关键词： 初中数学教学 一次函数问题案例 行知合一
我国著名教育家陶行知曾经提出“生活即教育”的“行知合一”教学理念，倡导“知”通过“行”进行检验、提升和丰富。教育实践学研究认为，学生学习新知、解答问题的过程，就是运用现有知识经验、解题技能进行问题探索、解答的发展过程。在此过程中，只有将探知所获得的“知”与问题解答活动的“行”进行有效融合，才能实现“教学相长”。一次函数章节是初中数学学科代数部分章节体系中重要的架构“分支”，是数学语言与平面图形有效结合的整体，在整个数学学科教学中占据重要的地位。在一次函数章节问题案例教学实践中，我对知识教学与能力培养内在关系进行了研究和探索，现将教学体会和策略进行论述。
一、设置展示教材内容精髓的问题案例
问题案例作为问题教学活动开展的对象，是教学活动目标要求进行展示的重要载体。针对性、典型性问题案例的设置，能够对问题教学活动的开展，问题教学效能的提升，起到推波助澜的作用。在一次函数问题课教学中，教师一方面要认真“备教材”，钻研教材内容，准确把握教材目标要求，做到教学重点和难点把握准确。另一方面要认真“备学生”，贴近学生学习实际，设置具有针对性的问题案例，使问题紧扣教材、贴近学生，利于问题教学活动的深入开展。
如在“一次函数图像和性质”问题教学中，在问题案例设置时，我抓住一次函数图像和性质教学目标内容，以及学生学习的重难点，将一次函数图像和性质教学作为本节课问题教学的“重中之重”，设置出如下问题：“如图1所示，l■反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l■反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量是多少吨？”、“如果点A（-2，a）在函数y=-■x+3的图像上，那么a的值等于多少？”让学生能够将探知学习活动中的“学”有效运用到典型问题案例的解答中，为“行知合一”提供载体和条件。
二、开展能力培养目标主旨的问题教学
能力培养，是新课程标准下学科教育教学的重要目标和要求，也是教学活动开展的出发点和落脚点，数学学科教学同样如此。同时，学习能力作为技能型人才所必备的基本素养，已成为衡量教学活动效能的重要标尺。一次函数问题案例教学活动，也应将“能力培养”作为重要目标和根本追求，提供给学生实践探究的时机，传授问题解答的方法策略，指导学生开展问题解答活动，将一次函数问题教学过程变为学生能力锻炼和提升的过程。
如我在“红星果园基地对购买3000千克以上（含3000千克）的情况有两种方案。甲方案是由基地送货上门，但每千克售价为9元。乙方案是如果顾客自己租车运回，每千克价格为8元，如果某公司要买4500千克水果，现在租车从基地到公司的运输费需要3500元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写自变量x的取值范围。（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。”一次函数问题案例教学活动中，发挥学生能动探究的主体特性，采用学生自主探究式教学策略，将该问题解答的任务留给学生完成，自己则做好学生对探究过程的引导和点拨工作。学生在分析问题条件时，认为解答该问题的方法应该是利用一次函数图像和性质，作出两种方案的一次函数图像，然后采用观察图形方法进行问题案例的解答。在探寻问题解题方法的过程中，有部分学生对问题2的解答方法探寻出现了“卡壳”。这时我向学生指出：要付款最少实际上就是求解x在什么情况下，y的值最小。最后向学生指出，解答一次函数问题的关键，就是要对一次函数图像和性质有准确的把握和正确的运用。学生在自主探究过程中，主体特性得到了充分展示，学习能力和素养在实践探究中得到了锻炼和提升。
三、实施检验学习活动效能的教学环节
在一次函数问题案例教学中，由于初中生思维分析能力，探寻问题方法，以及解答问题技能等方面水平较低，在一定程度上影响和制约了“行”的成效和质量，容易出现解题不完整、结果不周密、方法不科学等问题。我在一次函数教学中，利用巩固练习环节，通过师生、生生之间的评价辨析，使学生形成正确的解题方法和思想，实现解题效能的提升。
问题：用画函数图像的方法解不等式5x+4
关键词：教科书;教学案;教材体系;教师专业成长
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）24-083-1
教学案是一种融教师的教案、学生的学案、分层次的评价练习为一体的师生共用的探究活动的载体，其核心就是从学生的基础出发，在教师占有大量资料的前提下，把学生所要掌握的知识精心设计成问题的形式来进行导学、导练、导结。教师可以利用教学案引导学生独立看书、自学、思考和探究，使学生通过课前自学对教材首先有一个初步的了解，发现自己对教材的理解存在的问题，完成第一次教学;然后在课堂上讨论交流、合作探究、分析问题，完成第二次教学;最后是当堂进行达标测试，及时得到反馈，解决问题，完成第三次教学。这种设计，为学生自主学习、合作学习、探究学习提供了条件和明确的学习目标。通过教学案的使用，既能转变教师的教学理念，提高教师的整体素质和业务水平，又能转变学生的学习方式，让学生学会并自觉地在已有的经验基础上建构自己的知识框架和理论体系，使每个学生的思考深度得到拓展。
但随着教学案的普遍推广，课本的使用越来越少了，很多学生哪怕用课本也只是把课本上的概念往教学案上誊写一下就结束了，绝大部分学生的课本到高三毕业时都是崭新的，笔者在与教师、学生的交流以及教学实践中渐渐产生了担忧：在广泛使用以课本为蓝本编制的教学案的课堂中，是不是就可以不要课本了呢？如何正确使用教学案呢？
一、必须熟悉教材体系
只用教学案最严重的后果是学生对课本不熟悉，对课本的体系不了解。很多学生没有系统地看过课本，对教材的内容没有一个整体上的把握。而高中数学的很多内容是密切联系的，如：“函数”是个重要的核心概念，学生学习函数的知识经历四个阶段，第一个阶段是在初中，学生接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示、性质、图象。必修1第二章和第三章的学习是第二个阶段，这是系统学习函数知识的阶段，也是培养学生应用函数知识解决问题意识的开始。必修1在学习函数概念后学习函数的性质（单调性和奇偶性），进而学习具体的函数：指数函数、对数函数和幂函数，而研究这几个具体函数的性质主要是通过它们的图象来研究的，其中性质主要是指函数的定义域、值域、单调性和奇偶性。通过对这三个具体函数的研究，学生对抽象的函数概念的理解会进一步加深。第三个阶段是必修4、必修5的学习。必修4三角函数将角的概念推广到任意角后，我们就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，这样就可以把三角函数纳入到一般函数的范畴，这部分内容的学习主要还是研究三角函数的图象与性质，这可以看成是必修1函数知识的一个应用。必修5中的数列虽自成体系，但它也可以看成是定义在正整数集上的函数。这样函数的概念的外延在不断地拓展，学生对函数概念的理解也更有深度。第四个阶段是选修课程中的导数及其应用、概率、参数方程等。导数可以看成是为了研究更为复杂的函数的性质而采用的更为先进的研究工具，其本质依然是函数，参数方程则给出了函数的另一种表示方式。可见，整套高中教材以函数作为主线贯穿其中。如果学生没有系统地看书，没有悟出这些概念之间的联系，他掌握的知识可能是支离破碎的，这样也就很难编织清晰的知识网络，很难形成高效的正确的认知结构，对这些知识的理解就会缺乏深度。
二、深入挖掘课本概念
很多教学案的预习部分都把课本的重要概念设计为填空题的形式，让学生在预习课本后填写，大部分教师在课堂上做的工作就是把学生填写的内容对一下答案，让学生对基本的概念有个大概的了解，然后讲解例题，再让学生进行当堂巩固练习，从反馈结果看，学生教学内容好像基本掌握了，但他们对这部分知识只是停留在识记的层面，没有正在参与到如何得到新知识的过程中去。从更高的要求看，这样的教学不能培养学生触类旁通的能力，遇到一个与之相关的问题可能就会束手无策。所以我们的课堂要让每个学生体验通过自己的探究得到知识的过程。例如，在学习指数函数时，应引导学生了解为何底数的范围是大于零且不等于1？更应该指导学生通过描点作图，了解指数函数的性质，为后面学习对数函数、幂函数以及研究更一般的函数性质提供了范例。
笔者在教学实践中对学案教学进行了一定的探索，下面以《幂函数》第一课时为例，说明学案教学的设计实践与思考。
【学习要求】
1.知道幂函数的定义，用描点法画幂函数的图像，初步掌握幂函数的性质。
2.会确定幂函数y=xk（k∈Q）的定义域，能讨论并证明幂函数的单调性、奇偶性和最值，体会研究函数的基本方法。
3.通过幂函数的性质画幂函数的图像，观察幂函数的单调性、奇偶性等性质在图像上的表现。
4.幂函数性质的简单应用。
【学习的探索】
一、提出问题
例如，如果张红购买了每千克1元的水果x千克，需要付钱为y（元），则y与x的函数关系为_____。
设计意图：数学知识来源于实际生活，通过生活例子，让学生感知、体验数学知识的发生过程，通过观察、实验、尝试等活动，为概念的形成积累丰富的感性认识，为学会用数学表示，培养学生的观察能力与表达能力，为理解、运用数学工具打下扎实的基础。
二、问题研究
1.幂函数的概念。这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能据此归纳出幂函数的定义吗？
2.研究几个典型幂函数（略）。
设计意图：幂函数是学生第一次接触到非整数次幂的函数，必须让学生有一个从陌生到熟悉的过程，让学生有个认识、了解、熟悉、接受的过程，同时让学生理解学习高中数学研究函数的一般步骤与方法，从而进一步理解函数的性质。
三、幂函数性质探究
探究：设a∈（-2，-1，- ，- ，0， ，1，2，3），研究幂函数y=xa的性质，并作出它们的大致图像。
根据上例并结合它们的大致图像，试总结函数y=xa的共同性质。
归纳：当a>0时，_____________________________。
请同学们模仿我们探究幂函数y=xa图像的基本特征a>0的情况探讨a<0时幂函数y=xa图像的基本特征。
归纳：当a<0时，_____________________________。
设计意图：观察函数图像，归纳幂函数的性质，学生的思维能力得到升华。从特殊到一般，是提高学生数学抽象、归纳能力的有效载体，性质是基本规律的体现。
四、幂函数性质应用
设计意图：数学知识的应用，是检验、评价学生掌握数学知识的有效手段，只有在运用中才能体现对数学知识的理解程度。
课堂小结：
1.幂函数的概念。
2.幂函数的性质与图像。
设计意图：如何及时合理地评价学生的学习情况？课后检测与反馈是较好的方法，通过学生作业的评价，能了解学生的学习情况，达成度如何，及时修正学习过程中出现的问题，以便有针对性地开展高效教学。
【反思与思考】
下面是我在教学实践中开展学案教学的一些思考：
1.学案的设计原则和基本内容。
学案设计的基本原则：第一，学案的设计要适切可行，要基于学情的需要和课程标准的要求，要具有较强的操作性;第二，学案在课堂教学中的运用得当，使学生能根据学案的要求与提示进行探究，完成学习任务，提出自己的观点或见解，师生共同研究讨论;第三，学案的测试反馈准确及时。
2.学案实施要领。
第一，运用学案进行预习。教师在课前批阅学生预习过的学案，深入了解学生预习所达到的程度以及存在的问题，以便把握讲课的方向和重点;也可以在课前交流预习情况，要求学生将看不懂的地方记下来，上课时特别注意听教师是怎么解决问题的。第二，运用学案进行探究。将“情境、问题、探究、归纳、应用”这几个环节，用学案引导学生探究，以问题为案例，由个别问题上升到一般规律，提高学生的学习能力。第三，以“学案”为载体，培养学生的自主学习能力，通过学案，让学生由“学会”到“会学”再到“乐学”。
【关键词】高一数学；入门教学；方法探讨
高一是数学学习的的一个非常关键时期，由于初、高中数学教材缺乏统筹规划，高中数学教材编写也没有照顾到知识的前后衔接问题，且知识内容的数量剧增，抽象程度高，思维量大（其他各科信息量也大），平常教学进度快、要求较高，以及学生自身学习方式、数学基础等原因，许多初中学生进入高中后不适应。下面先看两个案例。
案例1.某校现在高一新生Y，中考数学成绩六十几分，据本人讲，涉及数与式的计算、解方程或不等式等问题，运算顺序搞不清，公式、法则乱用，很少做对过，函数更是一片空白。几何证明题不知如何下手。该生进入高一后，有学好的愿望，但努力不够，学集合时还勉强跟得上，学函数时几乎听不懂，学三角函数时公式混淆不会用，学向量时因教学进度快等于没有学。期末考试数学成绩25分以内。
案例2.某重点中学现在高一新生X（中考数学成绩一百一十分左右，数学基础较好），大多数时间能听懂老师讲的知识，但学习主动性不强，平时每次考试成绩总在七十分左右，失误较多，解题思路不灵活，期末考试数学成绩近60分。从学生做的笔记看，在讲指数函数前，教师补讲了求函数解析式的方法，求值域的方法，二次函数恒成立问题，对勾函数，函数的对称性和周期性，抽象函数等内容，且要求高，期末考试内容为必修一全部，三角函数，向量的线性运算。
上面的案例在一些学校具有普遍性，值得研究。怎样处理这些问题？笔者结合自己的教学实践谈一谈体会。
一、教师主导方面
要在自身学习和诱导学生学习上下功夫。“每一天我走进教室，我就在想我能学到什么。我是教师，也是学习者，而不只是知识的传递者。”
1.上好第一堂课，产生光环效应。不讲新课，首先可通过自我介绍以及提出对自身的要求，希望在学生心目中树立起较好的形象，拉近与学生的距离，做好“亲其师，信其道”的铺垫作用。可讲以往差生的成功案例，鼓励学生学好数学的信心。“我认为提高学生学习成绩最重要的不在于条件和资源，而在于教师的核心信念。我们必须从一开始就有所有孩子都能够达到最高水平的信念。”其次介绍高中数W的特点，为转变学生学习观念，注意学习方式做准备。最后做一个问卷调查，全面了解学生。问卷内容涉及中考总成绩，数学成绩，什么数学知识学的最好（或最差），有何特长，你的理想是什么，你对新教师期望，你以前数学教师的优点等。
2.做好衔接，承上启下。教师要通过学习《义务教育数学课程标准》或初中数学教科书，搞清初中新课标中已删除或已降低要求的但高中仍需衔接的、需熟练掌握的内容，并在问卷调查的基础上制定好衔接内容的讲解计划，然后有效实施。一般情况下，在讲集合之前可补讲立方和与差的公式，十字相乘法及用它解一元二次方程，根与系数的关系（韦达定理）。在讲函数之前可适当复习一次函数、反比例函数、二次函数，并结合初中知识研究一次分式函数，熟练掌握配方法以及二次函数图像的顶点和对称轴公式。在讲分数指数幂之前可复次根式的有关概念，补讲分子、分母有理化和根号下含有字母的化简与运算，在讲任意角的三角函数之前适当复习初中锐角三角函数知识，并作一些拓展，如同角三角函数间的关系，两锐角互余的三角函数间的关系等。
3.开学初，教师可将本学期所要涉及的重要知识点或思想方法系统的总结并印出来，要求学生贴在书封面里，以便随时翻阅、记忆。平时教学中，注意加强学法指导（班上可自行订阅这类书，特别是班主任教师和任课教师一道利用班会课等时间给予学生系统指导）。
4.教师对这学期教学内容、教学要求、教学进度要有统筹规划、细化，防止拔高教学的要求随意性和盲目性，要不忘初心。平时教学少一些高考化，一些问题，如抽象函数可否淡化处理，尽量不考大题，函数的图像及性质在学完三角函数后再作适当的深化也许更恰当？我个人认为高一上期教学内容定为必修一全部，必修四中的三角函数、平面向量，不讲三角恒等变换。这样教学时间不会太紧，不急于赶进度，也不会因三角公式太多太集中让学生很不适应，更便于必修五中的解三角形的学习。
5.要减少学生懂而不会的现象，须在培养学生思维的灵活性、深刻性上狠下功夫。教学中可尽量采用变式教学，注意一题多解、一题多变、一题多用；多问几个为什么：为什么这样做，为什么这样想，它的背景是什么，为什么这样转化，让学生多层次、广视角、全方位认识数学。最好是每上一课后写好教学反思，每一次测验后要分析得失。因为“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年教学反思，则有可能成为名师。”
6.面批作业，及时反馈。每周利用晚自习面批，特别是针对学困生面批，发现问题辅导、及时就错、及时补救练习。
7.每次较大型考试考完后，教师立即公布详尽答案，要求每一题尽量一题多解，学生订正后再有针对性的讲解，对未达标的学生，要求再做一次相似练习题。
二、学生主体方面
一定要明白学习是自己的事。就正如《国际歌》中所说“从来就没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己”。
1.学生自己学习要积极主动，培养对数学的兴趣，养成好的习惯，习惯于看课本，熟读精思，善于提出问题。
2.准备一个笔记本，记好题，记典型错题，记不懂、不理解的题，记数学规律、数学小结论，记反思，记感想等。每一周交老师检查评价。
3.自选层次，努力达标。根据本班实际和学生自身意愿，可将将作业分成三个层次，课代表三个，每个课代表各负责一个层次的作业。第一层次先将当天学的知识要点抄写在做业本上，然后做课本上的例题或A组习题，第二层次做课本B组习题或练习册上的中档题，第三层次做课本上高档题和练习册上的高档题或教师补充的题，每两周再自行调整。
4.各层次学生每天做一道补充习题，以巩固前面所学内容为主，如此反复，防止知识遗忘。
5.每周做一次小测验，六个选择题，两个填空题，两个解答题，要求这些题全是低中档题，一般能保证百分之八十学生在五十分钟内全部完成。一道较高要求的选做题，供学生选做。测验完后立即公布答案。
6.上课期间，课代表每天课外抽各层次一至二名学生默写重要知识点或做课本上指定的例题、习题或以前的考题。
高中数学教学是一项长期的复杂的艰巨的活动，为了在教学上取得预想的效果，单是指导学生的脑力是不够的，还必须在他身上树立起掌握知识的志向，即创造学习的诱因。教育的最高目标就是激发学生的主动性，培养学生的独立性。从广义上讲，这就是一切教育的最终目的。
【参考文献】
一、问题训练培养对学生能力的意义
众所周知，学生作为学习活动的重要参与者，也是教学目标制定和教学要求设置的重要参考依据。在学生学习能力的培养过程中，习题的训练发挥了重要作用。问题教学作为数学教学活动的重要方式之一，在学生能力和素养的培养上发挥了巨大的促进和提升作用。学生在问题案例的解答中，不仅要对问题条件内容进行认真分析，还要结合所学知识，挖掘出问题条件更深层次的内涵，并且还要找寻、甄选解决问题的策略和方法，同时，还要将数学语言通过文字形式进行正确、完备地表达。在这一过程中，学生探究能力、合作能力、创新能力等方面的学习能力可以得到有效地锻炼和提升。学生在解答问题时，能够借助于典型问题案例，通过“知识迁移”的形式，借“题”发挥，从而实现对整体知识体系的有效掌握，从而为学生学习能力的综合运用提供载体和实践平台。
二、二次函数训练在培养学生能力中的运用策略
二次函数是初中数学章节体系的重要组成部分，在整个初中数学中具有重要的地位和作用。二次函数是一次函数、正比例函数、反比例函数等初等函数丰富发展的重要形式，更是三角函数、平面向量、线性函数等高中数学函数知识的重要铺垫，具有承上启下的衔接作用。同时，二次函数在整个初中数学问题案例中涉及和运用的范围较为广泛。因此，在二次函数问题案例训练中，教师应采用如下教学策略，锻炼和培养学生的学习能力。
1.自主探究式教学策略
初中生在习题的探知和解答过程中，探究的主动性和积极性得到有效养成，探究的自主意识得到了显著增强。二次函数问题所涉及的知识点较多，内涵较为丰富，能力要求较高，需要学生能够进行主动探究活动。因此，教师在二次函数问题案例教学中，采用学生自主探究的教学形式，在学生自主探究问题基础上，通过有效引导，逐步掌握解决问题策略和方法，使学生在探究、分析问题的方法和策略过程中，学习能力得到提升和进步。
问题：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是多少？
在该问题教学时，教师利用初中生探究能动性，实施学生自主探究问题教学活动，要求学生对问题条件、内涵进行分析，找出问题条件中存在的等量关系。学生探究发现，该问题案例可以采用动手操作策略，利用二次函数性质进行解答，这样，学生的解题能力通过探究活动得到了有效锻炼和提升。
2.目标任务型教学策略
让学生带着问题、带着任务开展问题的分析解答活动，可以有效提升学生分析解答问题的针对性和实效性，避免学生走“歪路”。教师在运用此种教学策略时，要做好准备环节，针对二次函数问题的内涵及任务，向学生提出具有针对性、启示性的解题要求，让学生根据“目标任务”要求，开展高效解题活动。
问题：已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是-■.（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。
在上述问题教学时，教师根据教学目标要求，在问题解答前，向学生布置了“二次函数图象和性质是什么”“利用坐标法求抛物线的方法是什么”“抛物线的开口方向可以根据什么条件确定”等，让学生带着目标、带着任务，有针对性地进行探究、分析活动，从而使学生的解答活动更加高效。
3.由点及面式教学策略
在数学问题教学中，教师在的选择和设置过程中，经常根据教学目标、教学重难点、能力要求等，选取具有针对性、典型性的问题案例。教师在教学时，可以借题发挥，由此及彼，引导学生通过解答该问题的“点”进行推广扩散，达到对章节知识体系内涵关联的有效掌握，提升学生解题的全面性和思维的整体性。
如在进行“从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的函数关系式是h=9.8t-4.9t2，那么小球运动中的最大高度为多少米？”教学时，教师在解答该题基础上，对题目内涵及要求进行补充和延伸，让学生进行知识迁移，充分认识二次函数与二元一次方程的关系，使学生知识体系更加完整，更加全面。
4.综合训练式教学策略
关键词： 高中数学教学 三角函数 学习能力
我国古代著名的文学家韩愈在《师说》中曾就教师的功能和作用，提出了“解疑释惑明智”的精辟阐述。学生是教师教学活动的对象，是学习活动的主体，教学活动的开展，其根本目的在于锻炼和培养学生的学习能力和学习素养。教育实践学指出：“不同阶段学生个体，其学习能力要求各不相同，一般呈现由低到高、由易到难的特点，学习能力要求会发生与时俱进的变化。”这就决定了高中数学教师在培养学生学习能力的过程中，首先应根据新课改要求及学生学习实际，确定学生应掌握的学习能力，然后采用有效的教学方法锻炼和培养高中生的学习能力。三角函数章节是高中数学知识体系的重要“分支”之一，高中生在学习三角函数知识点内容、解答三角函数问题案例、研析三角函数综合问题进程中，学习能力水平得到有效锻炼和培养。下面我结合三角函数章节教学活动，对高中生探究实践、创新思维、反思评析等方面学习能力培养进行了论述。
一、提供探析三角函数案例时机，培养高中生实践探究能力
动手操作，实践探索，是学生获取知识，掌握技能、提高素养的有效途径和重要方法。探究性技能型人才是现代社会所需要的紧缺人才。高中数学新课程标准，对高中生探究技能的培养提出具体明确的要求。但在实际教学过程中，部分高中数学教师忽视探究性教学活动，轻视探究能力的培养，学生缺少探究实践的锻炼实际。这就要求高中数学教师应将探究能力培养贯穿于整个教学活动的始终。教师在三角函数教学活动中，应该抓住三角函数的教学重点和学习难点，设置具有探究意义的问题案例，提供学生探析的锻炼实际，让学生在自我探究和教师指导中实现探究能力的有效培养。
如在“三角函数的图像”知识点教学活动中，教师根据三角函数图像的性质内容，在新知教学环节后，向学生设置了问题：“函数y=2sinx（■≤x≤■π）与函数y=2（x∈N）的图像围成的封闭图形的面积S为多少？”此时，教师让学生自主进行探析问题活动，学生分析问题条件后认为：“本题应先画图，再根据三角函数的对称性，将封闭图形进行切割，拼凑成规则的图形求解，根据对称性知，所围成的图形的面积实际为一个矩形的面积，从而求得图形的面积为4π。”此时，教师向学生指出，设计正弦型函数、余弦型函数图像的问题，应首先要在脑海中浮现出正弦曲线、余弦曲线，其次正确地画出所需要的部分，利用数形结合的思想方法达到由形求数的目的。这样学生在自主探析三角函数的过程中，借助于教师的有效指导，探究实践能力得到有效锻炼，探究技能得到有效提高。
二、设置发散三角函数问题案例，培养高中生的创新思维能力
三角函数章节作为高中数学知识体系的重要构建“要素”，它既是初中数学二次函数、正反函数的有效丰富和延伸，又是与高中数学其他章节之间有密切深刻的关系。数学内容的发散性特征同样在三角函数章节有着显著的体现。创新求异的思维能力，是学生智力发展水平的重要体现。高中数学教师在三角函数章节教学活动中，应该抓住该章节的发散性特征，在问题案例的设置上多设置一些一题多解、一题多问、一题多变的发散性问题案例，引导和指导学生开展思考分析活动，让学生在多样性的解题过程中，思维能力有效提高，智力发展有效进步。
如在“三角函数正弦运用”问题案例教学中，教师在该问题案例的教学基础上，采用一题多变的形式，针对高中生在上述解题活动的实际情况，设置了“在ABC中，已知A=45°，B=60°，a=42cm，解三角形”，“在ABC中，已知B=45°，C=60°，a=12cm，解三角形”，“已知ABC中，sinA∶sinB∶sinC=k∶（k÷1）∶2k（k≠0），求实数k的取值范围”等问题案例。高中生在解析一题多变的问题案例中，对该问题案例解答的活动能够更灵活，思考分析该类型的方法能够更明晰和富有条理性。
三、开展辨析三角函数解题活动，培养高中生反思评析能力
教学实践证明，学生总是在不断的总结、反思、提升进程中获得学习能力的提高和进步的。学生在学习活动中，总结辨析问题的活动，不仅是教师应该所担负的责任，而且是学生所具备的责任。高中数学教师在三角函数问题解答过程中，应将反思辨析问题案例作为学习能力培养的重要环节，根据学生解题的实际情况，有意识地设置某一问题案例的解答过程，采用教师评价、生生互评等形式，开展评价辨析三角函数问题解答的活动，让学生在有效辨析解题过程中，有效提高反思能力、评价能力。
如在“求f（x）=■+■sin■的最大值及取最大值时相应的x的集合”问题案例活动中，教师在学生解析该问题案例基础上，针对以往学生解题中存在的易错之处，设置如下解题过程：
解：（1）①■sin2x∈（0，1）sin2x∈（0，2），2x∈（2kπ，π+2kπ）（k∈Z），
f（x）定义域为（kπ，kπ+■），（k∈Z）.
②x∈（kπ，kπ+■），（k∈Z）时，sin2x∈（0，1]，
■sin2x∈（0■]，log■（■sin2x）∈[1，+∞），即f（x）值域为[1，+∞）.
③设t=■sin2x′t，则y=log■t；y=log■t单减为使f（x）单增，则只需取t=■sin2x，t∈（0，■]的单减区间，2x∈[■+2kπ，π+2kπ）（k∈Z），故f（x）在[kπ+■，kπ+■]（k∈Z）上是增函数。
（2）f（x）定义域为（kπ，kπ+■），（k∈Z）不关于原点对称，f（x）既不是奇函数又不是偶函数。
（3）log■[■sin2（x+π）]=log■（■sin2x），f（x）是周期函数，周期T=π.
在教学过程中，既要重视数学形式性、抽象性、演绎性，更要重视数学具体性、应用性和归纳性。要将数学知识、解题方法体系的教学与数学知识、方法的形成过程联系起来，重视学生的体验和探究，提高学生的综合素质。在习题教学中，我们要强调，指导学生通过参与，体验解决数学问题的探索过程，不断反思、归纳、优化探索过程中问题解决的策略，进而丰富课堂结构，提高学生的课堂效率。
以个案方式呈现教学过程能够更好地展现教师设计教学的过程，实施设计内容，师生的互动及课后的反思，分析自己的实践过程等教学各环节具体的真实状态，更有利于教师与学生在深入探讨个案内容的基础上把握教与学的规律，进而提高教学质量。
现选择三个既有共性又各有特点的习题课教学案例来说明，对三道习题教学的认识与实践。通过教学的设计，教学的过程，及教学过程的分析与反思。
一、“一题多解”
例如：正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A―BD1―P的大小.
解题过程略
二、“多题成系统”
例如：设函数
（1）若 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。
（2）若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围。
（3）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
（4）若 ，使不等式 成立，求实数a的取值范围。
（5）若 ，不等式 成立，求实数a的取值范围。
（6）若 ，使不等式 成立，求实数a的取值范围。
解题过程略
三、“旧题”生“新意”
“二次型”函数求值
现以个案三为例，本节课的主要内容是在上完正弦函数的图象与性质，三角函数倍角公式后，讨论可化为“二次型”函数的三角函数求值域问题。对于学生而言，“二次（型）”函数求值域问题是比较熟悉的“旧题”，大部分学生也比较容易将三角函数与二次函数相结合的求值域问题这一“新题”转化为“二次（型）”函数求值域问题，所以，在上课前先以作业的形式让学生完成比较简单的化归问题，以此为基础在课堂上引导学生关注、探索“旧题”是如何衍生为“新题”的，从而使学生更深刻理解相关数学问题的联系方式，并促进学生探索能力的提高。
教学过程：
1.课前布置的作业
2.引入
先请学生在黑板上演示作业的解题过程，基本步骤如下：
将课题表述得很清楚，是想在“化归”中更强调后者。但这样设计，需要对学生有一定的前期训练，否则学生无法把握“发展”的方向，也需要教师对课题有比较深刻的把握，以利于判断学生“发展”出来的题目”与“旧题”的内在联系。
两道题都是利用三角公式通过换元将原来的三角函数求值域问题转化为二次函数在有限区间上求值域问题。这次作业只不过是将“旧”知识用到三角函数这个“新”问题中来。
3.发展
将（1）改为 ，
将（2）改为y=sinx-cosx+2sinx cosx，y=sinx+cosx+a sinx cosx等等，即将系改为其他常数或字母系数，这样变化，对解题方法有什么影响吗？其实没有什么变化，只是将系数变成其他系数，在换元以后的函数定义域上单调性可能与原来不一样了，如果换成字母系数，可能要分情况讨论才能求出值域，这是一个“旧题”发展变化成“新题”的常见方法：变化系数。那么题目能不能将（1）变成 （2）变成 呢？这个问题的提出很重要，让学生考虑这个问题，可使其对原问题的结构有更全面、深刻的把握，对“衍生”的方式有更准确的认识。
从刚才的提问中，可见“变”是有一定限制的，即要能够在换元后得到的函数还是“二次（型）”函数。否则，就变得与“旧题”的基本解题方法没有什么关联的“新题”了。教师可以不断引导学生，试一试考查一下，什么样的变化，不会改变解题的基本思路，什么样的变化就会改变整个解题方式。
看下列例题，想想这些“新题”是如何由“旧题”演化来的。
例1：求函数 的值域.
例2：已知 的取值范围。
例3：已知 的值域是[-11，9]，求实数a的取值范围。
在实际教学过程中，三个例子各有难点，教师引导学生一一分析、解决。一般来说，学生比较容易注意具体的解题方法技巧，将学生的认识用学生可以理解的语言抽象概括为更具有普遍性的规律。
例1中由于有“ ”的条件，使（2）中t的取值范围由 。例2中由条件 可化为 ，不仅可以通过换元将问题转化为二次函数在有限区间上求值域问题，而且还给出了新元 的取值范围为 。例3可以转化为已知二次函数的值域，反求函数表达式中的参变量的值。
例1、例2的变化相当于将原题中给出新元的范围的方法发展了，而例3则由“旧题”的已知与待求结论“换位”，利用逆向思维发展成新题。这些“新题”与“旧题”相比，综合性更强、难度更大，更能考查学生的综合素质。
4.小结与反思
总结从“二次（型）”函数在有限区间求值域问题是怎样由比较简单的问题不断变化的综合性越来越强的“新题”。
已知基本函数 讨论这类问题要考虑两点：
（1）对称轴与函数图象开口方向，决定函数的单调性；
（2）对称轴与区间 的关系。
有几个变化的方式：
（1）将 等常数变换为变量。如动区间定函数问题，定区间动函数问题等。
（2）改变x，即利用复合函数出新题。可将原题改为： 求值域问题，而且可以利用 的值域给出换元后新元的定义域。由于 的值域由x的取值范围而定，所以就可以与函数求值域问题相结合。
给出值域反求函数表达式中的字母系数。这类问题往往可以用分类讨论的方法与方程思想相结合。
关键词：问题教学法；导学；学案；有效
我校自2011年秋开始实施“学案导学”的问题教学课堂模式，要求教师在新课程理念的指导下，将重心下移，变讲堂为学堂，已经收到了明显成效。
一、目前课堂教学现状分析
1.注重教师教、忽视学生学的问题仍然存在。教师对学生不放心，对所教所学内容不放心，不敢放手让学生自主、合作、探究学习。教师以教定学，而不是以学定教，学生围着教师转，习惯于被动学习，其实践能力、思维能力及分析问题和解决问题的能力得不到有效提高。
2.一定程度上注重知识传授，忽视情感激发，只重教书而不重育人。教师的教学目标不能充分体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标，课堂教学紧盯知识与技能，忽视过程与方法，对学生的学习兴趣、习惯和学习过程考虑很少，缺乏情感的激发，学生的能力得不到有效提高。
3.过分注重习题训练，忽视能力培养。选题成了教师的备课重点，学案成了“习题集”，教学重点没有放在揭示知识形成的规律上，没有让学生通过“感知―概括―应用”的思维过程去发现真理，掌握规律，使学生在教学过程中思维得到训练，增长知识发展能力。
4.集体备课与教学研究没有真正发挥集体智慧。研究浅层次教什么，而没有深入到怎么教和为什么要这样教的问题。甚至某些教师把素质教育特别是课堂教学改革与提高教学质量相对立，错误地认为推行素质教育、搞课堂教学改革，要以牺牲教学质量为代价。
二、基于导学的问题教学法
我校目前大力推进的问题教学法，是以导学案的编写为授课的前提，或者说问题教学法的开展首先基于一份高质量的导学案，通过教师的导，引导学生自主地学。
导学案以学生的“学”为核心，引导学生主动参与、乐于探究、勤于思考，充分体现了学生在课堂的主体地位，突出教师由“教”转变为“导”的角色。设计导学案是上好课的首要前提。
教师设计导学案一般需遵循以下基本要求：
1.在“备教材”上做足文章。导学案的核心内容是怎样“学教材”，教材作为“教”和“学”的中介，是导学案的核心内容，要着重解决好这几个问题：（1）明确学习目标、任务和要求；（2）突出重点，抓住关键；（3）注重研究难点和突破重点；（4）明确教材体系和内容主次；（5）设计合理的达标练习和随堂延伸。
2.在“备学生”上下功夫。教师在设计导学案时，要做到“心中有学生”，分析学生的现有水平、学习需要、学习态度、学习方式、学习习惯、思维特点、个性差异、认识规律等。
3.设计学习过程。虽然不同课型课堂学习的步骤不同，但一般包括：（1）导入环节；（2）预习环节：自主学习；（3）学习展示环节：合作探究；（4）巩固练习环节：当堂达标；（5）结语环节：反馈、反思。
4.在“备练习”上精心设计，有的放矢。教师要紧密围绕学习目标、重点和难点，精心设计课堂练习，注重方式的灵活多样。忌练习题量偏大，忌题型缺乏层次。
5.在“备作业”上精心挑选，难易适中。作业要适量，作业的重点应针对学生易错、易忽视的教学重点内容，作业要适度，要有层次性，做到难易适中。
6.导学反馈、反思。一个好的导学案既要体现对学习过程的良好预见，又要体现对学习过程的深刻反思。这一环节看上去不是导学案本身的内容，但它是完善这一轮导学案及做好下一轮导学案的重要衔接，不可忽视。
导学案的编制要有利于对学生的“导”，“导学、导思、导练、导讲”。力求做到“知识问题化、问题层次化、层次递进化”，重视学生学习方法的指导。在“导”中进行探究学习，让学生在解决问题的过程中体验到成功的喜悦。
三、案例
下面是一份在我校2012年春“学案导学”问题教学优质课评比中获得一等奖的导学案。
1.4.3 正切函数的性质与图象
[学习目标]
1.掌握正切函数的性质及性质的应用，会画正切函数的简图。
2.经历数学研究的过程，学会应用类比推理与数形结合的方法处理问题。
[学习重难点]
正切函数的性质与图象的简单应用。
[学习过程]
1.回顾：（1）如何研究正弦、余弦的图像与性质？我们可以用这种方法来研究正切函数吗？
（2）tanα=_______，正切线_________。
2.类比正弦余弦的性质，探究正切函数的性质。
■
3.类比正弦函数图象的作法，依据上述探究的正切函数的性质，试做出正切函数y=tanx的图象。
4.当堂练习。
（1）判断正误：正切函数在整个定义域内是增函数。（ ）
（2）正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，正切曲线是否还关于其他的点和直线对称？
5.应用。
例：求函数y=tan（■x+■）的定义域、周期和单调区间。
练习：求函数y=tan（-2x+■π）的定义域、周期和单调区间。
探究：就函数y=tan（-2x+■π），你还可以提出什么问题？
这份导学案学习目标把握准确；课前预设诊断性强；导学内容、要求、方法、思考、训练明确，重难点突破设计有梯度；有利于学生的预习；有利于学生的自主学习和合作学习；指导学生学习的方法简洁有效。当堂检测题设计合理有效。
教师授课时问题明确，引导学生将学习精力集中在教学重点、难点与考点上，激发学生积极思维，努力促进学生对知识的理解和问题解决能力的发展。开展活动有效，能结合学习任务，创设适合学生进行自主、合作或探究的学习情境，引导学生在活动中学习知识，学会方法。
学生能主动参与教学活动，能够独立思考，勇于质疑并发表自己的见解。对知识的形成过程体验充分，结论领悟深刻。
问题教学法的精神是在教学中以学生为主体，关注每一位学生的发展，教师应该成为学生发展的促进者。教学不仅是一种认识活动过程，更是一种人与人之间平等的精神交流。对学生而言，交往意味着主体性的凸现、个性的表现、创造性的解放。对教师而言，交往意味着上课不仅是传授知识，还是一起分享理解，促进学习，上课不是单向的付出，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。交往还意味着教师角色定位的转换：教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，由传统的知识传授者转向现代的学生发展的促
克服内容抽象、形式化给学习带来的困难的数学学习（教学）方式。本刊2014年第11期中学教育教学版刊登
的《从感官到思维的体验》和2015年第1期课堂观察版刊登的《通过“实验型学习”建立数学概念》，都呈现了上海市金汇高级中学的蒋云鹏老师关于“实验型学习”的思考与探索。文章登出后受到很多读者的欢迎，很多读者觉得“实验型学习”这一提法内涵丰富、启发性强，不仅仅是简单的CAI。因此，从本期开始，我们会在“专题研究”栏目中陆续呈现一些这方面的研究成果，以蒋云鹏老师的典型案例研究为主
。当然，也希望广大读者踊跃来稿，积极参与研究、讨论。
蒋云鹏
（上海市金汇高级中学，201103）
一、函数教学中的主要困难及其成因
函数作为整个数学学科的核心内容，在教学设计和实施中，
主要存在以下几个
难以把握或解决的问题：第一，函数概念的建立和形成比较困难，学生所学习的函数知识往往比较肤浅、零散，没有达到和抓住本质；第二，
缺乏对函数各种表达方式的价值分析及优势比较，特别是忽视函数对应值列表的过程；第三，函数图像的产生过程缺失或冗长。
上述困难从表面上看，都是由于教学时间不够所导致的；
但实际上，
都是因为忽视了“实验型学习”的基本思路，或没掌握“实验型学习”的主要策略。
传统的函数教学，一般都是先给出某类
函数的
具体定义（解析式），再绘制其大致图像，然后根据图像说明其性质，
此后大部分时间则用于解题。在这样的教学中，可感实例的呈现多数比较匮乏，对应值列表常常作为绘制图像的一个步骤被一带而过，绘制图像的过程往往比较粗糙。
有些教师认为，这些内容并不重要，只要讲解一下，无需太多的体验与感悟，
也没有必要花时间理解与巩固；多数教师则是出于无奈，只能把函数的意义、列表、绘图这些核心内容
讲解得“半生不熟”。
“实验型学习”的突出特点是：呈现大量的事实材料和现象，使学习主体
通过视觉感受对应数值的计算、变化、联系以及数值转化成点的动态变化，体会那些解释不清或难以言表的“演绎”，从而经历学习的全部过程，并产生真实的深度体验；
同时，将大量的精确计算、描点这类没有思维含量的操作交由计算机在几秒钟内完成，从而留出时间用于对大量现象进行观察、思考和分析。
因而“实验型学习”能有效地解决上述困难。
二、函数教学的典型案例
【案例1】函数概念起始课
课始，教师提问：“谁知道自己家汽车的耗油量？这个数量是怎样测试出来的？”学生议论并大致回答后，教师出示表1，并说明：“表中是某辆车在从上海驶往南京的过程中记录下来的数据，你能知道该车的用油量吗？你能填写表中的空格吗？”学生尝试填写后，教师写出关系式y=12/100x，并让学生写出汽车行驶120千米、270千米时的用油量。学生尝试计算后，教师总结道：“用油量y随着汽车行驶路程x的变化而变化，对于每一个x的值，都能找到一个确定的y的值与之对应，这种一个变量x的变化确定另一个变量y的变化的关系，
称为函数关系。”
接着，教师举例道：“再比如，一条线段的长度r的变化确定了以此线段为半径的圆的面积S的变化。”然后，教师打开几何画板，作出一个圆；随着教师拖动圆的半径，计算机自动呈现了不同的半径值，并计算出不同的半径值对应的圆的面积值，同时生成了对应值表（如图1）。由此，教师总结道：“同样，S与r的关系也称为函数关系，我们称r为自变量，S是r的函数。”
此后，教师又举例道：“再比如，某天某地的气温T随时间t的变化而变化，正方体的体积随棱长的变化而变化……”然后，教师再请学生举例说明自己所知道的函数关系……
【案例2】二次函数概念起始课
……在介绍了二次函数的定义后，教师提问：“如何画出函数y=x2的图像？”学生回答：“列表、描点、连线。”然后，教师要求学生在事先准备好的学习单（其中列有表2）上进行填表、描点、连线。
填表、描点都进行得很顺利，但是，在连线时部分学生将所描的点按顺序用直尺连成了折线。教师看到后纠正说：“我们在学习反比例函数时曾强调过，要用光滑的曲线连线，画成几条线段的都是错误的，请同学们更正并牢记。”接着，教师打开几何画板，利用“绘制新函数”功能，直接绘制出y=x2的图像，让学生对照。
三、解决函数教学中主要困难的思路和策略
（一）通过大量的实验渐进地建构函数的意义
函数概念形成的关键是将研究的对象由静止、不变的现象转移到运动、变化的现象上，将注意力由单个常量的大小转移到两个变量的关系上。由于学生在之前的学习中长期面对的是独立不变的量（常数），缺乏观察变化情况、思考联系情况的经历和体验，因此，要实现这种转变是比较困难的。
案例1的设计者正是基于这种考虑，在引入函数概念时，运用了“实验型学习”的基本思路和策略：不急于下准确定义，而是通过学生已熟知的、经历过的（耗油量）问题，或当场看得到的、能经历的（圆的半径与面积）现象，让学生通过想象或感官去体验两个变量的关系；而且不惜举出大量的例子（包括学生自己举例）来说明这种关系，目的就是让学生增加一些经历，加深一些体验，产生“变量成对”的印象，为概念的形成奠定基础。
此外，案例1的设计者在这节函数概念起始课中，自始至终都没有给函数下精确的定义，而力求使学生在经过对大量的实例的观察、思考后，在所归纳出的“描述性定义”的辅助下，大致形成对函数意义的初步认识，即意识到：（1）两个变量之间会有确定的关系，一个变量会随另一个变量的变化而变化；（2）由于变量表示的事物有特定的意义，所以变量有一定的限制范围；(3)两个变量的对应值可以利用表格列出；(4)其中的规律可以利用代数式表达，从而简化和精准。
这种通过大量的实验（丰富直接的感官体验引发的思维活动）渐进地构建新概念的意义的做法，因符合学生本身的经验基础和认知习惯而显得自然，因在大量的可感事实的基础上获得认识而显得合理，是解决函数概念教学困难的有效思路和策略。
（二）突出对应值列表的过程，认清各种表示方式的价值和优势
对应情况（值）列表是一般人实际生活、工作和研究中最常用、最习惯的方法，也是最直接、最容易理解的函数表达形式。学生在学习函数时出现的概念模糊、思路狭隘、方法呆板等问题，往往都与忽视对应值列表的过程有关。很多学生在学习函数很长时间后，
仍然不知道各种函数的图像从何而来，而仅仅记住了它们的样子，导致了因果关系混乱。而且，很多学生在后面学习数列时，也不会列出项数与其对应值的表格以从中找到规律，甚至连“数列也是函数”“用函数方法研究数列问题”都需要专门花时间来教学。这些显然都是忽视函数对应值列表的过程而造成的恶果。
案例1的设计者正是基于这种考虑，每举一个例子后，都进行了对应值列表（实验）——其中有些数据是间接知道的，有些数据是借助计算机直接测量、计算出来的。这给学生的感觉是，他们看到的都是事实，没有强加的成分。最关键的是，对应值列表清晰地反映出变量变化的规律——如增还是减（单调性）、有无对称特点（奇偶性）、有无重复特点（周期性）等，都一目了然。对列表中数据的观察、分析充分了，图像的轮廓也就自然地在头脑中形成了；而经过分析、归纳发现的图像，无须强记，就会牢牢地固着在记忆中。这种主动的发现，比记住图像后反过来“利用图像说明性质”，学习效果要好得多。同时，
从思想方法的角度看，各种函数的部分特殊（自变量取正整数）对应值列表过程，实际上就是各种数列的研究过程。此过程处理得好，数列的学习就会容易得多，方法就会通透得多。
实际上，“实验型学习”能使函数对应值列表自然、高效地实现，并让学生自主地进行观察、分析，因而，特别有利于学生认清函数各种表达方式（列表、图像、解析式）之间的关系，并感受到对应值列表在实际研究中的必要性和优势。
（三）优化绘制图像的过程
如何描绘图像，一组对应变量由数转化为点体现了什么思想，图像为什么是“光滑的曲线”而非折线等，都是函数教学中极为重要的问题，事关整个函数思想和方法的形成。而这些问题在二次函数的教学中尤为突出，因为二次函数是初等数学的基础与核心内容，也是初中生第一次比较系统地借助函数图像研究函数性质的内容。
案例2的设计者似乎也注意到了这些问题，但其具体的做法有以下几点不妥：（1）在绘制图像前，没有让学生明白图像的意义，把握操作的过程。事先列表并规定了5个特殊的自变量值，忽视了学生的思考动因，限制了学生的思考空间。如果让学生自己取值，他们未必会只取这5个值，也未必会取得这么均匀、对称；而只有出现多种取值情况，才能比较、反衬出以上取值方法的合理性。（2）纠正学生错误的方法不妥，问题
的关键出在讲解反比例函数时，只“强调”了要用光滑的曲线连线，而没有解释为什么。“讲了多次，仍记不住”是许多教师共同的烦恼；而学生之所以总是记不住，就是因为他们总是不知道“为什么”，却要勉强地“记住”。（3）利用几何画板直接绘制出y=x2的图像，与在黑板上手绘图像、利用挂图或PPT等展示图像都一样，没有呈现实验的过程，只是告知预设的结果，使学生没有思考的机会，更没有质疑的余地，被动接受，当然难学难记。
结合上述分析，可以对案例2作如下改进和优化：首先，利用几何画板设置自变量x，计算出y=x2，然后，顺次选取
x、x2，列出动态表格。这里，教师可以通过键盘任意输入不同的x的值，x2的对应值将自动生成在动态表格中（如果硬件条件许可，学生可以在自己的移动终端上进行这些及以下操作）。当感觉表格中的数据够了时，就可以利用“绘制表格数据”功能将表格中的所有点（x，x2）绘制在坐标系中。此时可让学生观察点的分布情况，并尝试说出（或画出）函数的图像。如果出现折线图，教师则只需让
意见不同的学生相互讨论，引导学生自主发现、自主质疑、自主建构。
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