1.原题
（2013-8福建厦门 4分）-6的相反数是 .
2.命题价值：
无论是2012年还是2013年厦门市的中考考试说明，相反数都是归属于第一部分基础知识和基本技能方面“了解、理解、掌握‘数与代数’”的内容，要求所有考生能够对最简单的知识熟练掌握，为达到合格创造条件.
这样简单的一道题还考虑了相反数与绝对值概念混淆的可能，把二者的答案统一成同一个答案，为了送分真可谓用心良苦.普通校、后进校的老师以及学生想必都是欢迎这一题型的.我个人认为，这道题目的命制，其价值主要是送分作用，当然也能对后进生起到“激励和发展”的作用.
众所周知，中考除了为高中选拔人才，它还更是普及义务教育中的一环.它对初中三年的学科教学有着不可替代的反馈与推进作用.相反数这个考点自2010年以来厦门市都有考到，而有时增加绝对值或科学记数法或有理数运算中的一个或两个考点.近十年来这些是轮换的考点，而相反数考的频率最高。因此，在有理数这一章的教学中应重视“双基”的落实。
二、试题考点、解题思路与思想方法
核心知识：考查相反数的定义，属于基础题.
核心技能：根据相反数的定义求已知数的相反数.
命题设置问题的形式：设问直接、简洁.
解题思路：根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数称互为相反数”直接得出答案，也可根据互为相反数的两个数相加得零计算即可.
期望学生根据相反数的定义或有理数加法法则做出判断，属于送分题.
三、纵横向对比基础上的命题立意分析及考生常见错误与试题变式
1.纵向对比
点评：本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题.
（2011・10厦门4分）把1200000用科学记数法表示为1.2×106.
考点：科学记数法――表示较大的数.
专题：计算题.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|1时，n是正数；当原数的绝对值
1200000中a为1.2，小数点移动了6，即n=6.
解答：解：将1200000用科学记数法表示为1.2×106.
点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
（2012-1福建厦门3分）-2的相反数是（ ）
A.2 B.-2 C.±2 D.-12
可见：不管是厦门还是福建其他地区的中考中，相反数是一个较常涉及的考点.当然，绝对值、科学记数法、倒数、有理数运算也是有理数这一章较常见的考题.
2.命题立意与考生常见的错误
把相反数与绝对值的概念混淆是很多后进生的一大问题，但是本题把这两者的答案设计成一致的答案，大大提高了准确率，起到送分作用.
3.试题的变式
变式1：-2的相反数是_________.
变式2：-2的绝对值是_________.
变式3：把1100000用科学记数法表示为 .
变式4：-2的倒数是 .
四、讲评教学设计及命题建议
讲评教学设计：
（1）针对以上命题立意与考生思维的差异，讲评时应遵循学生从感性到理性、从形象到抽象的思考习惯，以小组合作交流为活动方式，利用小组的集体力量起到“扫盲”作用.
（2）通过合作交流“查病情”“找病源”，探究正确思路，从而达到提高后进生辨析能力的目的.通过示错―纠错―变式训练的教学过程，让学生在错误中学会思考，做到纠正一例，预防一片.
（3）借题发挥，帮助学生对相关知识进行归纳及对比分析.如，绝对值、科学记数法、倒数、有理数的简单运算等.
（4）针对不同题类，渗透答题技巧
选择题与填空题是数学考试中的两大题型，它们的显著特征是只要解题结果，不要解题过程，且结果是唯一的.在讲评这两种题型时，教师可以引导学生用特值法与排除法快速、准确地解答.
（5）讲评后要做好矫正、补偿，强调连续性
讲评课后必须根据讲评课反馈的情况进行矫正和补偿，这是讲评课的延伸，也是保证讲评课教学效果的必要环节.具体做法是：每次讲评后要求学生将答错的试题全部用红笔订正在试卷上，并把它收集在“错题集”中，做好答错原因的分析，并注明正确解答.同时，教师依据讲评情况，再精心设计一些有针对性的练习题，作为讲评后的补偿练习，使学生真正领悟试卷中暴露出来的问题，掌握典型问题的解题规律与技巧.
命题建议：
相反数安排一题，绝对值或科学记数法或倒数或有理数简单运算再安排一题.
五、反思与感悟
学生回忆概念相反数、绝对值，往往有不少学生会混淆.本题虽然设计让答案相同以利于提高准确率，起到送分效果.但是知识点的掌握问题仍未解决.基于这个特点，我们应引起注意，在教学中把相反数、绝对值的概念弄清.做到即使设计中没有送分成分（如：6的相反数是 .）也能得分.
本次讲评课可设计三个地方让学生分组合作交流.
1.通过合作交流“查病情”“找病源”，探究正确思路，从而达到提高后进生辨析能力的目的；
一、首先要注重提高学生对思维严密性的认识
思想是行动的指南，要重视学生思维严密性的培养，首先要注重对思维严密性的解读，提高学生对思维严密性的认识.很多学生表达问题不全面、解题经常出现错误，认为是“粗心”，只要下次认真就行.学生这种认识是一个误区，如果不及时给予纠正，学生这种“粗心”永远也改不了.教师针对学生表达问题不全面、解题经常出现错误，一定要及时分析清楚.让学生明确错误的根本原因在于基础知识、基本技能掌握不好、不牢所致，是思维不严密所致.这样提高学生对思维严密性的认识，有利于学生重视自身思维严密性的培养.
二、在学生的倾听和表达中培养思维严密性
学生的思维是内在的过程，看不见、摸不着.教师要经常让学生表达来反映他们的内在思维过程、方式、严密性.当一个学生在表达时，要求其余学生认真倾听，边听别人的意见，边对照自己的想法，并及时对他人的表达进行评价，哪些地方讲得好？哪些地方讲得不足？让学生互相比较，互相交流，最后教师再进行点评，表扬闪光点，分析错误的原因.这样，有利于学生发现自身思维过程、方式、严密性上的不足；有利于学生发现自身表达不完整、不严密的地方；有利于学生明白认识事物、解决问题要考虑各个方面、各个环节；有利于学生掌握认识事物、解决问题的思维方法；有利于培养学生的思维严密性.
三、在概念、定义教学中培养思维严密性
数学概念、定义是数学最基础的知识，也是思维严密性的基础.教师注重数学概念、定义教学，就是要对概念、定义逐字、逐句解读，尤其是关键字句的解读，并通过举正、反两方面的例子说明，帮助学生掌握概念的内涵与外延，让学生正确理解数学概念、定义.例如绝对值概念教学.绝对值在教材上有几何意义和代数意义两种定义.教师教学时，应遵循学生的认知规律，从实例出发，数形结合，阐明绝对值的几何意义，归纳出任何数的绝对值是一个非负数，并且也慢慢地让学生领悟绝对值的代数意义，即正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.
当然要加深学生对数学概念、定义的理解，还要让学生做练习给予巩固.学生才能更完整、更全面、更深刻地理解和掌握概念、定义的内涵和外延.同时，对学生在概念、定义易出错的内容，还要设计一些有针对性的题目进一步巩固.例如：绝对值概念应用时学生的常见错误有：
1.若x=8，学生只得出x=8，漏掉了x=-8这个解.
2.解 时，学生没有对y值讨论的情况下，草率地得出答案2.
3.在考虑字母的取值范围时，往往会漏掉“零”.如已知：|x|+2=x+2，求x的取值范围，学生只得出x>0，漏掉x=0.不注意绝对值是一个非负数.在实数范围内“非负数”就是“不是负数”，即指零和正数.
4.做化简习题时，学生不分区间进行分析.在化简8-x+3-x式子时，学生只得出11-2x一个答案.
5.若x+2+y-3=0，则x+y .学生无从下手.究其原因，就是没有切实掌握绝对值的基本概念.
通过这些针对性练习，并及时讲评，使学生对概念的理解更深刻、更透彻.从而培养学生的思维严密性.
四、在公理、定理教学中培养思维严密性
公理、定理、性质教学在初中教学中占相当大的比重.注重这方面教学，对培养学生的思维严密性至关重要.如教师对特殊四边形复习教学时，学生已掌握四边形的边、角、对角线相关的定理、性质.复习时让学生形成特殊四边形知识网络是重点，也是难点.复习时先让学生思考：对角线相等且互相垂直的四边形是什么四边形？有许多学生会答“正方形”这个错误答案.错误原因在哪？让学生共同分析，教师可让学生思考以下几个问题：
1.对角线互相平分的四边形是什么四边形？
2.对角线互相平分且相等的四边形是什么四边形？
3.对角线互相平分且互相垂直的四边形是什么四边形？
4.对角线互相平分、相等且互相垂直的四边形是什么样的四边形？
学生不难得出正确答案.通过以上几个思考题比较、分析，并结合特殊四边形知识网络讲解，让学生找出错误的原因：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都是互相平分的，对角线互相平分是构成平行四边形、矩形、菱形、正方形的必要条件.从而纠正了学生的错误.也培养学生的思维严密性.
五、在公式教学中培养思维严密性
教师注重公式教学，要让学生归纳公式的特点等.如教学“平方差公式”一节时，学生对平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，即两数和与两数差的积，等于它们的平方差.学生对这个公式内容记住不难，但应用时却经常出现如下错误：
1.（-a+b）（-a-b）=a2-b2；
2.（-a-b）（a-b）=a2-b2等等.
学生出现这些错误的根本原因是对平方差公式理解不透，没有掌握平方差公式的特点.教学时，教师要让学生归纳出平方差公式的特点：
1.公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同项，另一项是互为相反项；
2.公式右边是相同项的平方减去相反项的平方.
待学生掌握平方差公式特点后，再安排学生练习巩固如：
（-a+b）（-a-b）=a2-b2；（-a-b）（a-b）=b2-a2.使学生明确“左边一项相同一项相反，右边是相同项的平方减去相反项的平方”.从而培养学生的思维严密性.
六、在运算教学中培养思维严密性
运算教学时，首先要求学生正确理解概念，熟记理解公式、法则、定理，掌握它们的特点，还要注意定理、公式成立的条件.如：x=a，a≥0是必不可少的条件.其次要求学生养成规范书写的习惯，书写工整、格式正确、字迹端正、做到不潦草、不涂改、保持作业整齐美观，减少不必要的错误.第三让学生认真分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程.第四培养学生能从各个方面来迅速判断答案真假，能运用学过的数学知识从不同角度进行验算，提高其验算能力并养成良好的验算习惯.这样，学生的思维严密性自然得到培养.
七、在错题分析和讲解中培养思维严密性
教师针对学生练习、作业、测查出现的错题，根据出现错题的人数，可进行个别辅导、部分指导、集体讲评等方式，帮助学生分析错题的原因、找到解题的正确方法.学生因思维不严密，经常出现的错题如：
1. 的算术平方根是多少？有的学生会得出4.其错误原因是学生对16的两次算术平方根，只考虑一次，正确答案应为2；
2.两个有理数的和除以这两个有理数的积，其商为0，则这两个有理数的关系是什么？有的学生会得出互为相反数.其错误原因是学生对分母不为0和0的相反数为0没考虑周到，正确答案应为互为相反数且不为0；
3.若一元二次方程（m-1）x2-4mx+4m-2=0有实数根，则m的取值范围是什么？有的学生会得出m≥ .其错误原因是学生漏了考虑m-1≠0，正确答案为m≥ 且m≠0；此题如果改为方程（m-1）x2-4mx+4m-2=0有实数根，则m的取值范围是什么？学生得出m≥ ，答案是正确的；
4.半径为5cm的O中，弦AB//弦CD，又AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD两弦的距离是多少？有的学生会得出7cm，其错误原因是学生没有考虑到弦AB和弦CD可在圆心O同旁或两旁，学生漏考虑了另一种情况，正确答案为7cm或1cm；
5.两圆半径分别是5cm，3 cm，如果两圆相交，且公共弦长为6cm，那么两圆的圆心距是多少？有的学生会得出7cm，其错误原因是学生漏了考虑两圆相交还有一种情况，正确答案为7cm或1cm；
6.已知：O1与O2内切，O1O2=8cm，O1的半径为13cm，则O2的半径是多少？有的学生会得出5cm，其错误原因是学生漏考虑内切还有一种情况，正确答案为5cm或21cm；
7.已知：O1与O2相切，半径分别为6cm，9cm，这两个圆的圆心距是多少？有的学生会得出15cm，其错误原因是学生对相切的概念理解不透，相切包括内切和外切两种，学生漏了内切这种情况，正确答案为15cm或3cm.
但是，要将这一核心价值观在教师心中扎根，并转化为具体的教学行动，却不是件易事。请看以下几个教学案例：
案例1：教学“千以内数的认识”。教师发给学生练习纸，独立练习后，教师让学生对照屏幕上的答案判断正误。一位学生填写的是“（十）个一百是1 000”，而教师屏幕上的答案是“（10）个一百是1 000”，这位学生“很自觉地”打了“×”，但直到下课他的脸上都很茫然，看得出他对这个“×”存有不解。当然，上课教师自始至终也没有注意他的这个“×”以及这个学生因此带来的情绪变化。
案例2：教学“用字母表示数”。课尾练习：“一副扑克牌，取走a张，还剩（ ）张”。学生中出现了“取走a张，还剩（54—1）张”“取走b张，还剩（ c ）张”的填空。对此，教师只是简单地加以否定，出示正确答案，却丝毫没有考虑学生出现这种错误的原因（第一空是受了上课开始猜扑克牌中的字母“A”表示“1”的干扰，第二空则是26个英文字母顺序的强势负迁移）。
案例3：教学“分数的基本性质”。教师让学生举例解释对分数的基本性质的理解，一生对照下图说：变成，虽然分子和分母都扩大了2倍，但是，每一份都只有原来的一半，因此，分子分母的大小其实没有变。（学生的意思是：从数据上看，分子、分母都扩大了2倍，但是，变化后每一份的量其实都是原来的一半。如果将每份的量都统一标准，分子、分母其实都没变，因而分数的大小也不变）教师一时竟没有听懂学生的意思，示意其坐下后重新找学生回答：分子分母同时扩大2倍，所以分数的大小不变。
细细琢磨这些案例，我们不难看到，在实际教学中存在着不同程度的“儿童缺失”——缺少了对个体的关注，缺乏了对错误的包容，缺欠了对童心的解读……在课程改革“再出发”的今天，如何应对这种缺失现象，确立起真正的“儿童立场”，我以为以下几点甚为重要。
第一，从“群体儿童”走向“个体儿童”
客观地讲，每个教师在教学时都会考虑到学生的知识基础和生活经验，也会从学生学习的实际状况来调整教学进程，把握教学效果。再说，教学的基础依据是教材，教材编写时，也是充分考虑学生的认知规律和身心特点，将学生的学习放在首位。但在很多情况下，无论是教材编写者还是教学组织者，脑子里考虑到的“儿童”都是“群体儿童”，他们很难将教材和课前的备课与某个具体的孩子联系起来。而事实上，教学活动一旦开始，每个教师都不能不考虑到班级中的每一个儿童的学习基础和思维水平，不得不面对一个个独立的个体，只有将特定教学情境中每个学生最真实的状态呈现出来并据此进行教学，每一节课才变得唯一而不可复制，每一个学生的学习才是有意义的自我建构。事实上，我们只有从现实的教学情景出发，才能感受到一种强烈的“生命在场”。因此，我们在规划教学设计、进行具体教学时，要更多地想想班上的张三、李四、王五、赵六，每个人有什么学习背景，每个人可能会出现什么状况，每个人能在什么水平什么层次上达到怎样的预期，关注到这些，我们就会在课堂上找到“差异”，就能捕捉“意料之外”，并能将差异作为资源，让生成缔造课堂精彩，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
第二，从尊重儿童走向读懂儿童
我以为，一个好的教师，首先要能“保持阳光姿态，拥有一颗童心，让教学建立在尊重、信任和爱的基础之上，让每个学生因喜欢你而爱上你的课”。目前，“尊重儿童”已成为共识。课堂上的自由表达、对话辩论、大胆探究、开放实践等都表明学生正在成为课堂的主体，儿童的主体意志和自由精神得到了尊重和弘扬。但是，“尊重儿童”意蕴丰富。除了给他们动嘴、动眼、动手、动脑的时间和机会，更要尊重他们的思维、经验、学习习惯和成长规律。譬如，“认识小数”是三年级《数学》的教学内容，教材编排时都是从分数引入小数，这样编排充分考虑到学生先前已经初步认识了分数这一基础，符合从旧知引向新知的教材编排原则。然而，从学生已有的生活经验基础来看，他们对“用小数表示价钱”已经非常熟悉。我们曾经对县城小学、乡镇中心小学、村小、边远地区的1 200名三年级未曾在数学课堂上学习过“小数”的学生做过调查，知道“0.4元”是“小数”的学生有60%，知道“0.4元是4角”的学生达到75%。因而，我们在教学这一内容时就可以从价钱入手，然后引导学生寻求小数与分数之间的关联，会使课堂亮点不断。这看起来只是一个教学素材的“变序”问题，其实，是对儿童经验的一份尊重，是对儿童数学学习的一种“服从”。
当然，尊重儿童是基点问题、原则问题、伦理问题，而读懂儿童则是课堂的真谛，特别是当我们的视线从群体儿童转向个体儿童的过程中，读懂儿童就显得特别重要。前述三个案例都在一定程度上表明教师并没有真正地读懂儿童，至少教师没有能捕捉到儿童最真实的内心，揭露每一个“错误”背后的真正根源，并由此让学生在学习中获得更深刻的理解。读懂儿童看起来简单，其实，“童心密码”是最难打开的。这在课堂上就需要我们给学生更多的时间来陈述观点，需要更多地呈现学生课堂学习的差异，更多地让他们在相互解释、验证、辨别中明白他人的思考。当然，教师也应该凭借自己的经验和理解，帮助学生释疑解惑，点石成金。毫无疑问，还必须有数学素养和教学智慧。总之，只有读懂了儿童，才能让教学更本真，师生更合拍，效用更长远。
随着信息化的应用方面及程度不断突破，对世界政治、经济、文化等各方面都将产生深刻影响，原教育部部长陈至立在中小学信息技术教育会议上的报告中强调了大力普及信息技术教育的重要性，我们必须从中小学就开始普及信息技术教育，争取早日走在世界的前列。
在这样的大环境下，利用计算机课程的程序设计知识，培养学生使用电脑解决问题的意识， 掌握使用电脑解决问题的方法，融合数学知识，解决数学问题。本文就其中一节课的设计情况作了介绍。
一、课程的背景
在七年级开设的计算机课程中的C语言程序设计知识，通过学习，学生掌握了基本的程序设计的知识和方法。本学期，进行到了函数环节的学习，本节课的设计就是在这个基础上开展的。
二、知识分析
函数是计算机编程语言中非常重要的概念，它可以极大地降低程序设计的强度和难度。C语言提供了353个各类的库函数，如此多的库函数全部讲解肯定是不现实的。如何让学生既能学到应有的知识，又有可持续发展的可能，就成为本节课设计首先要思考的问题。其次，如何让孩子在课堂上学得开心，自然地接受函数的相关知识也是要考虑的问题。
三、实现方法
对于函数的学习，本节课设计有三个目标：1.掌握函数的学习方法； 2.体验分析、推导的作用和乐趣；3.了解知识具有的相关性，联系、比较可以提高学习效率。
带着这三个目标，我设计了如下内容：
1.介绍如何看函数原型，一个实例（为了防止类型单一造成混淆，自定义了一个函数）
函数原型：int mid（double x， float y ，int m）
函数功能：各不相同
函数参数：强调是括号里的内容，以逗号分开，类型很重要
函数返回值：强调类型是第一个单词，特别地如果返回值为空为void
所在头文件：强调以#include方式说明
2.有了这个纲领性质的知识准备之后，我结合七年级学生的知识水平，精心选择了三个函数：abs（ ），floor（ ），sqrt（ ）。
abs（ ）函数是用来求整数的绝对值的，这是学生熟知的知识，按照开始的讲解，孩子可以顺利地利用程序求出给定数的绝对值，无论在操作方面还是理解方面，基本不存在难度。
floor（ ）函数是用来求不大于参数的最大的整数，这个功能相对有点抽象，但有了前面的成功经历后，使用这个程序求出给定数的值是不存在难度的。所以重点在于功能的理解上，使用的方法是猜想、验证。比如输入12.35后，让学生根据功能说明猜测答案12，然后再输入12.9999猜测答案（12或13） ，然后给出正确答案12，最后输入12猜测答案。通过这样的交互，对于不大于这个概念就有了相对清晰的认识。为了更进一步地理解，我把数据在数轴上进行了演示。为了巩固，我特意加了-3.79这个题目，同时强调负数绝对值越大，值是越小的。在巩固了数学知识的同时，我强调一个学习方法：在掌握一定基础知识的前提下，对现象进行猜想，然后验证，这样的学习效果好而且效率高。
sqrt（ ）函数是用来求算术平方根的，有了前面的分析基础，这个功能学生们很快就可以把测试的数据归到16、25、36、81……这样一些特殊的数上。到此，函数的学习就可以结束了。在知识之外，再次阐明一个概念：学习要进行对比、联系，为此设计了一个更高级的函数对数的学习。设计了三个例题：log525，log327，log216，从结果来看，答案1只有部分学生可以猜想得出，在有了答案l的基础上，答案2的正确率达到绝大多数，答案3接 近全部。最后设计了一个环节，乘方是小学乘法的延伸，平方根是知道指数、幕求底数，对数是知道底数、幕求指数。
3.小结
四、课后反思
这节课本来是相对枯燥的，但由于从学生们已有的知识入手，同时又让学生有了探索、发现的空间，整节课笑声不断，学习效果非常好。甚至一些平时相对较差的学生在课堂上也能积极思考得到相应的答案，而且整堂课的注意力、作业的完成情况较以前有较大进步。
【关键词】数学思想；数形结合；以形助数；以数解形
数形结合的思想方法是数学教学内容的主体之一。数与形的结合可以使某些抽象的数学问题直观化，能够把抽象思维转化为形象思维，有助于把生活实际问题转化为数学问题，建立数学模型，从而把实际的问题迎刃而解，起到画龙点睛的作用。
在新课改后，在初中数学教学中应用到数形结合思想进行教学的内容占的比例较大。主要体现在：①实数与数轴上的点的对应关系②方程与方程组③不等式与不等式组④函数问题⑤概率与统计⑥图形的相似及坐标，下面我们就通过具体的例子来加以说明这一直观的数学思想方法的具体应用
1.实数与数轴
1.1 实数包括有理数和无理数。而有理数和无理数都可以在数轴上表示，反之数轴上的每一个点都对应着某一个有理数或无理数。所以实数与数轴上的点是一一对应的关系，这时若要向学生解释一一对应的关系，可以采用数形结合的方法呈现给学生。
案例一：如图（1）
在数轴上除了有-1，-2， 0， 1， 2， …有理数之外还存在着无理数，如以坐标圆点为顶点，以单位“1”的长度作正方形，则对角线的长度为 ，再以0点为圆心，对角线的长为半径画弧线与数轴交于点B，所以B点表示的数就是无理数 ，以此类推，我们还可以得到 ，- ， …等更多的无理数，因此有理数和无理数就把数轴上的所有点填满了，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。并且数轴上的数从左到右逐渐增大
案例二：如图（2）在数轴上：
分析：在案例二的第二个问题中，是把形化为数，这是解决此类问题的突破口，也就是解题的瓶颈，只有利用形与数的完美结合与互化才能解决此类问题，体现了数形结合的思想价值。
1.2 相反数与绝对值
相反数是指只有符号不同的两个数互为相反数，而绝对值是指一个数离开坐标原点的长度单位（注0的相反数与绝对值都是它本身），在相反数与绝对值的数学过程中，如果采用数形结合的方法进行教学，那么取得的教学效果是事半功倍。如图（2）中，1的相反数是-1，-2的相反数是2， 的相反数是- ，4的相反数是-4，
1=1 -2=2 -3=3
由此我们还可以得出结论：①数轴上的数从左到右逐渐增大，②对于负数绝对值越大的数反而越小，③负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，④互为相反数的两个数绝对值相等。在案例一，案例二中，如果我们只采用“数”的方法讲解，而不采用“数与形”结合的方式，学生是很难理解的，只有把数与形互相结合起来，真正做到直观化，形象化，学生就能够一目了然，由此我们还可以把问题由特殊化转为一般化，就可以很轻松的得到结论
解。反之，如果在平面直角坐标系中，
知道了两条直线L1和L2的交点坐标，也可以根据交点坐标得出相应的方程组。
3.解决一元一次不等式（组）和一次函数结合的问题
在近几年中，考察不等式的题型在原有的填空题，选择题，解答题，求不等式组的解集的基础上有了新的突破。特别是在不等式与方程结合的实际方案优化设计问题，不等式和一次函数结合方面考察的较多。解决这类问题的关键是采用数形结合的思想，把“数”化为“形”，使复杂问题简单化。
案例5.已知直线 经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线 经过点A，
求不等式 的解集。
解析：如果采用单一的“数”的形式来解决这类问题（即用代数的方法），需要把点的坐标代入函数关系式中，用“待定系数”法求出函数关系式，再把函数关系式代入不等式中组成不等式组，最后求出不等式组的解集。虽然这样处理问题，能够得到最终的答案，但是做起来感觉比较繁，又会浪费我们许多宝贵的时间。如果采用“数形结合”的办法来解决，会起到把复杂问题简单化，起到立竿见影，事半功倍的效果。
解析：⑴建立平面直角坐标系，作出函数图象，如图（5）所示。
⑵由函数图象可知：函数 是减函数y随x的增大而减小，并且当x>-2时y-2时
x0.即x0
⑶函数 是正比例函数，y随x的增大而增大。当x>O时y>O，即2x>O，当x
⑷函数 与 相交于点A（-1，-2），都与直线x = -1相交，并且在直线x = -1的左侧是 >2x，在x = -1的右侧是
因此不等式 的解集是-2
由函数图象我们还以得到不等式 的解集是-1
这样，我们就把复杂的问题简单化，从而起到优化解题途径的目的，做到“数”与“形”的互变。让学生产生豁然开朗的感觉，不仅提高了学习效率，还培养了学生的学习兴趣。
4.以形助数解决函数问题
在初中的教学内容中，函数包括一次函数，反比例函数和二次函数。在教学过程中数形结合的教学方法是解决函数问题的关键，要学会从“数”分析到“形”，由数的特征想到形的特征，又由形的特征想到数的特征，能够变抽象思维为形象思维。这样有助于把握数学问题的本质，做到由数思形，以形想数。
4.1 解决一次函数问题
一次函数是历年学业水平测试命题的重要考点，尤其是最近几年，越来越受到重视，考查这部分的试题不仅数量多，而且题型新，一些与现实生活密切相关的应用题、阅读题、开放探索题等层出不穷，解决这类问题的关键是利用数形结合的办法。
案例6.如图（6）所示：小虹准备到甲、乙两商场去应聘，下图中L1，L2分别表示了甲、乙两商场每月付给员工的工资y1和y2（单位：元）与销售商品的件数x（单位：件）的关系。
⑴根据图象分别求出y1，y2与x的函数关系式。
⑵根据图象直接回答：如果小虹决定去应聘，她可能会选择甲商场还是乙商场？
解：（1）设L1的函数关系式为y1=k1x，把（40，600）带入y1=k1x中，得40k1=600，解这个方程，得k1=15，所以y1与x的函数关系式为y1=15x.
设L2的函数关系式为y2=k2x+b.把（0，400）与（40，600）带人y2=k2x+b中，得 。解这个方程组，得 。所以y2与x的函数关系式为y2=5x+400
（2）当销售件数大于40件时，选择甲商场
当销售件数小于40件时，选择乙商场
当销售件数等于40件时，选择去甲商场或乙商场都一样。
4.2 解决反比例函数与一次函数结合的问题
反比例函数也是学业水平测试的必考内容，近年来备受青睐。反比例函数的图象与性质、解析式的确定及实践应用都是热点。在解答题中主要考查反比例函数与一次函数结合为主，难度处于低、中档次。
案例7.如图（7）所示：已知一次函数y1=x+2与反比例函数y2= 图象相交于A，B两点，A点坐标为（1，3）。
⑴试确定B点的坐标及反比例函数的表达式。
⑵若y1>y2时，求x的取值范围
解：⑴反比例函数y2= 的图象经过点A（1，3）
，k=3
反比例函数的表达式为
由 消去y，得x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0
x=-3或x=1，可的y=-1或y=3
于是 或
点B在第三象限，点B的坐标为B（-3，-1）
⑵要求y1>y2时，x的取值范围，即x+2> 。此时对于初中的学生来说，要用代数的方法解决这个问题是很难的，可以说是无法解出的。要解决这个问题，我们只能借助函数图象，采用数形结合的办法来解决，使问题简单化。
解析：①分别过一次函数和反比例函数图象的交点作x轴的垂线，分别与x轴相交于-3和1（即直线x=-3和直线x=1，如图（7）中的虚线所示）。②分别以直线x=-3和直线x=1的左右来区分是一次函数的值大，还是反比例函数的值大。而在直线x=-3和直线x=1的左右两边，什么函数图象在上，就是该函数的函数值大。③根据函数值确定自变量的取值范围（注：自变量x不能取到0，要与y轴为分界线）
因此y1>y2时，x的取值范围就只能在直线x=-3和直线x=1的右边来确定。因为在直线x=-3和直线x=1的右边都是一次函数的图象在上，所以y1>y2时，自变量x的取值范围是-3
4.3解决二次函数的问题。
二次函数是初中水平测试命题的热点，各种题型，各档次试题都会涉及。特别是与实际生活相关的阅读理解题、实际应用题、探索题在最近几年中更为突出。解决这类问题的关键是利用二次函数的图像与性质，建立二次函数模型，用数形结合的思想方法进行。
5.解决概率的问题。
例8.在一个不透明的口袋里装有5个分别标有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同。现从口袋里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标。那么点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是多少呢？
解：⑴画树形图表示点P的所有可能情况
开始
⑵点P的坐标有P1（1，1），P2（2，4），P3（0，0），P4（-1，1），P5（-2，4）.其中点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的点只有P1（1，1），所以点P落在抛物线y=-x2+2x+3与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率为 。
6.教学过程中要注意数学思想的培养
中学阶段的数学基本思想包括分类讨论的思想，数形结合思想，变换与转化的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想等等，中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和教学上，就能够发展学生的数学能力。其中数形结合思想使一种很重要的思想，它贯穿于整个初中数学的教学内容中。对中学数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，提高解题能力，尤其在初三系统复习中，如果教师利用好“数形结合”思想来培养学生的学习兴趣，那么提高学习效率，提高教学成绩是有很大帮助的，我们就能在学业水平测试中取得优异的成绩。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社
[2] 云南省初中学业水平标准与考试说明数学[I].昆明：云南教育出版社
[3] 云南省2011中考完全解读[I].云南：云南教育出版社
解题教学口诀化
许多数学知识，如公式、定理、法则以及一些解题技巧，需要学生在解题的基础上准确识记，只有记得牢固，用起来方能得心应手，在教学中常常将一些法则编成朗朗上口的口诀，让学生记忆，激发学生对法则的理解，下面举几个数学口诀与大家一起分享。
口诀一 有理数加法法则：“先定符号再计算，同号相加不变号，异号相加大减小，符号跟着大的跑。”寥寥几笔就勾画出有理数加法法则，它与小学的数学计算题只定绝对值相区别，因为有理数加法先确定符号是前提。不过在确定符号时又需考虑两种情况：同号相加和异号相加，同号相加容易掌握，而异号相加是符号跟着大的跑（意思是：异号两数相加的符号由绝对值大的加数的符号确定）。
口诀二 因式分解口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。”这样一组押韵口诀道出了因式分解的基本步骤，也是学生思考问题的方法和技巧，非常实用，同时也便于学生记忆。
口诀三 三角形证明相关口诀：“途中有角平分线，可向两边作垂线，也可将图对折看，对称过后关系现，角平分线平行线，等腰三角必出现，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两端把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线翻一番。”这样的证题口诀给学生学习三角形中常见的辅助线指明了方向，也为学生添加辅助线道出了真谛。
解题教学程序化
在解题过程中，提倡解题教学程序化，这对提高学生的解题速度、对解题过程的理解深度都会有大的提高。解题过程程序化主要有以下三个特点：一是针对性，即程序针对某一类数学题；二是可操作性，即有一套有效的方法和步骤，也为这类题的解答提供了方向；三是简洁性，即这套方法和步骤常常可用一个图表、几句口诀、一串步骤，甚至一组题来表示，容易记忆。
解法程序化的好处有哪些呢？首先，有利于学生解题。在教学过程中进行适当的训练是有必要的，但是把习题整理成有一定程序的、可操作的类型或解题模块，帮助学生在头脑中形成认知结构也是有必要的。其次，有利于学生形成“模块意识”。在杂乱无章的解决问题的方法中，能够整理、选择、总结出一些合理的、有序的、可操作的解决问题的程序，有利于学生“模块意识”的形成和构建。可以说，这种模块意识含有算法的成分，而算法是一种数学基本思想。最后，有利于提高学生的思维素质。如果通过师生之间、生生之间总结出解题程序，可以大大提高学生的思维能力，因为总结程序化的建构中有比较、有分类、有抽象、有寻找联系等，这些思维活动要求较高，可以这样讲，解题程序的建构过程本身就是一种创造性思维的过程。这里以七年级数学的三个案例加以说明：
案例一：以《整式的加减》一章中程序化解题教学模式为例，本章概念多、运算多，为帮助学生准确理解有关的概念，正确进行运算，教师可以采取设计相应的解题程序来解决教学中的一些难点。比如，在教学《求代数式的值》这一节时，规范学生的解答过程就是本节课的重点，也是难点；教学这一节时常会出现学生的解答格式不正确等现象，而课后纠正多次也无济于事；想到这里，笔者就编了一套求代数式“十字诀”的程序，即“一当、二抄、三代、四算、五查”；@样一来，学生在操作过程中就不会出错了。在讲解合并同类项时，笔者将它编成程序“一找、二标、三合、四排序”，寥寥几个字就给学生合并同类项提出了程序化的操作过程，学生只需按照这一步骤进行实践和操作就行了。在教学同类项的概念时，为了帮助学生对这一概念的理解设计了程序“二同、二无关、一注意”的分析模式，其中“二同”是指所含字母相同，相同字母的次数也相同；“二无关”是指与字母的顺序无关，与单项式的系数无关；“一注意”是指所有的常数都是。
案例二：以教学《有理数》一章为例，本章教学的重点应放在计算上。然而在教学中，学生出错是常见的问题和现象，其实质是学生在计算过程中没有养成检查的习惯，或掌握检查的方法。为此，教学中编写了“计算四查”的口诀，并以此作为检查时程序化解题的模式来帮助学生解题。即“抄写题目立即查，上下誊字仔细查，计算过程反复查，计算结果全面查。”其中，“一查抄题”，查抄题中被抄写的数字、字母、符号等是否抄错，题目中的条件是否抄漏，做到解题前有备而防；“二查誊写”，查誊写中原有的数字、字母、符号等是否誊错，计算出的新结果是否有误，保证解题过程的正确进行；“三查过程”，要求计算过程反复查，查过程的重点应放在运算法则、运算定律的正确使用上，包括关键性的步骤是否省略或算错，前后的因果关系、层次性是否清晰等，保证解题万无一失；“四查结果”，全方位地查运算结果，既要查所得结果是否正确、是否符合题意，也要查所得结果在表达上是否规范、简洁，这就要求在计算后养成验算的习惯。
案例三：在《有理数》一章中有一类“化简绝对值”题目的教学，实质上这是初中数学中一个相当难理解的内容。为了帮助学生顺利渡过这一难关，笔者在实际教学中设计了“化简绝对值三部曲”的解题程序：第一步，确定绝对值号内式子的符号；第二步，去掉绝对值号添括号；第三步，去括号并项。例题如下：
已知：若表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如下图所示，那么代数式|a|+|a-b|-|b-1|的结果是（ ）。
分析与解
a0，b-1
|a|+|a-b|-|b-1|
=（-a）+（a-b）-（-b+1） （去绝对值号添括号）
=-a+a-b+b-1
=-1 （去括号并项）
这样一来，学生在化简绝对值时有了一定的操作模式，再加上一定的运算功底，应该比较容易掌握。
解题教学板块化
在教学综合题的解答时，学生不知怎样分析和思考是一个常见现象，同时在表达中如何规范地表述解答过程也是不容易掌握的。所以在实际教学中，帮助学生思考，帮助学生准确表达，应作为解题教学的重点。实质上，规范的表达是一个人思维是否严谨的表象，通过实践，在解题教学中采取板块式分析与解答，会帮助学生渡过这一难关的。下面以“整式加减”教学中的一道练习题为例。
例：计算M-[N-2M-（-M-N）]，其中M=x2+3xy+y2，N=x2-3xy+y2，且x=-9，|y|=2，x+y=-7.
分析与解：
M-[N-2M-（-M-N）]=M-[N-2M+M+N]=M-N+2M-M-N=2M-2N（第一板块）
当M=x2+3xy+y2，N=x2-3xy+y2时，2M-2N=2（x2+3xy+y2）-2（x2-3xy+y2）=2x2+6xy+2y2-2x2+6xy-2y2=12xy（第二板块）
|y|=2 y=±2.又x=-9，x+y=-7 y=2.（第三板块）
当x=-9，y=2时，12xy=12×（-9）×2=-216（第四板块）
上面的解答给我们的启迪是：解答数学题时，针对一些复杂、步骤多的题目，可借鉴语文中写作文的方式――“开头写什么、接着写什么、最后写什么”。这种板块式解题模式，既保证了数学解题中思路的严谨性，又保证了语文中的层次性，有助于学生对知识的深刻理解和灵活应用。
人教版初一上册数学期末试题
一、选择题(单项选择，每小题3分，共21分).
1.﹣2的相反数是(
)
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
2.下列有理数的大小比较，正确的是(
)
A.﹣2.9>3.1 B.﹣10>﹣9 C.﹣4.3<﹣3.4 D.0<﹣20
3.下列各式中运算正确的是(
)
A.6a﹣5a=1 B.a2+a2=a4
C.3a2+2a3=5a5 D.3a2b﹣4ba2=﹣a2b
4.下面简单几何体的主视图是(
)
A. B. C. D.
5.修建高速公路时，经常将弯曲的道路改直，从而缩短路程，这样做的数学根据是(
)
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短
C.垂线段最短 D.同位角相等，两直线平行
6.如图所示，射线OP表示的方向是(
)
A.南偏西25° B.南偏东25° C.南偏西65° D.南偏东65°
7.定义新运算：对任意有理数a、b，都有 ，例如， ，那么3⊕(﹣4)的值是(
)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共40分).
8.|﹣3|=
.
9.地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000千米，将110000用科学记数法表示为
.
10.在有理数 、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有
个.
11.把3.1415取近似数(精确到0.01)为
.
12.单项式﹣ 的次数是
.
13.若∠A=50°30′，则∠A的余角为
.
14.把多项式5x2﹣2x3+3x﹣1按x的降幂排列
.
15.如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中“新”面的对面上的字是
.
16.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，EF是经过B点的一条直线，∠EBD=145°，则∠ABF的度数为
.
17.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：
(1)|a|=
;
(2)|a+c|+|a+b|﹣|b﹣c|=
.
三、解答题.
18.计算下列各题
(1)4×(﹣3)﹣8÷(﹣2)
(2)(﹣ + ﹣ )×24
(3)﹣42+(7﹣9)3÷ .
19.化简：(x2+9x﹣5)﹣(4﹣7x2+x).
20.先化简，再求值：(7x2﹣6xy+1)﹣2(3x2﹣4xy)﹣5，其中x=﹣1， .
21.如图，点B是线段AC上一点，且AC=12，BC=4.
(1)求线段AB的长;
(2)如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长.
22.根据要求画图或作答：如图所示，已知A、B、C三点.
(1)连结线段AB;
(2)画直线AC和射线BC;
(3)过点B画直线AC的垂线，垂足为点D，则点B到直线AC的距离是哪条线段的长度?
23.如图已知AD∥BC，∠1=∠2，要说明∠3+∠4=180°.
请完善说明过程，并在括号内填上相应依据
解：AD∥BC
∴∠1=∠3 (
)，
∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3 (
)，
∴
∥
(
)，
∴∠3+∠4=180°(
)
24.张大爷对自己生产的土特产进行试验加工后，分为甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表：
重量(克/袋) 销售价(元/袋) 成本(元/袋)
甲 200 2.5 1.9
乙 300 m 2.9
丙 400 n 3.8
这三种不同包装的土特产每一种都销售了120千克.
(1)张大爷销售甲种包装的土特产赚了多少钱?
(2)销售乙、丙这两种包装的土特产总共赚了多少钱?(用含m、n的代数式表示)
(3)当m=2.8，n=3.7时，求第(2)题中的代数式的值;并说明该值所表示的实际意义.
25.如图①所示，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°.
(1)∠DEC的度数为
°;
(2)试说明直线AD∥BC;
(3)延长DE交BC于点F，连结AF，如图②，当AC=8，DF=6时，求四边形ADCF的面积.
26.如图①所示是一个长方体盒子，四边形ABCD是边长为a的正方形，DD′的长为b.
(1)写出与棱AB平行的所有的棱：
;
(2)求出该长方体的表面积(用含a、b的代数式表示);
(3)当a=40cm，b=20cm时，工人师傅用边长为c的正方形纸片(如图②)裁剪成六块，作为长方体的六个面，粘合成如图①所示的长方体.
①求出c的值;
②在图②中画出裁剪线的示意图，并标注相关的数据.
人教版初一上册数学期末考试题参考答案
一、选择题(单项选择，每小题3分，共21分).
1.﹣2的相反数是(
)
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
【考点】相反数.
【分析】根据相反数的定义进行解答即可.
【解答】解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣(﹣2)=2.
故选A.
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.下列有理数的大小比较，正确的是(
)
A.﹣2.9>3.1 B.﹣10>﹣9 C.﹣4.3<﹣3.4 D.0<﹣20
【考点】有理数大小比较.
【专题】推理填空题;实数.
【分析】A：正数大于一切负数，据此判断即可.
B：两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
C：两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
D：负数都小于0，据此判断即可.
【解答】解：﹣2.9<3.1，
∴选项A不正确;
|﹣10|=10，|﹣9|=9，10>9，
∴﹣10<﹣9，
∴选项B不正确;
|﹣4.3|=4.3，|﹣3.4|=3.4，4.3>3.4，
∴﹣4.3<﹣3.4，
∴选项C正确;
0>﹣20，
∴选项D不正确.
故选：C.
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数，绝对值大的其值反而小.
3.下列各式中运算正确的是(
)
A.6a﹣5a=1 B.a2+a2=a4
C.3a2+2a3=5a5 D.3a2b﹣4ba2=﹣a2b
【考点】合并同类项.
【专题】计算题.
【分析】根据同类项的定义及合并同类项法则解答.
【解答】解：A、6a﹣5a=a，故A错误;
B、a2+a2=2a2，故B错误;
C、3a2+2a3=3a2+2a3，故C错误;
D、3a2b﹣4ba2=﹣a2b，故D正确.
故选：D.
【点评】合并同类项的方法是：字母和字母的指数不变，只把系数相加减.注意不是同类项的一定不能合并.
4.下面简单几何体的主视图是(
)
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解：从正面看易得第一层有1个正方形在左侧，第二层有2个正方形.
故选B.
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.
5.修建高速公路时，经常将弯曲的道路改直，从而缩短路程，这样做的数学根据是(
)
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短
C.垂线段最短 D.同位角相等，两直线平行
【考点】线段的性质：两点之间线段最短.
【分析】根据线段的性质解答即可.
【解答】解：将弯曲的道路改直，从而缩短路程，主要利用了两点之间，线段最短.
故选B.
【点评】本题考查了线段的性质，为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短.
6.如图所示，射线OP表示的方向是(
)
A.南偏西25° B.南偏东25° C.南偏西65° D.南偏东65°
【考点】方向角.
【分析】求得OP与正南方向的夹角即可判断.
【解答】解：90°﹣25°=65°，
则P在O的南偏西65°.
故选C.
【点评】本题考查了方向角的定义，正确理解定义是解决本题的关键.
7.定义新运算：对任意有理数a、b，都有 ，例如， ，那么3⊕(﹣4)的值是(
)
A. B. C. D.
【考点】有理数的加法.
【专题】新定义.
【分析】根据新定义 ，求3⊕(﹣4)的值，也相当于a=3，b=﹣4时，代入 + 求值.
【解答】解： ，
∴3⊕(﹣4)= ﹣ = .
故选：C.
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律.
二、填空题(每小题4分，共40分).
8.|﹣3|= 3 .
【考点】绝对值.
【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案.
【解答】解：|﹣3|=3.
故答案为：3.
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键.
9.地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000千米，将110000用科学记数法表示为 1.1×105 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：110000=1.1×105，
故答案为：1.1×105.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
10.在有理数 、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 2 个.
【考点】有理数.
【分析】利用分数的意义直接填空即可.
【解答】解：有理数 是分数、3.14是分数，故有2个;
故答案为：2.
【点评】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键.
11.把3.1415取近似数(精确到0.01)为 3.14 .
【考点】近似数和有效数字.
【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入即可.
【解答】解：3.1415≈3.14(精确到0.01).
故答案为3.14.
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数;从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字.
12.单项式﹣ 的次数是 3 .
【考点】单项式.
【分析】根据单项式次数的定义来确定单项式﹣ 的次数即可.
【解答】解：单项式﹣ 的次数是3，
故答案为：3.
【点评】本题考查了单项式次数的定义，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键.
13.若∠A=50°30′，则∠A的余角为 39°30′ .
【考点】余角和补角.
【分析】根据互余的两个角的和等于90°列式计算即可得解.
【解答】解：∠A=50°30′，
∴∠A的余角=90°﹣50°30′=39°30′.
故答案为：39°30′.
【点评】本题考查了余角的定义，熟记互余的两个角的和等于90°是解题的关键.
14.把多项式5x2﹣2x3+3x﹣1按x的降幂排列 ﹣2x3+5x2+3x﹣1 .
【考点】多项式.
【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答.
【解答】解：多项式5x2﹣2x3+3x﹣1按x的降幂排列：﹣2x3+5x2+3x﹣1.
故答案为：﹣2x3+5x2+3x﹣1.
【点评】此题主要考查了多项式幂的排列.我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列.
要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号.
15.如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中“新”面的对面上的字是 乐 .
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“你”与“年”是相对面，
“新”与“乐”是相对面，
“祝”与“快”是相对面.
故答案为：乐.
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.
16.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，EF是经过B点的一条直线，∠EBD=145°，则∠ABF的度数为 55° .
【考点】垂线;对顶角、邻补角.
【分析】根据已知条件，利用互补关系，互余关系及对顶角相等的性质解题.
【解答】解：∠CBE+∠EBD=180°，∠EBD=145°，
∴∠CBE=180°﹣∠EBD=35°，
∠CBE与∠DBF是对顶角，
∴∠DBF=∠CBE=35°，
AB⊥CD，
∴∠ABF=90°﹣∠DBF=55°.
故答案为：55°.
【点评】此题主要考查了角与角的关系，即余角、补角、对顶角的关系，利用互余，互补的定义得出角的度数是解答此题的关键.
17.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简：
(1)|a|= ﹣a ;
(2)|a+c|+|a+b|﹣|b﹣c|= 0 .
【考点】绝对值;数轴.
【专题】推理填空题;数形结合.
【分析】(1)首先根据有理数a、b、c在数轴上的位置，判断出a<0;然后根据负数的绝对值是它的相反数，可得|a|=﹣a，据此解答即可.
(2)首先根据有理数a、b、c在数轴上的位置，判断出b
【解答】解：(1)a<0
∴|a|=﹣a;
(2)根据图示，可得b
∴a+c>0，a+b<0，b﹣c<0，
∴|a+c|+|a+b|﹣|b﹣c|
=a+c﹣(a+b)﹣(c﹣b)
=a+c﹣a﹣b﹣c+b
=0.
故答案为：﹣a、0.
【点评】(1)此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;③当a是零时，a的绝对值是零.
(2)此题还考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握.
三、解答题.
18.计算下列各题
(1)4×(﹣3)﹣8÷(﹣2)
(2)(﹣ + ﹣ )×24
(3)﹣42+(7﹣9)3÷ .
【考点】有理数的混合运算.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果;
(2)原式利用乘法分配律计算即可得到结果;
(3)原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果.
【解答】解：(1)原式=﹣12+4=﹣8;
(2)原式=﹣4+10﹣21=﹣25+10=﹣15;
(3)原式=﹣16﹣8× =﹣16﹣6=﹣22.
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.化简：(x2+9x﹣5)﹣(4﹣7x2+x).
【考点】整式的加减.
【分析】首先去括号，进而合并同类项即可得出答案.
【解答】解：原式=x2+9x﹣5﹣4+7x2﹣x
=8x2+8x﹣9.
【点评】此题主要考查了整式的加减运算，正确去括号是解题关键.
20.先化简，再求值：(7x2﹣6xy+1)﹣2(3x2﹣4xy)﹣5，其中x=﹣1， .
【考点】整式的加减—化简求值.
【专题】计算题.
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值.
【解答】解：原式=7x2﹣6xy+1﹣6x2+8xy﹣5=x2+2xy﹣4，
当x=﹣1，y=﹣ 时，原式=(﹣1)2+2×(﹣1)×(﹣ )﹣4=﹣2.
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键.
21.如图，点B是线段AC上一点，且AC=12，BC=4.
(1)求线段AB的长;
(2)如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长.
【考点】两点间的距离.
【分析】(1)根据线段的和差，可得答案;
(2)根据线段中点的性质，可得OC的长，再根据线段的和差，可得答案.
【解答】解：(1)由线段的和差，得
AB=AC﹣BC=12﹣4=8;
(2)由点O是线段AC的中点，得OC= AC= ×12=6，
由线段的和差，得
OB=OC﹣BC=6﹣4=2.
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差.
22.根据要求画图或作答：如图所示，已知A、B、C三点.
(1)连结线段AB;
(2)画直线AC和射线BC;
(3)过点B画直线AC的垂线，垂足为点D，则点B到直线AC的距离是哪条线段的长度?
【考点】作图—复杂作图.
【分析】(1)连接AB即可得线段AB;
(2)根据直线是向两方无限延长的画直线AC即可，连接BC并延长BC即可得射线BC;
(2)用直角三角板两条直角边，一边与AC重合，并使沿另一边所画的直线经过点B即可作出.
【解答】解：(1)(2)画图如下：
;
(3)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BD的长度.
【点评】此题主要考查了基本作图，只要掌握线段、射线、直线的特点，点到直线的距离的定义：过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长叫这个点到这条直线的距离.
23.如图已知AD∥BC，∠1=∠2，要说明∠3+∠4=180°.
请完善说明过程，并在括号内填上相应依据
解：AD∥BC (已知)
∴∠1=∠3 (
)，
∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3 (
)，
∴ BE ∥ DF (
)，
∴∠3+∠4=180°(
)
【考点】平行线的判定与性质.
【专题】推理填空题.
【分析】根据平行线的性质推出∠1=∠3=∠2，根据平行线的判定推出BE∥DF，根据平行线的性质推出即可.
【解答】解：AD∥BC(已知)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∠1=∠2，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴BE∥DF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
故答案为：(已知)，BE，DF.
【点评】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.
24.张大爷对自己生产的土特产进行试验加工后，分为甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表：
重量(克/袋) 销售价(元/袋) 成本(元/袋)
甲 200 2.5 1.9
乙 300 m 2.9
丙 400 n 3.8
这三种不同包装的土特产每一种都销售了120千克.
(1)张大爷销售甲种包装的土特产赚了多少钱?
(2)销售乙、丙这两种包装的土特产总共赚了多少钱?(用含m、n的代数式表示)
(3)当m=2.8，n=3.7时，求第(2)题中的代数式的值;并说明该值所表示的实际意义.
【考点】一元一次方程的应用;列代数式;代数式求值.
【专题】应用题;图表型;整式.
【分析】(1)根据：“销售甲种包装的土特产赚的钱=销售袋数×(销售价﹣成本)”列式计算即可;
(2)根据：“两种包装的土特产总利润=乙种包装的土特产总利润+丙种包装的土特产总利润”可列代数式;
(3)把m=2.8，n=3.7代入(2)中代数式计算便可，表示乙、丙这两种包装的土特产总利润.
【解答】(1)解：设张大爷销售甲种包装的土特产赚了x元，
根据题意得：x= ×(2.5﹣1.9)，
即x=360，
答：张大爷销售甲种包装的土特产赚了360元;
(2)解：根据题意得 (m﹣2.9)+ (n﹣3.8)，
整理得：400(m﹣2.9)+300(n﹣3.8)，即400m+300n﹣2300，
答：销售乙、丙这两种包装的土特产总共赚了(400m+300n﹣2300)元;
(3)解：当m=2.8，n=3.7时，
400m+300n﹣2300=400×2.8+300×3.7﹣2300=﹣70，
∴销售乙、丙这两种包装的土特产总共亏了70元.
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.
25.如图①所示，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°.
(1)∠DEC的度数为 90 °;
(2)试说明直线AD∥BC;
(3)延长DE交BC于点F，连结AF，如图②，当AC=8，DF=6时，求四边形ADCF的面积.
【考点】平行线的判定与性质;三角形的面积.
【分析】(1)根据三角形内角和定理即可求解;
(2)首先求得∠ADC的度数和∠DCB的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得;
(3)根据S四边形ADCF=SACD+SACF，利用三角形的面积公式求解即可.
【解答】解：(1)∠DEC=180°﹣∠ACD﹣∠CDE=180°﹣32°﹣58°=90°;
(2)DE平分∠ADC，CA平分∠BCD
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC
(3)由(1)知∠DEC=90°，
∴DE⊥AC
∴SACD= AC•DE= ×8•DE=4DE，
SACF= AC•EF= ×8•EF=4EF，
∴S四边形ADCF=SACD+SACF=4DE+4EF=4(DE+EF)=4DF=4×6=24.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，正确理解S四边形ADCF=SACD+SACF是解题的关键.
26.如图①所示是一个长方体盒子，四边形ABCD是边长为a的正方形，DD′的长为b.
(1)写出与棱AB平行的所有的棱： A′B′，D′C′，DC ;
(2)求出该长方体的表面积(用含a、b的代数式表示);
(3)当a=40cm，b=20cm时，工人师傅用边长为c的正方形纸片(如图②)裁剪成六块，作为长方体的六个面，粘合成如图①所示的长方体.
①求出c的值;
②在图②中画出裁剪线的示意图，并标注相关的数据.
【考点】几何体的展开图;认识立体图形;几何体的表面积.
【分析】(1)根据长方体的特征填写即可;
(2)根据长方体的表面积公式即可求解;
(3)①根据长方体的表面积公式和正方形的面积公式即可求解;
②分成2个边长40cm的正方形，4个长40cm，宽20cm的长方形即可求解.
【解答】解：(1)与棱AB平行的所有的棱：A′B′，D′C′，DC.
故答案为：A′B′，D′C′，DC;
(2)长方体的表面积=2a2+4ab;
(3)①当a=40cm，b=20cm时，
2a2+4ab
=2×402+4×40×20
=3200+3200
=6400(cm2)
c2=2a2+4ab=6400，
∴c=80( cm );
②如下图所示：(注：答案不唯一，只要符合题意画一种即可)
【点评】考查了几何体的展开图，认识立体图形和几何体的表面积，本题考法较新颖，需要对长方体有充分的理解.
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他们还是同行，都以通常所谓思想史研究着称，通过解释历史上的哲学思想来表达自己的哲学信念。1 如果要说知识界的声望，伯林就不是施特劳斯可以相比的了──至少在汉语知识界如此（伯林去逝时，大陆、港、台的知名文化思想杂志如《读书》、《万象译事》、《公共论丛》、《二十一世纪》、《当代》都举办了追悼仪式）。伯林文章潇洒，在知识大众中声誉卓著，有自由主义价值捍卫者的美誉。施特劳斯似乎从不对知识大众说话，据说是保守主义思想最深刻的教父。不过，这类“主义”卷标往往引人卷入流俗、浮惑的意识形态之争，不可轻信。重要的还是关注事情本身。
1958年，伯林发表了使他声誉卓著的〈两种自由的概念〉，没过多久，施特劳斯就在“相对主义”（1961）一文中纠弹伯林的观点。2 伯林自诩英国经验理性传统中人，其思想逻辑明晰有力，受人广为称道，施特劳斯却偏偏纠弹伯林“自由”论的逻辑矛盾：伯林将消极自由看作一种绝对的价值，而这一价值的论证却是如下宣称：所有价值都是相对的。施特劳斯并没有就消极自由的观念本身说三道四，仅指出，伯林用来支撑消极自由概念的相对主义价值观，恰恰是一种绝对主义。既然所有价值都是相对的，何以可能将消极自由作为一种绝对的政治价值来捍卫？
这一再明显不过的逻辑矛盾相当奇妙，也意味深长。伯林看到这样的纠弹，心里一定不舒服。
伯林访问芝加哥时，曾与施特劳斯触膝长谈。伯林晚年对采访记者说，施特劳斯“很有学问，是一位真正的犹太教法典学者，……谨慎、诚实而且深切关心世界的思想家”。说过这些同行客套话后，伯林马上申明，自己与施特劳斯“存在着不可逾越的鸿沟”，根本谈不拢：施特劳斯竟然还“相信世界上存在着永恒不变的绝对价值”──超越时间、地域、民族的真理，简直是在侮辱现代哲人的智能。3 伯林打心眼里不屑地把施特劳斯当老派学究，没有经过启蒙精神洗礼似的：都二十世纪了，竟然还谈什幺“上帝赐予的自然法则”。
从中古到近现代，西方思想史上一再出现犹太裔思想大家──从迈蒙尼德、斯宾诺萨、马克思、西美尔、列维纳到德里达。4 这是偶然的吗？如果不是，意味着什幺呢？散居欧洲各国的犹太裔文化人在思想文化上完全被希腊－基督教的欧洲文化同化了，抑或刚刚相反？犹太人在欧洲的处境，不仅是政治存在问题，也是精神文化问题。所谓犹太－希腊－基督教融贯一体的欧洲精神，会不会是文化假象？犹太文化与希腊－基督教的欧洲文化的冲突，也许从来没有真正了结。
伯林就说过，“世界上所有的犹太人在社会中都有某种程度的不安”，即便他们受到礼遇，在各行业地位高，真正“融合”在其它民族之中，仍然如此（参《伯林访谈录》，页109）。伯林以海涅（Heinrich Heine）为例：即便他成了德语大诗人，仍然对自己的犹太血统心存芥蒂。有欧洲文化教养的犹太人往往下意识地有对欧洲文化非要作出贡献的心愿，在伯林看来，这种心态是一种扭曲。要改变这种扭曲心态，只有彻底改变犹太人的生存处境，也就是重新建立有自己的国土的犹太国。如果犹太人能建立一个自由主义的宪政国家，有了自己的家园，才不会扭曲自己，非要对寄居国的文化作出什幺贡献。
施特劳斯出生并生长在德国的犹太人社群，他的体会与伯林刚刚相反：犹太人在帝制德国生活得很好。恰恰因为自由主义的魏玛民国，德国的犹太人才丧失了自己的家园，犹太人问题才成为政治－文化甚至“神学－政治”问题。
为什幺这样讲呢？事情是这样的：魏玛民国结束了传统的君主统治，向现代自由民主政治制度“靠拢”，但这个自由民主政体很“软弱”，依靠的是“手中没有剑的正义”。自由民主政制划分公共领域和私人领域，将宗教和道德逐至私人领域，以保障个人自由的政治权利，恰恰为极权主义、放纵种族歧视的自我中心主义提供了政治条件。
在自由民主政制的背景下?犹太人问题才真正成了需要解决的问题。解决方案之一，就是回到封闭的犹太共同体、拒绝文化融合，坚持犹太教的原始教旨及其政治形式。这必然导致与欧洲精神传统中超越任何“种族”习传伦理的普遍理性相冲突。另一种解决方案是：融入西方社会及其文化，真正成为欧洲文化中的一员。于是，出现了为推动近代自由主义现代性而奋斗的犹太裔大思想家。然而，这样一来，犹太人处境问题不是解决了，而是变得更危险。5 据说，魏玛民国的自由民主宪政为纳粹铺平了道路，而魏玛宪法起草人、魏玛民国首任内政部长普鲁斯（Hugo Preuss）恰恰就是一位德高望重的犹太裔法学家，这是否是历史开的一个恶毒的玩笑？
对于施特劳斯来说，犹太人问题不可解决，即便有了自己的国土，与欧洲文化在生活理想方面的冲突依然存在。犹太人问题是人的问题的样板：人的存在依群而分，群与群之间总是相互对抗，不同的生活理想难免相互抵触。正是面对这样的生存事实，青年施特劳斯虽然在柏林的犹太教学院任教，“主要兴趣是神学”和犹太教中的正教问题，但与当时的犹太教大思想家罗森茨维格（Franz Rosenzweig）不同，并不关心如何在启蒙后的西方哲学处境中保守纯正的犹太教神学，也与当时已经成为新康德主义大师的犹太裔哲人柯亨（Hermann Kohen）不同，并不关心如何进入当时的西方哲学主流，而是关心“上帝”与“政治”的关系。6
“上帝”与“政治”真有什幺关系？
在施特劳斯看来，自由主义的错误在于想掩盖人类的不同生活理想不可调合、价值冲突不可能解决这一存在事实。然而，伯林的自由主义不恰恰以强调这一存在事实而着称？两位犹太裔哲人在根本上难道不是一致的？
的确如此。可是，伯林与施特劳斯在犹太人处境问题上的分歧，又是明摆着的。俩人的不和更为尖锐地体现在对纳粹政治的看法方面。作为犹太后裔，俩人当然都对纳粹没有好感。对于伯林来说，纳粹政治是绝对主义价值观的结果；相反，在施特劳斯看来，正是由于蔑视某种绝对的价值，彻底拜倒在历史相对主义脚下的德国哲人们，才在1933年没有能力对德国的政治命运作出道德裁决。施特劳斯会问伯林：既然他已经宣称，自由主义就是要放弃对“什幺是美好的生活”寻求最终答案这一千年幻想，他告诫人们希特勒的失败“实在侥幸得很”，是不是废话？
伯林与施特劳斯在根本问题上显得相当一致（比如认为人类的价值冲突不可解决），在诸多具体问题上又尖锐对立。这究竟是怎幺回事？
伯林晚年对记者说与施特劳斯根本谈不拢，事出有因。
五十年代末，英美政治理论界发生过一场政治哲学反击政治学的斗争。政治学属于现代社会科学，十九世纪以来日益取得支配地位，与其它人文－社会学科一起瓜分了传统哲学的地盘。哲学瓦解、衰落了。二战结束十年后、正当社会科学在英美气象如虹之时，学术锋芒刚刚显出来的伯林和施特劳斯发起了对社会科学及其政治学的讨伐，企图重新夺回哲学对政治问题的思考权。施特劳斯的《什幺是政治哲学？》发表于1957年。几年后，伯林发表了《政治理论还存在吗？》（所谓“政治理论”其实就是“政治哲学”）。7 两位哲人在抵抗社会科学原则排斥哲学的斗争中，显得站到了一起。可是，正如即将看到的那样，这种一致完全是假象。相反，在维护政治哲学的意义的斗争中，伯林与施特劳斯打了一场精彩的遭遇战，堪称二十世纪思想史上的奇观。
伯林和施特劳斯显得既相当一致、又尖锐对立，会不会有一个搞错了，抑或哲人间的岐见是自然的事？无论哪种情形，都得搞清楚才是。
需要关注的事情本身出现了：什幺叫哲学？施特劳斯和伯林俩人都明确将政治哲学理解为哲学本身，或者说将哲学看作本质上是政治的，事情也就包含着这样的问题：何谓政治？由于俩人都是思想史大家，事情本身还与历史、传统、现代性、古典性等扯在一起。
苏格拉底变成了狐狸
伯林的《政治理论还存在吗？》首先提出了这样一个问题：现代的社会科学可以代替古老的哲学吗？回答是否定的。
理由是，社会科学──包括其中的政治学，没有能力解决人类最令人困惑、最“棘手”的问题──价值问题。社会科学及其理论的基础是近代自然科学知识的推延，它基于两种类型的知识：归纳（通过从观察所得数据作出推论）和演绎（通过设立公理命题推论衍生命题）。判断前一种知识是否正确，复核对经验世界的观察，问题就解决了；判断后一种知识是否正确，检察一下是否正确运用演绎规则、是否在推演过程中犯逻辑错误，问题就解决了。以这两类知识原则为基础，自然－社会科学自身的长处是：“即便我们不知道一个既定问题的答案，也知道哪一种方法适用于探求其答案”（《政治理论还存在吗？》，页407）。人们对事情的看法总是不同的，生活中出现争议是难免的，自然－社会科学好就好在：只要复核经验观察、检察是否正确运用演绎规则，通常就可以平息争端。这就是说，在以经验理性为基础的社会科学范围内，原则上没有不可解决的问题。但社会科学方法的经验理性的性质，注定了它无法触击到人类生活的价值目的及其正确与否的问题。
最令人类困惑的是价值意义问题──什幺是应该（比如自由、平等）的、更美好（比如幸福、公义）的生活。人类在这些问题上从来就有深刻的岐见，也就是在生活的价值目的上相互冲突。价值冲突不可能通过复核对经验世界的观察、检察是否正确运用演绎规则而得到解决，所以社会科学的政治学应该知趣，知道自己根本没有碰触到真正的政治问题。
哲学偏偏是为对付这样的问题而存在的：对这些问题，人们不仅不知道答案，甚至不知道如何去寻求解答、什幺可以成为证明答案正确的证据。这是不是说，哲学本质上就不是经验理性的呢？并非如此。哲学以不可解决的问题为存在的可能性，恰恰因为，哲学本质上是经验理性的：人们从来没有一种“普遍认可的专门知识”，“一旦我们明确了应当怎样着手解决这些问题，这些问题似乎就不是这些性质的了”（《政治理论还存在吗？》，页409）。这是不是说，无论对于社会科学、还是哲学，作为价值问题的政治问题都是不可解决的？
伯林的回答是肯定的。既然如此，我们就要问：为什幺哲学就可以、甚至应该来对付这些问题？
这里就碰到了何谓哲学的问题。对伯林来说，哲学本质上是政治的，其含义是：人不可能避免价值评价这回事情，政治问题就是对善与恶、正当与不正当、应该与不应该作出决定。这是不是说，虽然哲学除了归纳和演绎的知识外同样一无所有，并没有可能建立一种超逾经验理性的知识，从而凭借这种知识裁决人类在价值问题上的深刻岐见，但哲学的命运就是得与价值问题打交道？
的确如此。社会科学与哲学就不能解决价值岐见而言，是相同的，不同仅在于，社会科学可以幸运地置身价值问题之外，只关心经验事实问题。哲学就没有这种幸运。哲学的无能来自于政治问题──价值问题本身的不可解决，但哲学又无法（而社会科学可以）摆脱这类问题的纠缠。
这种说法究竟有什幺意义呢？意义似乎在于，必须区分人类面对的两类问题：事实问题和价值问题。既然如此，人们就得问，价值问题为什幺不可解决？
伯林解释说，人类的价值多种多样，而且有不同层次。实现某一价值的手段，与需要实现的这种价值本身相比，就是次要价值。然而，两种价值究竟何者为目的、何者为手段，人类常常无法找到公认更高的价值标准来裁决──比如个体与社群何者是目的、何者是手段，就是如此。再有，人类社会视为最高的价值的东西常常并非一种、而是多种──比如真、善、美或者爱情与生命，当它们相互冲突时，人类社会也没有可能达成一致意见。原因有两个：首先，各种终极价值最终都不是绝对的、神圣的，况且，不同的人对于终极价值的理解是不同的。
这两个宣称反映了伯林哲学观念的两个来源：经验主义和浪漫主义。对经验主义来说，人所有的东西不可能超出经验范围，价值是人所有的，因而都不是神圣的，亦即不是绝对的。对浪漫主义来说，人所有的价值（说真理也一样）不可能超出历史、民族共同体范围，价值是人所有的，而人是历史的、依群而生的，因而价值（说真理也一样）不可能是相同的。依据这两种“主义”原则，伯林推演出自己的政治信念，其名曰：“价值的多元论”。它针对两种伯林所反对的政治立场：“专家治国”论或权威主义的价值一元论。
表面看来，所谓“专家治国”论指那些以为可以靠社会科学（专家）化解价值冲突问题的观点，权威主义的价值一元论指传统的形而上学观点。但伯林说，其实两者是同一个意思。“专家治国”论的意思是，“专家”有能力、也有使命指导人类到达沙漠的绿洲。这些“专家”在古代被称为形而上学家、神学专家，在现代被称为自然科学家和以经验的历史科学为基础的社会科学家（《政治理论还存在吗？》，页428）。因而，伯林攻击的，根本上是价值一元论的信念。
价值多元论者是否什幺价值都不相信？
不可以这幺说，价值多元论者并非相信没有绝对价值这回事。不相信有一种绝对的价值，就是价值多元论者的价值信念：价值多元论者仍然“相信某种形式的原罪，或认为人类不可能尽善尽美。因此，他们趋向于怀疑经验能否最终解决最基本的人类问题”（《政治理论还存在吗？》，页418）。伯林还清楚道出，价值多元论的经验理性最终基于浪漫主义“伟大的活力论”：人类的价值不是依靠形式理性或神圣的上帝赋予的普遍客观真理推导出来的，而是有如生物机体那样生长出来的。就历史、经济、地理、心理的因素来看，人类的价值必定是多元的，乃因为价值实质上是创生性的。德国浪漫主义的历史主义原则与英国经验主义这两个看似不相干的思想传统，在伯林那里奇妙地结合起来。据说，“我们应该做什幺？”这样的问题，只有在承认有永恒的、超人类的、普遍客观的真理这一前提下，才是一个问题，才有可能回答。对于怀疑论者、相对论者，尤其浪漫主义者及其二十世纪的继承人存在主义者来说，这样的问题根本无法回答，因为他们相信，根本不存在什幺“上帝赋予的自然法则”。对于伯林来说，这一信念乃是自由主义信念的精髓（参伯林《穆勒与人生的目的》，见《自由四论》，页297－340）。
既然施特劳斯同样认定，人类的价值冲突最终不可解决，伯林与施特劳斯在这一根本问题上的一致，看来也是假象。
问题骤然紧张起来：既然哲学本质上是政治的，这意味着哲学不可能避免就善与恶、当与不当、应该与不应该作出价值评价，我们又被告之，“应该做什幺？”不仅不得指望哲学来回答，甚至这类问题对于哲学根本就是错误、虚构的，哲学自身的必要性和可能性不都成问题了？
关键词：初中数学；复习课堂；构建方案；有效学习
在现阶段的初中数学教学中，教师普遍感觉给学生进行数学复习课比较困难，加上学生的实际学习水平参差不齐，所以复习课的收效不太明显。所以，在初中数学新课改背景下，数学教师创新数学复习课教学模式很有必要。
一、设置明确的复习目标，促进有效复习
在初中数学复习教学中，教师要给学生设置一个明确的复习目标和复习任务。明确的复习目标是整堂数学复习课程的基本着眼点，它可以给学生指明正确的复习方向，从而轻松地抓住课堂的重点和难点，促进教师的高效教学和学生的有效理解。
例如，在复习初一数学（苏教版）“绝对值和相反数”的时候，由于本课的复习目标是使学生会求一个已知数的绝对值和它的相反数，并且清楚一个数的绝对值和其相反数之间的关系，不断提升学生的数学能力。在本课的复习过程中，教师先在多媒体上给学生展示本节课的复习目标和复习任务，使学生有一个清楚的认识。之后在多媒体上再给学生展示一些比较简单的数学题，即“-5的绝对值和相反数是什么？”等，带领学生进行练习，接着列出一些困难的题目，即“比较-3.5和3绝对值的大小，4减-12的相反数，已知A和B互为相反数，那么-2016A-3-2016B的值是多少呢？”等，使学生在认真思考的过程中完成这些题目的解答。之后教师带领学生总结这些题目的基本规律，使学生在做题的过程中反复进行思考，强化本课的教学目标，完成复习课的教学。
二、引用典型例题，促进有效复习
在初中数学复习过程中，教师要给学生展示并讲解一些典型的例题。这些典型性的例题是数学复习课程的核心内容。教师指导学生对典型例题进行分析可以加强学生对所学知识的理解，不断强化学生的学习能力，突破学生的思维模式，不断提升学生的数学专业素养。
例如，在复习初一数学（苏教版）“有理数的乘法”的时候，由于本课的复习目标是使学生熟悉掌握有理数乘法的基本运算规律，并且学会用探究的方法导出有理数乘法的运算律，不断培养学生的运算能力。在本课的复习过程中，教师指导学生从最典型的例题开始，逐个给学生进行分析，使学生掌握本课的基本内容。教师先在黑板上给学生列出这些题，即“两个有理数的乘法（+4）×（-3）=？（-3）×（-4）=？多个有理数的乘法（-2）×（-3）×（+5）×（-6）=？”等，教师指导学生根据这些基本的经典例题，分析两个有理数相乘的法则和多个有理数相乘的基本规律，并进行基本的对比，使学生熟记这些规律。之后教师带领学生反复进行练习，不断强化学生的分析能力，完成本课的复习目标。
三、对学案进行拓展延伸，激发学生复习思维
在初中数学复习过程中，教师针对所复习的基本知识进行适当的课堂延伸，可以增强复习的效果。课堂上的拓展和延伸是初中笛Ц聪肮程中最有效的策略，它主要是指导学生对所学的知识进行基本的延伸和迁移，从课堂内到课堂外，逐渐使知识真正内化成学生的能力，可以满足学生的基本求知欲望，促进学生全面发展。
例如，在复习初一数学（苏教版）“用字母表示数”的时候，由于本课的复习目标是使学生学会用一些字母去表示一些数学问题情境中的数量关系和基本规律，并在这些规律的运用过程中感受数学归纳法，不断提升学生的数学专业能力。在进行本课复习过程中，教师除了带领学生进行基本的练习，即“假如一个笔记本是a元，那15本笔记本的总价是多少元？”等，之后逐渐过渡到课堂延伸的练习，即“假如一件商品是n元，那先提价10%，再降价10%之后的价钱和先提价20%之后，再降价20%之后的价钱是一样的吗？是都恢复成原价了吗？为什么？”教师指导学生用所学的基本规律去分析这个延伸问题，不断拓展学生的思维模式，对所学的知识进行深层次的挖掘，可以促进学生更好地理解和掌握。
在初中数学新课改的背景下，教师要不断创新数学复习课教学模式，通过引进新型的复习方案和复习策略，激发学生的复习兴趣，从而不断巩固学生所学的知识，不断开阔学生的数学视野，促进学生全面发展。
参考文献：
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