2/7、7/12等答案后，我向学生提出“哪个答案正确呢？”在引导学生充分讨论，个抒己见最后，概括出要先通分，再把分子相加，分母变。这种方法，就是利用原有知识，在其提高点处，加以设疑，让学生的思维跃一跃，主动获取新知。
2.在知识的关键点上，有意识设疑。如教学“分数的基本性质”后，我向学生们提出“乘以和除以相同的数，0除外”这里的数，可以是些什么数？这样帮助学生消除思维定势，让学生讨论发表各自意见，最后理解可以是自然数，也可以是小数。
3.下课时设疑，更会回味无穷。如教学“圆的面积”一课时，我在揭示完S=πR×R公式后，在下课前，我向提出“已知圆的半径可以求出圆的面积，那么已知圆的周长可不可以求出圆的面积呢？”为下节课教学打下埋伏，进一步让学生在课后探索。
三、分层练习，及时反馈，让各层次学生在体验成功的乐趣
课堂教学中，要使学生牢固掌握某种知识或技能，必须重视课堂练习。如果用划一的练习题会要求不同发展水平的学生，要么使学生吃不饱，要么使学生吃不了。根据学生不同发展水平的实际，布置基础题和思考题，对中下等学生只要求掌握数学的基本要求，做好基本题，对学有余力的学生，既做好基本题又要做好思考题。这样分层要求练习，是不同的学生读体验到练习成功的乐趣。
如，在教学分数基本性质后，我设计了这样一组练习题，让不同层次的学生参与练习。1/3=/6=/9；1/3=3/=9/；2=/=/，这样三层练习题就较好地照应了全体学生，是全体学生练有所得，都能体验到成功的乐趣。
我在教学实践中，对同一练习对不同层次的学生提出不同要求。课本上除了选学题和思考题以外的习题都是要求全体学生都能掌握的。因此对于这些习题，我要求每一个学生均有掌握，对于能用多种方法进行解答的应用题，我要求学困生的学生只要求他们用一种方法进行解答，并进行巡视发现及时辅导，使他们通过努力也能完成。对于学有余力的中上等层次的学生，我则要求他们能用不同的思路进行分析与解答，并找出最佳解法。以提高他们的解题能力。
四、适当调解课堂气氛，是不同层次学生想学、乐学
数学是一门逻辑性很强的学科，缺少动人的情节，适当地是学习内容含有情趣，调解课堂气氛，对于教学常会出现事半功倍的效果。
如在学生写应用题答语时，常常会出现这样的错误，例如：“小红买《新华字典》用去了10.5元钱，买学习用品用去了7.5元钱。问小红用了多少钱？”有的学生进行列式解答后，马上会答：小红用18钱。学生出现这样的错误后，教师怎么办，听课中，我没有马上向学生指出，而是做出了如下有趣的自问自答。“好的！如果题目要问，用了多少时间，答用18时间，如问小红有多重，就答小红有54重，如问汽车行了多少时间？就答用了24时间。”此时，教室哄堂大笑，议论纷纷，很快指出了答语的错误。显然，这样的课堂气氛是有效的，它使学生在快乐的七分钟轻松地学到了知识。在不知不觉中，使全体学生参与到学习活动中去，让学生想学、乐学。
又如在教学有余数的除法时，我出示了这样一题：38.2除以2.7，我发现大部分学生的结果是错误，有的同学得出的商是1.4，有的同学得出的余数是4.针对这一较为典型的错误，我没有当场向学生指出错误，而是把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎么发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：
（1）余数4与除数2.7比，余数比除数大，说明是错误的。
（2）验算：1.4×2.7+0.4≠38.2，说明商是错误的。
（3）验算：14×2.7+4≠38.2，说明余数是错误的。
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