高中数学学案导学导思导练课堂检测数学学案包括五部分：学习目标――导学――导思――导练――课堂检测。在学案编制之前要做的准备工作有教材分析和学生分析。
一、教材分析
教材分析即本节教材知识间的前后联系以及地位与作用。函数的最大（小）值是函数的一个重要性质，和求函数的值域有着密切的关系。对于在闭区间上连续的函数只要求出它的最值，就能写出它的值域。通过对本节的学习，学生能巩固上一节关于函数单调性的学习，而且还锻炼了利用函数解决实际问题的能力。
二、学生分析
1.学生已经学习了关于一次函数、二次函数的图像和性质；
2.鉴于学生对函数有了初步的了解，本节从二次函数图像入手，这样让学生直观的从图像的最高点和最低点上从感性认识到函数的最大值和最小值。学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题。
这节课集中体现了数形结合、分类讨论、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值。
三、学习目标及学习重难点
1.掌握函数最大、小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题；利用函数的单调性求最值；会用函数的思想解决一些简单的实际问题。
2.通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对研究函数的作用。
3.在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。
本节内容的学习重点是“应用函数单调性求函数最值。”学习难点是“理解函数最值可取性的意义。”备课时要突出重点，以它为中心，辅以知识讲练，引导启发学生加强对重点内容的理解。难点往往是数学中大多数学生不易理解和掌握的知识点，有时和重点是一致的，备课时要根据教材内容的广度、深度和学生的基础来确定。
四、导学
导学部分主要包括复习回顾，新课引入。能够使学生能自主从旧的知识探究新的知识，达到温故而知新。本课导学包括两部分：首先由两个函数图象的比较引入本课函数的最大值、最小值的内容，从而对教材函数最值的定义有进一步的理解和强化。
第二部分是对本课主体知识的学习，采用了课本对“最大值”“最小值”概念再现的方式，体现了以教材为本的思想。
1.根据两个函数图像回答问题：
（1）上面两个函数图象有什么共同特征？
导学部分的编写是学案的重要组成部分，也是教材新知识呈现的载体，本部分的设计要根据学生的具体情况对教材新知识进行相应处理，也可以根据内容的难易设计“合作、探究”的方式进行新知探究。
五、导思
导思部分的设计是对教学重难点的突破和强化，导思中设计的问题要引导学生对新知识举一反三，本学案导思部分设置了4个问题：
六、导练
导练是在学习了新知识后的例题讲解，在设计这部分内容时一定要注意围绕本课内容的重难点进行，例题选取的全面性、典型性，例题选取要少而精，通过例题加上变式训练，以期达到“举一反三，触类旁通”的效果。数学课堂不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
七、目标检测
目标检测是学案设计的最后一个部分，也是对学生这节课所学内容的检验。本课目标检测涵盖了几类特殊函数求最值的题目，在这基础上设置了复合函数的最值问题，是对学生能力提高的训练，另外还设置了运用函数的单调性求最值的题，这些题型构成有基础、有拓展，对学生学习能力的培养起到很大的作用。
学案教学确实对提高我们的教学质量有很好的帮助，但是我们应该理性的思考，学案教学在提高教学效率的同时怎样摆脱其对教师教学和学生思维的限制性，长时间的学案应用会使学生和教师失去兴趣，降低积极性，我们提倡在学案的教学中的个性化教学，在集体备课后的学案基础上，每位科任老师都要在其基础上根据本班学生及个人授课风格进行个性化的设计，这还需要在实践的基础上不断加以完善和创新，为我们的课堂教学改革推进一步。
参考文献：
[1]董旺森.以导促学达高效以生为本助发展――例谈高中政治导学案的编制[J].教学与管理，2013，（07）：74-75.
[2]王富英，王新民.数学学案及其设计[J].数学教育学报，2009，（01）：71-74.
一、学案的编写
1.编写的原则
学案是导学的载体，有什么样的学案就有什么样的课堂导学。理清教与学之间的关系，实现教为主导、学为主体的原则，努力给学生提供更多的自学、自问、自做、自练的方法和机会，要针对不同的对象编写不同的学案，确保把学生放在主体地位。使学生真正成为学习的主人，增强对学习的兴趣。
编写学案的主要目的就是培养学生自主探究学习的能力。因此，学案的编写要有利于学生进行探索学习，从而激活学生的思维，让学生在问题的显现和解决过程中体验到成功的喜悦。
教学目标应体现教师对教育本质和目的的正确理解。好的教学目标是一种全新的知识观，这种新的知识观不是现成的真理和结论，而应是让学生去发现真理和获得结论的过程，使学生在发现真理和获得结论的过程中培养创造力。学案的编写应该服从学生身心发展的特点和实际需要，充分考虑和适应不同层次学生的实际能力和知识水平，使学案具有较大的弹性和适应性。
2.学案的内容
学案内容必须能使学生建立牢固的基本知识和基本技能。内容的编写要紧扣教学目标，符合学生的认识层次，不能是知识点的单一重复。编写学案时，要强调内容创新，以培养学生的创新思维能力。应当采用启发式，使学生“跳跳摘桃子”，在获取知识的过程中能发现各种知识之间的联系，受到启发，触发联想，产生迁移和连结，形成新的观点和理论，达到认识上的飞跃。制定的目标，既要切实可行，又要使学生感到跳一下能摸得着。知识构成可以分成基本线索和基础知识两部分。线索是对一节课内容的高度概括，编写时，它一般以填空的形式出现，让学生在预习的过程中去完成。基础知识是学案的核心部分，主要包括知识结构框架、基本知识点、教师的点拨和设疑、印证的材料等。
学案要清楚完整地反映一节课所要求掌握的知识点以及应培养的能力。学案上，要给学生留出记笔记和做小结的地方，以便学生写自己的心得、体会和疑问，以利于学生的自我调节和提高。
二、学案教学的操作
教师在讲课的前一天把学案发给学生，让学生在课下预习。通过预习，使学生明确学习的目标、要学的内容、教师的授课意图、教师要提的问题、自己不懂的地方以及听课的重点等。学生带着问题上课，可大大提高听课的效率。学生在学习的过程中，教师进行适当的引导，不仅能使学生不断的体验成功，维持持久的学习动力，而且学生在教师的引导下，也能缩短获取知识的时间，提高学习效率，从而培养探索问题的能力。在教学时，教师参照教案，按照学案授课。学生在教师指导下按照学案进行学与练。
三、学案范例
函数的零点学案
【预习要点及要求】
1.理解函数零点的概念。
2.会判定二次函数零点的个数。
3.会求函数的零点。
4.掌握函数零点的性质。
5.能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
6.理解函数零点与方程式根的关系。
7.会用零点性质解决实际问题。
【知识再现】
1.如何判一元二次方程式实根个数？
2.二次函数顶点坐标，对称轴分别是什么？
【概念探究】
阅读课本完成下列问题
1.已知函数， =0， 0。
叫做函数的零点。
2.请你写出零点的定义。
3.如何求函数的零点？
4.函数的零点与图像什么关系？
【例题解析】
1.阅读课本完成例题。
例：求函数的零点，并画出它的图象。
2.由上例函数值大于0，小于0，等于0时自变量取值范围分别是什么？
3.请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？
【总结点拨】
对概念理解及对例题的解释
1.不是所有函数都有零点
2.二次函数零点个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。
3.函数零点有变量零点和不变量零点。
4.求三次函数零点，关键是正确的因式分解，作图像可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再适当取点作出图像。
【例题讲解】
例1.函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
例2.函数零点所在大致区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
例3.关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根在（1，2）内，求的范围。
【当堂练习】
1.下列函数中在[1，2]上有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若方程在（0，1）内恰有一个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.函数，若，则在上零点的个数为（ ）
A.至多有一个 B.有一个或两个
C.有且只有一个 D.一个也没有
4.已知函数是R上的奇函数，其零点，……，则= 。
5.一次函数在[0，1]无零点，则取值范围为 。
6.函数有两个零点，且都大于2，求的取值范围 。
四、实施学案导学应注意的事项
1.注意显性目标和隐性目标：①知识目标和能力目标是写在学案上的，属显性目标，主要通过学生自学完成；②情感目标和意志目标是隐性目标，不能写在学案上，要靠教师适时调控，在融洽的师生关系中激发兴趣，培养学生的意志等。
2.教师不要操之过急：没有耐性，一看学生答不出，就急于告诉学生答案，失去了培养学生能力的机会。
关键词： 二次函数型问题 变式 数学表达能力 习题教学
习题课是数学课堂教学中的一种重要的不可或缺的课型.习题教学的重点在于及时掌握学生在解决数学问题的认知基础和心理状态，对学生易错题进行仔细分析，拓展与变式，提高学生的数学思维能力和数学表达能力.加强习题教学案例分析是提高习题教学效率的切实可行的措施.本文就一个习题教学案例的分析，小结了常见二次函数型问题及其解决思路.
一、一个习题教学案例
设函数f（x）=■（a
（A）-2 （B）-4 （C）-8 （D）不能确定
习题设计说明：本题旨在考查函数f（x）=■（a
二、案例拓展与变式
1.与二次函数定义域有关的问题
（1）已知n∈N■，函数f（x）=n（n+1）x■-（2n+1）x+1图像在轴上截距之和为？摇 ？摇.
分析：已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为■、■，这两点间距离为■-■，所以当n∈N■时，所求截距之和为
■[（1-■）+（■-■）+…（■-■）]=■（1-■）=1.
2.与二次函数值域有关的问题
（2）若函数y=lg（ax■+2x+1）（a∈R）的值域为R，则实数a的取值范围为？摇 ？摇.
分析：（1）当a=0时，y=lg（2x+1），其值域是R，符合题意；
当a≠0时，得a>0=4-4a≥0？圳0
3.利用二次函数的性质可以解决定义域和值域共存问题
（3）①若关于x的不等式x■-ax+a+1
②若存在x∈（2，3），使得x■-ax+a+1
分析：①由已知，得=（-a）■-4（a+1）>0，f（2）≤0f（3）≤0？圯a≥5；
②设x■-ax+a-1=0，则（x-1）（x-a+1）=0，
解得x=1或x=a-1.由已知，得抛物线y=x■-ax+a-1与x轴有两个交点（1，0），（a-1，0），且a-1>2，因此a>3.
（4）若关于x的不等式x■-ax+a
解：设f（x）=x■-ax+a，其图像对称轴是x=■.
由=（-a）■-4a>0，解得a4.
当a
由题意得f（-1）
即1+2a
当a>4时，■>2，且f（1）>0，f（2）=4-a
由题意得f（3）
即9-2a
三、结语
对习题教学案例分析与拓展变式是习题教学的一种好的形式.二次函数型问题是易错问题，它是教与学的重点和难点，也是高考与学业考试的重点与难点.二次函数型问题分类与解决有助于学生理解二次函数图像与性质，有利于揭示二次函数型问题常见的解决思路与方法.
参考文献：
关键词： 三角函数 案例教学 有效解答
三角函数章节是高中阶段数学教材架构体系的构建“枝干”，同时也是教师讲解、讲授等实践的重点和难点。三角函数章节内容是初中阶段函数知识内容的“升华”，同时也是高等数学函数章节知识的“基石”，其作为一种基本初等函数，在解决生产、生活等实际问题中运用广泛。常言道：根基牢，地动山摇稳不倒。要达到科学、高效解决现实问题的目的，就必须“打基础”、“重训练”，强化书本数学习题解答的有效训练。案例教学是不同阶段数学学科教学的重点，同时也是其需要着力主攻的难点和薄弱点。而案例解答的现实意义和长远功效已经被教学工作者所共识。笔者现就三角函数章节案例的有效解答这一话题做探究和分析。
一、三角函数案例解答应注重师生深入互通，体现双向性。
教育运动学说认为，案例的讲授是课堂实践体系的重要环节，是课堂实践进程的重要部分。案例的讲解应该体现并传承课堂教学的双边特点和双向特性，师与生对等交流、生与生合作探讨等多向、多边活动应渗透并融入在其中进程。但在实际的案例教学中，教者的个体讲解或学习主体的自行探索的单向问题不同程度地存在。因此，在三角函数案例解答中，教师要正确处理好师生之间的关系，将自身的引导功效发挥出来，组织和引领高中生进入到三角函数的案例讲解研析中，紧扣问题要解决的要求、思路的确定及方法的甄别等都需要深入互动、讨论，在深入的双边互通中，达到探究实效、共进互赢的期望。
如在“如图所示，α、β分别是坐标轴上的一个角，其度数分别是30°和300°，OM，ON分别表示角α和角β的终边。（1）分别求出与α，β两个终边的相同角集合；（2）求出始边在OM的位置，终边在ON位置的所有角的集合。”案例讲解中，教者实施互动式讲解活动，主要围绕在表示角的度数时，如何做好角度制或弧度制之间统一的话题，组织高中生开展解答问题活动。教者根据所出示的数学问题及要求，在他们自主研析的基础上，与他们围绕思路的确定及过程的确认进行双边探讨活动，一起分析研究解题思路，一起辨析解题过程，并明确告知他们，找出在[-π，π]范围内与α、β都有相同的角度，再根据任意角的概念和角集合的表示法，可写出终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合。同时在解决上述两个问题时要切实注意角度制和弧度制之间的同一性问题。
二、三角函数案例解答应注重讲练融会贯通，体现发展性。
教者是主体进程实践中的“引路人”，探究疑惑的“释惑者”，以及认知探索的“推进者”。教者的一项任务，就是通过有效、精准的“导引”形式，有力地推动他们开展探知和研析活动。高中生在研究、分析、探寻三角函数案例的进程中，会遇到许多“超越”自身学习实际能力的要求和标准。此时，教者就要发挥指导功效，在他们的解决三角函数案例的“练习”中，实施有效指导，弄清题意，理清层次，点明联系，从而确保三角函数案例解题深入推进。在此过程中，教师的“讲解”和学生的“练习”二者不是分割、不衔接的，而是联系、相贯通的，成为讲练合一的有机整体。
问题：已知角α终边上有一点P，它的坐标为（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。
学生进行解析实践：根据题意可知，这是关于三角函数与方程方面的综合性运用题，涉及三角函数的定义等内容。
教师适当点拨：在该问题中，要求出sinα和tanα的值，还是要求出点P的坐标x，同时要注意α所在象限的位置进行讨论。
学生围绕解题要求进行思路完善，并着手进行该问题解答活动。
教师强调：关键要注意α所在的象限不确定时要采取分类讨论的方法采用研析。
高中生按照教师点拨和强调，开展合作提炼解题方法活动，得出其解法。
三、三角函数案例解答应注重解析方略提炼，体现策略性。
在解析上述案例基础上，总结提炼环节，组织他们对刚才获得的解题思路及过程进行“回味”和“思索”，要求他们对其所确定的策略进行提炼和总结。高中生结合所得思路及所解过程，认识到：“该问题借助三角函数内容，运用到数形结合的思想策略。”高中生在教师有序引导下认识到：“该问题解答中，通过函数的图像性质及三角函数函数区间的求解实现了有效解答，这其中蕴含了数与形结合的解题方法。”
教师因地制宜，围绕“数形结合”解题思想进行专题讲解活动，对该解题思想的本质及注意事项等进行明确说明，并向高中生指出其在三角函数章节中的运用，并展示案例进行巩固强化，从而让高中生对该解题思想有切身、具体、深刻的认识和掌握，提高其解题技能和素养。
通过上述三角函数问题的讲解活动，高中生对解题思想方法运用有了更深刻的认知和运用。教育学指出，教学的目的在于传授技能及技巧，提高自主学习能力。因此，教师无论在三角函数章节，还是其他数学学科章节中，问题解答活动的讲解，应注重对解题方法或策略的讲授，对典型数学内容的应用，以题讲解，让他们通过亲身探究、实践和辨析，对其有感性认知。同时借助于教师的科学专题讲解，对其内涵、特点及事项等方面深层次掌控，深层次地认知和掌握知识，保证在其方法策略运用中自如、高效、科学。
教师应强化课堂活动进程中问题解答的组织和推动，注重内在能力素养的培养，将数学解题变为主体前进和发展的“跳板”，开展精心教学实践。
参考文献：
在数学教学中运用问题驱动有利于培养学生问题意识，激发学生的学习兴趣和动机，培养学生的创新能力。当学生怀着强烈的问题意识进行学习、探究时，可以从具有挑战性的创造中获得积极愉悦的感情体验，有助于强化求知欲，增强学习的内在动机，改变学生过分依赖教师、书本的学习习惯，实现教学过程主体作用的发挥，为发展创新能力奠定基础。笔者在前一段时间的数学教学实践活动中，经常运用问题驱动进行教学活动，对调动学生的学习情绪、开发学生智力、培养学生的创新能力都具有一定的作用。
下面结合一个具体教学案例来谈谈问题驱动在教学实践中的做法和感受。
案例：高中数学必修1“函数单调性”的教学。
（1）创设情境，引入课题
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2007年每年这一天的天气情况。图1是北京今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。
图1
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。
问题1：观察图1，能得到什么信息？
预案：①当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；②在某时刻的温度；③某些时段温度升高，某些时段温度降低。
教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。
问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、降雨量、燃油价格等。
归纳：从函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。
设计意图：由生活情境引入新课，激发兴趣。
（2）归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义。
①借助图像，直观感知
问题3：分别作出函数y＝x+2，r＝－x+2，y＝x2，y＝的图像，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
预案：①函数y＝x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；②函数y＝－x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小；③函数y＝x2，在[0，+∞）上y随x的增大而增大，在（－∞，0）上y随x的增大而减小；④函数y＝，在（0，+∞）上y随x的增大而减小，在（－∞，0）上y随x的增大而减小。
引导学生进行分类描述（增函数、减函数），同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。
问题4：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数呢？
预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数。
教师指出：这种认识是从图像的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识。
设计意图：从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。
②抽象思维，形成概念
问题5：如何从解析式的角度说明y＝x2在[0，+∞）上为增函数？
预案：①在给定区间内取两个数1和2，由12
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2。
设计意图：把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度，完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫。
问题6：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？（师生共同探究，得出增函数的严格定义，然后学生类比得出减函数的定义）。
（3）巩固概念
例1.判断下列说法是否正确
①已知f(x)＝，因为f(－1)
②若函数f(x)满足f(2)
③若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数；
④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，所以函数在(－∞，0)U(0，+∞)上为减函数。
通过例题反思，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性；②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常值函数）；③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A U B上是增（或减）函数。
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对例题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。
结合上面的教学案例，笔者认为科学有效的以问题驱动学生的学习应做好以下几个方面：
1 教前研究
拿到课题以后，笔者和教研同行们从理解数学、理解学生、理解教学三个维度着重思考了以下3个问题：如何理解函数概念？为什么学生感到难学？为什么教师感到难教？围绕这3个问题展开了深入探讨，整理如下：
如何理解函数概念？浙教版教材中对函数概念的叙述是“在某一个变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，称y是x的函数.”函数研究的对象是变化过程中两个变量间的依存关系，所谓“确定”、指的是自变量在某一时刻变为常量，“唯一确定”指的是因变量在自变量确定的情况下“被常量”，而且是唯一的.即通常意义下，我们说的“一对一或多对一”是函数关系，但“一对多”不是函数关系.
为什么学生感到难学？首先“函数”这个名称难于直观表达概念内涵，误认为“函数”是一个数.其次，对于八年级的学生来说，函数概念很抽象，是一个全新的学习领域，它和以往所学的描述性的数、式概念和形象的几何概念都有很大的不同，学生很难理解“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性.再者，对于用解析法表示的函数，如y=2x，在学生眼里就是一个二元一次方程.从方程的视角看，x，y就是未知数；从函数的视角看，x，y就是变量.这种视角的转换学生较难适应.
为什么教师感到难教？浙教版教材将本课标题命名为“认识函数”，是要让学生认识函数是什么？它有哪些表现形式？本课既要让学生理解函数的概念，也要让学生认识解析法、列表法、图像法表示的函数.是先介绍函数概念，然后再和盘托出它的三种形式？还是将函数概念贯穿于函数的三种表现形式中，螺旋上升地认识函数概念？前一种教法简单易操作，但是学生理解函数容易浮于表面，后一种方法对教师的课堂驾驭能力提出很大的挑战.
在充分地研讨以后，笔者确定了本课的教学思路，进行了充分的课前准备展开教学.2 教学实况简录
2.1 情景导入，激发兴趣
上课开始，教师和学生从“中餐费”的话题开始.教学片断如下：
师：你们中午在校就餐吗？每天中餐费是多少？
生（众）：8元.
师：每个月的中餐费相同吗？
生（众）：不同.
师：是什么原因导致不同呢？
生（众）：因为每个月在校的天数不同.
师：请大家算笔帐：（屏幕显示以下问题）
问题1：9月份在校21天，每位就餐同学应交中餐费多少？10月份18天、11月份23天呢？（同学们随口报出答案）
师：同学们计算能力真强！确实，天数不同，每个月的中餐费不同！最近有个好消息，快餐公司决定餐费打9折，每餐费用多少？9月份、10月份、11月份的快餐费又是多少？
生（众）：72元！（学生开始费力地笔算）
师：（把投影切换到Excel）看来，大家算得很费劲.我这里有一个计算器（如图），我们先在“D4单元格”输入单价72，再在“C4单元格”输入就餐天数，则E4单元格就会显示相应的中餐费.
CDE
2计算器的奥秘
3x（天）单价y（元）
400
（教师输入19、18、23，屏幕立即显示相应的中餐费）
师：和你计算的结果一样吗？
生（众）：（惊异地）正确！
师：这玩意的计算速度真快！你知道它的奥秘吗？
教学评析 以学生亲身经历的“中餐费”为背景导出“现实生活中因天数改变餐费改变”的事实，以“计算器”运算奥秘为话题，既为导出解析法进行铺垫，又激发了学生强烈的探索欲望.
2.2 抽象概括，彰显本质
师：（双击E4）我们发现这里有个等式：y=D4*C4（板书），D4是什么？（教师引导观察）
生（众）：单价.（板书）
生4：C4是输入的在校天数，y是每月的中餐费.（板书）
师：在我们不断地输入──计算、再输入──再计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？
生5：单价72是常量，在校天数和中餐费都是变量.（板书）
师：什么量因什么量的变化而变化？
生6：中餐费y因在校天数的变化而变化.
师：如果我们用x表示不断变化的在校天数，你会用含x、y的字母改写上面的等式吗？
生7：y=72x.（板书）
师：我们再输入几个x值.（学生报13，17，…，教师一一输入得相应y值，）
师：由以上计算可知，当x等于一个确定的值时，y值是否确定？此时y值有几个？
生8：当x是一个确定的值时，由于单价是常量，它们的乘积也一定是常量，而且只有一个，即y值是确定的，而且是唯一的.
（以下教师再提出全班中餐费与单价72元、在校天数19天、就餐人数x的关系，类似得到y=1368x.鼓励学生在Excel中编制计算公式，并现场运行检验）
师：我们发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.我们将“y=72x”这种表示函数关系的等式叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.生活中有很多变化过程，都存在着函数关系.
（以下学生举例说明，老师鼓励学生用两个变量来描述.）
（2）若i=1∶3，则tanα= .
例2：（1）如图12，AB、ED甲、乙两个斜坡，斜坡 比较陡.
（2）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米.
预习反思对于正切的概念，你还有哪些困惑？写在下面.
个性超市
题组一：
1.如图13，在ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，则tanA= .
2.在RtABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，则tanB= .
3.在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则tanC= .
4.在RtABC中，∠C=90°，tanB=13，AC=1，则BC= .
图13 图14
5.如图14，ABC是等腰直角三角形，根据图中所给数据求出tanC= .
6.如图15，菱形的两条对角线长分别是BD=16，AC=12，较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ= .
图15 图16
7.如图16，某人从山脚下的点A走了410m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为90m，求山的坡度.图17
题组二：
8.已知：如图17，斜坡AB的坡度i=34，若AC=200米，求AB、BC的长.
归纳梳理
本节课的主要知识点.
二、课堂问案
（一）问题预设
（1）是否只有直角三角形中的锐角才有三角函数？一般三角形中的角有没有三角函数？
（2）角A的大小不变，它的正切值是否变化？
（3）既然称作三角函数，谁是谁的函数？谁是自变量？谁是因变量？
（4）三角函数有没有图像？怎样画出来的？
（5）三角函数中的角怎样表示？
（二）师生互动，课堂疑问
问题问题指向问题成因
问题1：tanA中的A是一个角还是一个角度？对于正切函数中的角的含义的理解学生初次接触三角函数，对于函数的内涵和意义理解不清
问题2：在直角三角形中，角A确定，其对边与斜边的比值确定吗？对于相似概念的理解和猜想学生学习了正切函数的定义，对于与之相近的表示方法产生了自己的猜想
问题3：是否直角三角形中的锐角才有三角函数？对于概念中的核心问题――自变量的理解教材中给出的定义只是限于直角三角形中，而学生知道在一般三角形中也有锐角，他们有没有三角函数
问题4：在正切函数中，谁是谁的函数？自变量和因变量分别是谁？对于概念本质内涵的理解类比一次函数、反比例函数，学生想确认在正弦函数中的变量
………………
（三）解疑释惑
问题解疑答惑
问题1从中可以看出学生对于角及角的度数的理解还是割裂开的，角是一个表示法，其度数是一种度量方式，在此表示的意义一样，有了锐角当然其度数也就确定，两者都可以在三角函数中表示.
问题2引导学生反思勾股定理的内容，既然对边与邻边的比值确定，当然斜边与他们的比值也就确定，我们把对边与斜边的比值称为正弦函数，即sinA.
问题3结合对于角度不变正切值不变的解释，学生体会只要是角度不变，我们就可以通过构造直角三角形来求它的对边和邻边的比值，因此只要是锐角就有正切值，不一定非得在直角三角形中，单独的一个锐角也有正切函数.
问题4在引导学生初步理解概念后，引导学生思考，正切函数的结果是一个比值，这个比值是由角的大小决定的，因此角是自变量，比值基函数值是函数.
问题5……
第一阶段：比葫芦画瓢阶段
这一阶段是学案设计的第一项，教师要让学生对第二天学习的内容进行预习，并做相应的基础练习。本阶段对学生的自主学习能力要求比较高，如果学生不想学或者不会学，那么学习的效果就比较差。如果学生的自主学习能力强，愿意学习，学习的效果就相对较好。教师必须明确预习的范围和习题的要求，通过这一阶段培养学生看书自学的好习惯，训练会看书会读教材的能力，学生对练习要求理解得比较浅，习题只会模仿例题做，知其然而不知其所以然，常常是比葫芦画瓢，对知识是浅层次的认识阶段。
第二阶段：对知识深层认识和记忆阶段
这是学案设计的第二项，一方面教师认真研究教材、教法、课程学习目标要求，确定提出什么问题引导学生掌握所学内容、掌握研究问题的思想方法。另一方面学生通过自学后提出对本节课的困惑和不解，提出一些观点和认识与同学们进行交流。教师听取学生的意见和建议并通过引导优化和集中学生的问题，再筛选出那些可能会引发富有成效的探究活动的问题，看看学生什么地方没有看懂；什么地方理解不透；什么地方学生看书时视而不见、走马观花。根据教师提出的问题，学生可以进行有高度探究性的学习活动。把学生真正带入到探究学习知识的过程中去，他们的思维也会跟着问题步步深入。
因此教师要善于巧设问题的情境，培养学生提问题的能力，激发其创新意识。教师要在学案留有空白，引导学生归纳所学内容的网络结构图和记忆知识的规律方法。
比如，学习初等基本函数如一次函数、二次函数、反比例函数的研究思路流程：
从特殊函数实例概 括一般函数的函数模型得 到一类函数的概念
作出特殊函数的图像抽 象一般函数的代表图像 根据函数的图像研究函数的性质
（性质包括：函数的变量的取值范围，增减性、最值、对称性。）
这样可帮助学生构建知识网络，打开学生的思路，学生学了一次函数的研究思路就会类比研究二次函数、反比例函数，对培养学生解决问题的策略有很大的帮助。
又如，两条直线平行的判定方法研究思路流程：
回想两条直线平行的判定定理 找到所要证明的两条直线被第三条直线所截 产生的是什么样的角 研究题目所给的条件找到同位角或内错角或同旁内角 找到相等的角证出平行。
记忆知识时，一边填空一边记，一边理解一边用。
教师利用学案让学生把每一章每一节都用研究思路流程图表示出来，学生研究问题就有章可循，在做习题时通过分析写出解题的思路流程，记忆一些知识也会设法寻找规律，大大提高了学生的学习效率。
第三阶段：知识迁移能力的培养阶段
这个阶段是学案设计的第三项，学生通过对知识的对比迁移达到灵活运用，形成思维能力。数学教学中教师不能单刀直入地揭示出全部的问题及解决问题的方法，而应带领学生分析问题思维条件、结论，联系有关知识，寻找它们的联系，提出一些解决问题的方法。
如研究y=ax2+bx+c（a>0），这是二次函数的基本模型，它的图像开口向上，对称轴方程和所有其他性质学生是相当熟练，学生通过类比得到y=ax2+bx+c（a0），类比得到y=a（x-1）2（a>0）图像的顶点坐标。
无论研究什么题型，都要找到题目的原型。这就是知识的迁移问题，能否解决这个问题体现了学生的迁移能力高低，初中对这个能力要求不高，但高中好多题目都考查知识的迁移能力，并且对这种能力的要求比较高。培养这种能力需要教师的引导，需要在学案设计中体现引导的过程，要有相应的题组训练，否则学生会说，能听懂教师讲课不会做题，只知道这个题怎么做，换了一道类型相同的题就又不会做了。
第四阶段：反思总结阶段
这个阶段是学案设计的最后阶段，这是在教师的引导下，学生通过自主学习、梳理知识点、构建知识网络后的巩固和提高的阶段，是学生反思自己在学习过程中，学习了什么、做了什么、发现了什么、得到了什么的过程，是对自己整个学习过程的回顾和总结，是对自己学习中存在的学法问题、学习习惯、思维习惯的调整，进而改变自己学习方式的过程，使学生由被动学习向主动学习转变的过程。
关键词：初中函数；函数思想；实际问题
数学源于生活并且为生活服务，因此，生活离不开数学。很多数学问题都比较的抽象复杂，但是从生活实际出发，参照生活中的实例理解数学问题，就能化复杂为简单。初中生的思维一般处于具体运算向形式运算的过渡时期，这个时期，必须要以演绎方法为教学支持，通过一些情景案例，让学生在交流讨论的过程中逐步深化对教材内容的理解，灵活运用函数思想解决实际问题。
一、初中函数思想与实际问题的关联
初中函数思想，就是一种变量的思想，即在某一个变化过程中，存在两个变量x与y，一旦给定了某个x值，就能确定一个y值，y是x的函数，而x是自变量，y是因变量。生活中，有很多问题都和函数思想相关，例如当我们租用车辆、购物已经入住宾馆的时候，都会有商家提供促销或者优惠方案，这就需要我们用函数的思想解决问题，从而做出明智的选择。例如：茶壶20元一个，茶杯5元一个，某商家开展促销活动，购买茶壶三个以上，就可选择以下一种优惠方式：（1）买一送一（买一个茶壶，送一个茶杯）；（2）打九折。遇到这样的问题，很多人都在想哪种优惠方式更适合我？我们不禁想到了函数思想解决问题。假设我们就购四个茶壶，探讨一下哪种购买方式优惠，设购买茶杯x个，总价为y元。
采用第一种付款方式：y1=4×20+（x-4）×5=5x+6，
采用第二种付款方式：y2=（20×4+5x）×90%=4.5x+72。
接下来比较两种方式哪种方式更加优惠，d=y1―y2，分别对d=0，d>0，d
二、初中函数思想解决实际问题的具体方式
1.创设择优方案
购物中充满数学知识，体育中充满数学知识，旅游中也充满数学知识。遇到这些问题，往往可以将数学联系生活，通过函数思想选择最佳的方案，解决实际问题。例如：春天来了，教师带领全校500名学生出去旅游，但是需要选择租车方式，每辆大客车可乘坐40人，租金100元，每辆小客车可乘坐25人，租金75元，问如何选择租车方案。遇到这样的情况，先让学生进行探讨，每个人想出自己的设计方案，对于不同的方案，在进行比较，看哪种方案最省钱。其实这种问题中也涉及了函数想，选择租大客车的数量，相应的也就确定了租车的费用，在这样问题的探讨过程中，能够让学生集思广益，发散思维，更好的将函数思想联系实际。
2.设计生活练习
能够巧妙地运用函数思想解决实际问题，离不开一些与函数思想相关的练习题，将课堂学习联系到生活实际，教学的过程中，让学生多做一些函数思想应用题的联系。例如：某旅行社进行装修改造，之前一共有房间120间，每间的日租金为50元，当进行改造之后，租金上涨，经数据统计发现，一间客房日租金上涨5元，则出租的客房会减少6间，问每间客房的日租金提升到多少元的时候，房客的总收入是最大的？遇到这类现实中的问题，可巧妙的利用函数思想解决，即假设日租金提升x个5元，即5x元，每天房间出租数则会减少6x，总收入为y元，则：y=（50+5x）（120-6x），经计算，当x=5的时候，y取得最大值。通过这类函数题的计算，能够让学生获取基本的函数思维，在不断地练习过程中，获取思维的提升，同时也丰富学生的题库，让学生巧妙地对课本中出现的题目进行转化，可以迅速的用函数思想进行解答，这类题目的练习，可以实现初中生函数思想运用方向的转变，让学生的思维更加的开阔。
3.设计生活体验
学生对于函数思想与生活问题联系关系的理解，离不开生活的体验，让学生在与生活贴近的情境中发现问题，能够让学生获得更多的感悟，同时运用函数思想解决实际问题，能够提升学生的理解与感悟能力。在教学的过程中，要增加学生接触实践的机会，带领学生到附近的市场、超市转转，让学生自己去发现问题，同时加深对问题的理解，不断地去解决问题，提升学生学习的主观能动性。例如在讨论生活中稿费支付的问题上，遇到这样的一种问题：国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14%的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11%的税。王老师曾获得一笔稿费，并交税280元，算一算王老师这笔稿费是多少元。首先分析问题，王老师交税280元，则王老师的稿费收入超过800元，关键在于是否超过4000元，如果是4000元，则需要交税至少为440元，所以初步判定王老师的稿费在800与4000之间，这样就可设王老师稿费为x元，适用于（x-800）X14%=280这样的函数方程式，最终求解。这一类问题不仅联系生活，更与函数思想息息相关，解决这类问题，能够锻炼学生的思维，提升学生理解与解答数学问题的能力。
学习数学的目的就是更好的应用数学，利用数学思想解决实际生活中的问题。函数思想中包含深刻的数学原理，与生活联系紧密，利用函数思想解决现实问题，具有重要意义。函数思想分析现实问题，需要理解问题，找出常量与自变量，正确的分析问题，最终确立函数关系式，获得解答，这是一个需要不断练习的过程，同时解决现实问题对学习初中数学具有很大的帮助。
参考文献：
[1]谭守贵：浅谈初中数学函数思想的体现和应用，《辽宁教育》，1997年第06期
[2]陈雄伟：运用函数思想解决方程有解问题的两条途径，《中学数学研究》，2009年第05期
[3]郭登杰：浅析一次函数中所涉及的数学思想[J]，教育教学论坛，2009年09期
[4]许生友：揭开庐山真面目――一次函数考点例析[J]，数理化解题研究（初中版），2011年09
[5]陈新华：小学数学教材和教学中的函数思想的研究[D]，首都师范大学，2008年
高中数学课程由于其难度大，容易失分，并且学生成绩差距巨大等特点，一直受到高中教学的特别重视.因此对于高中数学教学方法的研究与不断改善是势在必行的工作，而“学案导学”教学法的引入为高中数学教学方法的进步加入了动力.学案导学模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读和学习教材，了解教材内容，并根据学案要求完成相关内容；在学习过程中学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习.这种教学模式一方面激发了高中阶段学生数学思维的发散，同时也发挥了学生的主体意识.因此如何应用好“学案导学”教学法是高中数学教学方法研究中的一个重点工作.
1.合理设置课程内容，以完整的学案激发学生学习兴趣
学案中课程内容的设置如同是学习的大纲，要想激发学生学习的兴趣，必须先完善学案的设置以及其中的内容，让数学教学的内容前后联系，并带有一定的趣味性.因此在学案设置的时候，一方面是注意知识点的前后连接，另一方面可以将一些小学的教学方法应用在学案设置里，比如数学游戏，数学结合等方法，让学生在学习知识的同时还能够学习到新的学习方法，激发学生不断地进行探索.
例如在函数的教学中，由于其学习的方法与初中的简单学习完全的不同，而是利用集合导入函数.因此教师在填写学案的时候，要根据教材和课程设置，介绍集合的知识.并且在函数教学的过程中，由于函数的抽象性，学生在接触函数的时候很难一眼看出函数的特征，可以补充数形结合的学习方法，让学生通过函数图形来解释函数公式或者是用函数公式来弥补函数图象所描述的不到位的现象.这种方法下，学生根据学案设置的步骤一步一步地进入新的课程，同时遇到难点教师也能指导学生采用合理的方法来解决，提高了学生学习的兴趣与效果.
2.改变学案一贯风格，从学生角度设置学案，指引学生自主学习
学案起着数学教学大纲指引的作用，因此很多时候可以通过学案导学感知课堂总体的教学内容.但是在这种方法下，学生由于自主学习能力还有待完善，因此可能不能完全根据教学学案的内容进行学习，或者无法通过简单的概要找到相关的知识点.教师在“学案导学”教学法下，可以适当地改变设置学案的角度，从学生方面出发，将步骤尽量的详细，并做相关解释说明.这种情况下，学生可以根据学案进行自主学习和预习，提高学习的能力.
高中数学以其复杂的知识内容和严密的逻辑结构等特点，让学生倍感困难.在学案设计的时候，教师有时为了解释一个知识点，需要用到多个原本的知识点或者是需要教授学生新的知识点，此时对于学生来说，对于知识点的把握以及联系能力就达不到学案的要求，很可能在学习的时候停顿下来.如果在设计学案的时候，教师可以将整个综合的知识点拆分成若干个小的步骤，让学生阅览并采用小步骤一步一步的进行学习，学生自主学习的难度将大大减小.
3.小组讨论，发挥学生互补优势
“学案导学”教学法下，小组讨论是学生交流自学经验，互相弥补不足的必要环节.教师在学生通过学案自主学习后，组织一定时间的小组交流学习.在讨论环节，教师主要为学生根据学案的内容设定交流的方向，学生在讨论的时候自由发挥，以集体合作的力量解决一部分在自主学习时遇到的困难，并且能够互相学习他人良好的学习方法，带动学生共同进步.
尤其是遇到高中数学知识应用的时候，很多时候会存在一题多解的现象，比如文章之前提到的函数的学习，在函数大小比较这一环节，学生既可以采用两个函数做差求最值与零比较的方法，也可以作图直接看函数在坐标系中的位置，更可以求两个函数的商或者最值来比较.同一个知识的应用对于不同的学生可能有不同的解法，而通过小组讨论，学生可以交流自己的解法，一个小组很有可能得出两种或者三种解法，通过分享，大家的解题能力都得到提高.
4.学生提问，教师补充
由于数学知识的复杂性以及综合性，即使学案内容再丰富，学生在学习的时候也难免会遇到难以解决的困难以及漏掉一些知识点，因此，在学习的环节中，教师应当注意鼓励学生多提问，并且做出最准确的解答.在学生学习完成后，教师根据学生自己的总结，及时地为学生提供补充总结，帮助学生完善知识点的记忆，充实章节知识的学习.这种方法下，学案知识框架得到了充实，整个数学章节知识点通过师生的互动以最高的效率让学生掌握，提高了高中数学的教学效果.
5.作业反馈，测试“学案导学”教学法效果
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