立体几何的典型特点就在于其“立体”，即三维。在学习平面几何时，学生完全可以通过平面的点、线以及相关的公理来证明和判断它们之间的关系，但是在立体几何学习过程中，如果仍仅仅依靠这样的判断是不够的，还需要增加空间想象能力。初学立体几何时，很多学生难以适应，其主要原因是难以从二维平面中感知到三维图像，也就是说，学习立体几何除了相关的公理之外，最重要的就是空间想象能力，这是立体几何的特点所决定的。
二、实现高中数学立体几何的有效性
相应的，高中数学立体几何的教学，不是一个简单的过程，恰恰相反，由于不同的学生有不同的特点，加上立体几何教学过程本身就十分繁琐，因此，对高中数学立体几何的有效性的实现，需要采取众多策略。
1.通过画图来提高学生对基础知识的运用
立体几何学习的难度，不仅仅在于通过二维空间表现三维空间的特点，还在于通过文字来表现三维空间，而后者则要求学生能够根据文字的描述，进行图画的创造。其实，教师引导学生通过画图来解答题目，还在一定程度上加深了学生对基础知识的理解和运用。比如在讲授面面垂直这一基本公理时，首先学生应该明白证明面A与面B垂直，只需要证明面A中的一条直线m与面B垂直，而要证明直线m垂直于面B，只需要证明直线m与面B中的两条相交的直线n和h垂直即可，通过这样的分析，学生就可以画出相应的图画。虽然学生在解答立体几何题目中，题干中往往会给出特定的图像，但是教师在对学生的日常训练中，要引导学生自主画图像，这对于培养学生的空间想象力，无疑具有十分积极的意义。
2.通过多媒体的运用来提高学习效果
多媒体教学最重要的特点，就是可以通过模拟的方式，来解决学生通过想象不能理解的问题。其优势体现在以下几个方面：第一，可以加深学生对立体几何知识的理解。前面提到过，学生学习立体几何最大的难点，就是需要通过空间想象能力来实现二维平面向三位空间的转换，而通过多媒体教学，可以向学生直观地展现三维的立体空间，以彻底打开学生的空间思维能力。第二，可以激发学生学习的积极性，学生的空间想象能力多是静态的，如果牵扯到动态图像，多数学生都将陷入到枯燥的冥想之中，但是多媒体教学，通过一些程序的设定，可以将一些图形变换的动态图像展现给学生，让学生通过眼睛来学习其大脑不能呈现的图像，从而感受其中的神奇，以调动其学习的兴趣。如学生在学面角时，教师在讲解时，往往会给学生提供众多的解体方法，如三垂线法等，一般学生在解答比较简单的二面角问题时，可以轻松解答，但是当遇到比较复杂的问题时，学生往往难以理解，遇到这种情况，教师就可以通过多媒体向学生展现立体的图像，这对学生加深对此题目以及二面角的定义都有积极作用。
3.通过模型法来提高学习效果
数学来源于生活，其最终的宿命也将回归到生活，如果在高中立体几何教学过程中，脱离了生活，那么即使学生的分数线上去了，其教学也是失败的。因此，将立体几何的学习与实际生活结合起来，是立体结合教学的必然选择，而模型法的使用，是实现这一目的的有效途径。所谓模型法，就是在教授立体几何知识时，从现实中寻找物体，来进行比对，一方面来加深学生对知识的理解，另一方面也能有效培养学生将知识运用于现实生活的能力。这就要求教师在使用多媒体教学时，除了运用一些多媒体手段向学生展现动态图像之外，更为重要的是向学生展现一些现实生活中的例子。
三、总结
关键词：初中几何；入门教学；体会
初中生学习几何并不是一件易事，究其原因在于平面几何考验学生更多的是逻辑推理，而初中生以往学习接触的基本都是关于数和式的知识，而突然转入到对具有各种定理、公理的图形性质的研究，研究方法大不一样，加之几何概念往往都比较抽象，因此学习难度增加。此时若对几何入门教学没有足够的重视，那么将造成多数学生绊倒在几何入门的门槛上。下面，笔者将分享几点关于做好初中几何入门教学的体会。
一、抓好几何基础知识教学，培养学生学习的兴趣
学习兴趣是学生学习的原动力。在初中几何学习初期，平面图形在某种程度上会刺激学生的感官，从而引起学生的好奇与兴趣，这时再加以教师的有意引导与培养，帮助学生透彻掌握到几何的基础知识，让学生认识到其基本概念、定理、公理及研究方法等，学生对几何学习的热情与学习效率将立竿见影。几何概念一般较为抽象，学生的实际感受不明晰，因此在初期的学习中学生接受起来比较困难。但是如果教师注重将理论与实际有机地联系起来，尽可能保持课堂的概念教学与学生的认知强化同步进行，加强对学生直观思维的培养，并循序渐进地将学生的直观思维向逻辑思维过渡，加深学生对事物本质的认识，将有效克服学生学习几何的困难。如对于“角”的定义，教师可从时钟的针角、黑板角等实物引入。又如如何区分直线、垂线、线段、射线，教师可引导学生通过比较差异的方法来明确几者之间的关系，让学生辨别概念并牢固掌握。
二、加强几何符号语言训练，规范学生几何语言的运用
文字语言、符号语言、图像语言是几何语言的三种形态。健全学生数学思维的第一步便是要让学生学会正确规范运用这些语言。几何教学中往往离不开大量的推理论证，而在此过程中符号语言应用最多，因此极有必要大力训练学生对几何符号语言的掌握与运用。对于同一个几何图形，如图1，既可用文字语言描述，为“点C为线段MN的中垂线AB上的一点，则点C距线段MN两端长度相等”，而用符号语言则可描述为：
这种用符号将线段、相等、相互垂直等关系标志出来的就是符号语言，而形成的几何图形就是图像语言，可以看出这比一般语言的描述更加直观形象，这就是几何知识的一大优势特征，同时这种从文字语言到符号语言的翻译 过程也增加了几何学习的趣味性。学生在刚开始接触符号语言时可能比较生疏，但任何语言学习都是一个逐步适应的过程 ，只要学生反复加以训练，慢慢地就会从生疏到掌握再到熟练运用。而在学生练习的过程中，难免会犯一些错误，这就要求教师耐心指点，帮助学生尽快熟练掌握符号语言的运用。
三、加强推理论证训练，培养学生逻辑推理能力
推理是几何学习的核心，因此几何教学的重点是要培养学生的逻辑推理能力。几何推理入门教学大体有3个阶段需教师循序渐进地对学生加以引导：（1）结合概念引入三段论证模式，例如角平分线的定义：OC评分∠AOB，则∠AOC=∠BOC，或是∠AOC=1/2∠AOB。教师通过对学生进行一段时间的口头示范以及书写示范后，可慢慢地要求学生进行口头叙述以及规范书写。对于后续关于“顶角”方面的计算题，教师可通过多种方式对学生进行训练。（2）“平行线”教学，教师务必要学生明确之中的因果关系。（3）“全等三角形”教学，教学的重点是要逐步引导学生学会推理论证。数学学科是一门系统性很强的学科，几何逻辑推理的学习要必经了解、掌握、熟悉这三个阶段，教师需明确的是，几何入门教学重在循序渐进，只有这样才能帮助学生克服推理论证的难关。
四、运用好分析法，开发学生论证思路
明确了论证思路，几何解题也就成功了一半，但是论证思路的寻求并非轻而易举，这是几何教学的重点同时也是难点。笔者在实际教学中关注对学生的思维训练，对于每一步的推理都要提出“为什么”，以此来加强学生思维的启发，并且重视对学生逆向思维的开发，还重视加强对学生一题多解的训练，让学生不断积累解题的经验，从而开发学生论证思路，让学生从此爱上几何。教师在教学设计环节，应该对疑难点进行侧重性的分解，可以充分利用几何图形的直观形象的特点，充分利用起学生既往数学学习所获得的经验，充分利用学生好奇的心理特征，最大化地提高平面几何入门教学的效率。
总之，初中几何的学习是整个初中数学学习生涯的重要组成部分，初中几何入门教学是是引导学生后续几何学习的第一步。万事开头难，只有帮助学生打好扎实的几何知识基础，才能让学生顺利过渡到下一步的学习中。
参考文献：
【关键词】七年几何 特点 入门方法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0160-02
我们都知道，学好七年级几何是初中几何的基础所在。有这么一句话说得非常经典：“几何头，代数尾”。确实多年的教学经验也告诉我们，七年级几何学生难学，教师难教。其实，教育心理学家已经知道：七年级是学生思维发展的质变期，从小学到中学，学生的思维方式正经历着一种从“数”转入“形”的学习，从“代数运算”为主，转入“几何推理”为主的变化过程，它真的需要给学生一段甚至更长时间的适应过程。因此，在这一敏感时期如何培养学生学习几何的兴趣，如何使学生理解抽象的几何概念，掌握更加严谨的数学语言，使他们不再感到“几何、几何、无可奈何”这一困惑，引领他们自信地走出怪圈，顺利地通过几何入门阶段的学习，是摆在我们面前所必须认真加以思考的重要课题。下面本人结合多年的教学体会，谈谈七年级几何如何入门。
一、让学生感受灿烂悠久的几何文化，激发他们学习几何的兴趣
兴趣是启迪学生自觉学习的最好因素，更是学生探究未知领域的动力源泉。没有丝毫兴趣的强制性学习，必将会扼杀学生探求知识的欲望。几何的第一节课非常重要，如果教师照本宣科，结果可想而知。因此，教师应在课前准备大量的材料，让学生感受灿烂悠久的几何文化。
二、巧妙创设情境，加深学生对几何概念公理的理解
概念是筑成数学大厦的基石，没有概念就没有思路。概念既是思维的重要形式，也是推理论证的基础，更是掌握数学基础知识的前提。所以加强概念的教学是学好几何的关键。几何刚入门，概念多且抽象。
三、初步培养学生掌握规范的几何语言能力
数学中的文字语言，它的突出特点就是简明、准确、严谨，而符合语言最大的特点就是抽象。正确理解和掌握规范的几何语言是学生顺利进行几何学习的首要条件，能否进行几何语言的规范表述往往成为七年级学生学习几何的拦路石，因此在教学过程中，教师应做到以下几点：
1.充分发挥教师的语言表率作用
作为课堂教师主要是运用语言的形式向学生传道、授业、解惑。有意识地模仿往往成为学生学习几何语言的第一步，这就要求教师的语言要严谨、准确、精炼、条理清楚。如在讲解公理“过两点有且只有一条直线”时，可以让学生自己动手画图，然后交流得出结论。但很多同学常将它误译为“过两点可以画一条直线”，这样的叙述显然欠妥，这时应及时向学生指明在这个公理中第一个“有”表示这条直线是存在的，即通过两点可以画一条直线；而第二个“有”是表示这条直线是惟一的，即通过两点只能画这么一条直线。总之，教师要对几何课本中常见的术语如“连接”与“连结”，“或”与“且”，“延长”与“反向延长”等等，要认真向学生解释清楚到位，避免学生在今后应用时造成混淆。
2.培养学生初步掌握图形、文字语言与符号语言的互译能力
斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学”。几何语言通常表现为图形、文字和符号三种形式。数学语言是数学知识的重要组成部分，它既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现。它既是表达的工具，又是交流的工具。我们都知道，几何的证明格式通常是用“”和“”这种形式的符号语言进行推理论证的。如在讲解“两条直线都和第三条直线垂直时，那么这两条直线____”时，先引导学生动手画图、观察、得到结论（相等），然后教师把正确的几何语言板书出来即（ac， bc a∥b ），最后让学生理解清楚后再模仿操练。初步学习学生能达到一、两步推理，就很不错了，要记住学生刚开始学习，推理的过程步骤不必过多，但是对特征与识别的文、图、式表示是必须要条理清晰。这样把教学过程变成学生自己动手操作，发现规律的过程。既可让学生感受到发现探索知识的快乐，又可激发学生的学习兴趣。
3.引导学生养成良好的学习习惯
重视课本，重视课前预习，对学好几何至关重要。引导学生在预习过程中，重点对课本中的例题包括定义、定理、要精读，只要碰到看不懂的，要先做个记号，上课时结合老师的讲授，进一步阅读课文，从而掌握重点、关键，解决预习中的疑难问题。勤动脑、勤动手踊跃参与问题的讨论，熟记一些几何习惯用语和模式，熟悉几种常见几何语言的运用和叙述，边模仿边学习，达到初步掌握规范的几何语言的叙述、表示和画图。课后复习是课堂学习的延伸，引导学生做作业之前，一定要先复习课本。当然，做适量的习题还是必要的，若能点滴积累，善于及时归纳总结，又能熟悉解题的常见着眼点，学好几何只是一个时间的问题。
古人云：“授之以鱼，不如授之以渔”。学生不应该只是个知识的容器，而应该成为主动探索知识、发现知识、运用知识的主人。作为一名教师一定要培养学生学习数学的兴趣，引导学生努力去探索几何世界的魅力，揭开它神秘的面纱，让思维在广阔无隙的平面之上纵情翱翔，尽情地去领略数学天地的无限风光。
参考文献：
[1]孙月光 《初中几何教学研究》 上海教育出版社 2000
[2]李求来 《中学数学教学论》 湖南师范大学出版社 1992
[3]徐斌艳 《数学课程与教学论》 浙江教育出版社 2003
关键词：信息技术；运用；解析几何；教学；数学；整合；效应；分析
中图分类号：G652 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0242-02
近些年来，人们的生活水平在很大程度上都有了一定的提升，人们对于自身子女的教育关注度也有了很大提升，在高校教育教学的过程中，解析几何教学一直是数学教学过程中的重点，伴随着人们逐渐步入了信息化和数字化时代，信息技术已经在人们的生活中得到了广泛的应用，将信息技术运用到解析几何教育教学中，已经成为了时下的趋势，下面，笔者就对信息技术运用于解析几何教学的整合效应进行分析。
一、信息技术运用与解析几何教学整合的作用
1.信息技术运用与解析几何教学的整合在一定程度上提升了教学效率。过去传统的解析几何教学过程中，形数的结合并不能进行很好的表现，也仅仅是依靠想象来进行曲线作为动点运动轨迹的教学。但是，近些年来，社会和经济都得到了飞速的发展，我们使用计算机就能够将平面内任何一点的极坐标和直角坐标测算出来，当我们在计算机上使用鼠标对运动点进行拖动时，计算机就可以将动点坐标所产生的变化及时地显现出来，我们也就能够通过进行动画的运用，将曲线作为动点轨迹形成的全过程很好地展现给学生，这也就在很大程度上说明了信息技术运用与解析几何教学的整合能够进行改善解析几何教学现状。特别是其中对于《几何画板》那些应用，为教师和学生提供了一个实验、探索以及观察的几何环境，《几何画板》具有功能强大、操作简单以及学习容易等优势，在《几何画板》上面，我们画出的图形全是动态图形，这些动态图形一直保持着设定几何关系不变化，这样来看，我们所得到的是一组对设定条件进行很好的满足的几何系统，学生和教师能够在这一动态过程中，对这一系统中所存在的各种几何现象进行非常直观的观察，也就能够对其所反映的规律进行研究和探索。《几何画板》所提供的几何环境是动态的，因此，《几何画板》不仅仅能够利用其可视化为高校学生提供进行自身创造力培养和实践的园地，还能够帮助学生对老师所指定图形存在的问题进行最直接的观察和思考。
在信息技术运用中，计算机可视化这一信息技术能够很好地为几何教学提供直观、生动的图形，这也就从根本上将数学与学生之间的距离缩短，使数学变得亲近、可爱了。计算机使固定、死板的数学几何图形动起来，这也就增强了学生的视觉冲击力，并且对学生求知欲望进行了激发，使学生进行解析几何学习过程中所存在的困难大大减少，从根本上提升了学生对于解析几何学习的兴趣。学生在自己动手进行几何学习这一过程，使学生通过自己动脑和动手，来进行几何概念形成的原理和过程进行了正确的理解，对学生转换问题、认知发现的能力进行了培养，并且将学生对实际问题解决的能力以及实际建模的能力进行了提升，因此，笔者认为，信息技术运用与解析几何教学的整合大大提升了教学效率。
2.信息技术运用与解析几何教学的整合，极大地转变了教师的单一角色。整合运用信息技术与解析几何教学模式，将高校课堂还给学生，让解析几何课堂上的学生成为主人。在解析几何教学中运用信息技术，能够使教师和学生在同一个平台上进行合作与学习，逐渐让学生从被动的知识接受者转变成主动对学习的探索者，我们的高校数学教师也应逐渐从单纯的知识授予者转变成对高校学生发展的促进者，教师还从一个对课堂空间进行支配的人员转变成为了学生学习活动的合作人员、引导人员以及组织人员。在过去的高校数学教育教学过程中，教师仅仅是告诉了学生究竟什么才是数学，我们应该怎么样进行数学题的解答，但是，目前来说，信息技术运用与解析数学的整合，为学生进行数学的创造和发现历程提供了良好的平台，使学生经历一个从做数学到用数学转变的过程，并且进行自身创新意识的发展。因此，笔者认为，信息技术运用与解析几何教学的整合将教师的角色进行了转变。
二、信息技术运用与解析几何教学整合的思考
1.在实际操作中，数学的概念是和严谨的数学语言表述和抽象的思维密不可分的，然而，学生对数学疏远的真正原因就是数学的严谨、抽象以及不易懂。最终，学生必须要从自身对于数学的感性认识上升到理性认识这一层面，从理解上升到应用这一层面，这就要求学生必须要将数学作为一种语言符号来在自己大脑中储存。所以，笔头的交流以及口头的表达都是必不可少的，在进行教学平台的应用过程中，我们不能够将传统的黑板演算推理进行忽略。
2.所谓信息技术运用与解析几何教学整合，并不是单纯地将信息技术看成一种传统解析几何教学手段和现代的解析几何教学手段的叠加，进行信息技术的整合，目的就在于我们能够通过信息技术的应用和介入，使解析几何教学中各个要素进行和谐和丰富，将信息技术不断融入到解析几何教育教学的过程之中，通过对其教育教学方式进行改变，从而将其传播渠道以及信息资源等进行改变，最终实现高效解析几何教育教学的发展和突破。
3.信息技术运用与解析几何教学的整合要求我们必须要将信息技术在解析几何教学中使用的度进行很好的把握，并且对时间和时机进行很好的把握，注重为高校学生提供概括、分析、综合及观察、比较的机会，使学生学习数学的过程中，感受和体验数学，并且对数学知识形成的过程进行深入的理解。
结论：主动地将知和做相结合、统一的行为就是所谓的学习，目前主导的原则下面，在一定程度上转变被动接受这种学习方式，将其转变成为主动的获取，这已经成为了当前高校数学教育教学改革最为核心的主题，并且已经成为了对学生实践能力和创新精神进行培养的前提。以上，笔者就对信息技术运用与解析几何教学的整合效应进行了一定的探讨。
参考文献：
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[5]蔡惠.运用网络技术探索“自主实践―课堂教学―组织实践”课程教学模式[J].成都教育学院学报，2005，（7）.
几何教学 教育价值 课程智慧
一、前言
新课标结束了过去一纲一本的教材体系，开始了在课程标准下的多版本教材体系。根据《数学课程标准》（实验稿）的精神，某版初中数学教材对“空间与图形”中的平面几何内容采用了两阶段的处理方式，即实验几何阶段和证明几何阶段：从七年级上册一直到八年级下册最后一章之前，基本都是采用实验的方法认识图形性质；从八年级下册最后一章才开始引入演绎证明的方法，而证明的大部分结论都是前面曾经探索过的结论。
对于这种处理方式，一些实验区教师存有异议：在近三分之二的时间里不学习严格的证明表述方式，学生做作业时随意性太大，很不规范，给教学带来了混乱；在这么长的时间内不学习证明，学生的几何证明能力很难得到保证；学生在实验几何阶段已经学习了大部分几何结论，到了证明几何阶段又对其中的一些结论进行证明，学生觉得是一种重复，没有必要。
实际上这些意见涉及到某些深层次的问题，比如，如何理解平面几何的教育价值？如何定位演绎证明在初中数学学习中的地位和作用？面对新教材如何做有课程智慧的数学教师，处理好实验探索与演绎证明的关系？
二、中学平面几何课的教育价值
1.中学平面几何课所涉及的基础知识，无论是对进一步学习，或是直接参加生产，或是作为一个现代社会的基本公民的一般素养，都是完全必要的。对此，一般都没有异议。无论国内外，平面几何在历史长河发展中所沉积的文化特性，对学生文化素质的提高所起的积极作用，都是其他学科教育难以超越的。
2.中学平面几何课的价值，主要在于发展学生的逻辑思维，培养他们的推理能力。几何的学习不是说学完了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明。而这一点对一个人成为一个科学家，甚至成为社会上素质很好的公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身受益无穷。因此，一般人都认为，中学平面几何的课程内容，是培养学生逻辑思维能力的最好材料。
爱因斯坦曾说：“单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的甚或是不可能的。但是，假如认为不必借助于逻辑思维而想有所发现，这同样是不可思议的事情。”爱因斯坦的这段话不仅深刻地指出了逻辑思维的重要性，也同时指出了逻辑思维的不足之处。平面几何课的价值是否仅限于逻辑思维的培养呢？
著名数学教育家G·波利亚的合情推理模式，在我国中学数学教育中产生了广泛而深刻的影响。这种推理模式“既教证明，又教猜想”，将自然状态下的合情推理，提高到一个更加合理，更加科学的层次。
从国际数学教育正反两方面的经验来看，凡系统讲授平面几何内容的国家，如中、俄、日等国，中学生的数学水平较高，反之则水平较低。这从国际教育成就评价课题研究（IAEP）公布的调查报告，就充分说明了这一点。
综上所述，无容置疑，中学平面几何在基础教育中仍将占据一席重要地位，在培养学生良好的个性品质方面起着其他学科所不能替代的重要作用。
三、把合情推理和逻辑推理尽可能统一在每一个几何内容中
中国曾经有过多次教育改革（或教育实验），其中很多教育改革实际上只是“教学改革”，也就是“教学方法改革”。从教学改革转向教材或课程改革，这里面隐含了一个重要的转变。对教师来说，以往的教育改革常常显示为教学方法的调整，却不知道真正应该调整的首先是教材。如果教材错了，教学方法无论如何调整，终归是一种微调，甚至会“助纣为虐”。也可以说，如果只改变教学方法而不改变教材，至多只有“正确地做事”的效应，而且很可能是正确地做错误的事情。方法是对的，方向却错了。教材改变意味着首先保证“做正确的事情”。显然，“做正确的事情”比“正确地做事情”更重要。
如果教师发现现有的教材绝大部分内容都比较过时、落后或者不适合学生学习，那么，教师就可以考虑用另外的教材替换现有的教材。在传统的教材制度背景中，更新、更换教材是不可想象的事情，但是，当市场上出现多种版本的教材之后，这种更新、更换教材已经不再是新闻。
调整教材是教师的权利，不过，正式发行的教材往往聚集了大量的专业智慧和实践经验，有些教材可能隐藏了一些错误或缺憾，但很少有教材会败坏到“一文不值”的程度。教师可以补充或开发新的教材，但补充和开发新教材的前提是尽可能“吃透”并“利用”现有的教材。
优秀的教师总是在调整、补充或开发教材，或者说，优秀的教师一直在参与课程资源的开发和利用。课程资源开发和利用可能表现为“补充教材”，这是比较温和的形态；也可能表现为“更新教材”，这是比较激烈的形态；还可能表现为“校本课程开发”，这是比较充分的形态。
据《数学课程标准》（实验稿）的精神，北师大版初中数学教材对“空间与图形”中的平面几何内容采用了两阶段的处理方式，即实验几何阶段和证明几何阶段。在实验几何阶段，《数学课程标准》中“图形的认识”所要求的多数几何命题都通过各种实验方式获得。到了证明几何阶段，再建立一个相对清晰的局部公理体系，对一些结论进行证明。
这种处理方式在体现《数学课程标准》的精神方面有其长处：
1.有利于体现研究图形方法的多样化。因为实验几何阶段尚未引入证明，这样就为用非证明手段研究图形提供了比较充分的时间和空间，同时还可以限制证明的使用，防止在证明方面“深挖洞”。
2.有助于感受公理化思想。如果把欧氏几何比作一个“城市”，那么证明阶段所构建的局部公理体系就可以看成是这个“城市”的“微缩景观”。一个身在“城市”之中的人可能无法感受其整体面貌，但当他站在“微缩景观”前面时，就对这个“城市”一目了然了。
最近，数学课程标准（实验修订稿）基本理念修改为：数学教育一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识技能，另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的功能。在“双基”的基础上，提出了“四基”：即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；对问题解决能力方面，在原来分析问题和解决问题能力的基础上，进一步提出培养学生发现问题和提出问题的能力。数学课程标准（实验修订稿）明确要发展学生的全面思维，要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的功能。
所以，凸显几何的教育价值，做课程智慧型数学教师，“吃透”教材、“补充”教材、“更新”教材，把合情推理和逻辑推理尽可能统一在每一个几何内容中，是我们每一个一线教师值得思考与实践的紧迫问题。
如果说,数学是各国中小学课程中最为统一的一门学科的话,那么,几何就是其中最不统一的一部分,其原因就在于几何的多样性。几何的多样性首先反映在它的特征上,其中包括作为空间科学的几何;作为概念和过程的直观表示的几何;作为数学理论与数学模型源泉的结合点的几何;作为思维和理解的一种途径的几何;作为演绎推理教学范例的几何;作为应用的工具的几何等。其次反映在它的活动方式上。几何活动一般涉及三种认知过程:视觉、构造、推理,每一种过程通常又涉及多个方面,如从视觉上看,有维度上的不同,结构上的差异,背景上的区分,位置上的变化;从构造上看,有实验性的操作,直观的构造,概念的形成,理论的构建;从推理上看,包括直觉的推理,归纳的推理,非严格的自然推理,严密的演绎推理。正因为如此,几何既可以作为不同水平的创造活动的源泉,也可以成为训练各种推理能力的场所;既可以作为日常生活中所必需的基础知识,也可以成为解决各种问题的工具。此外还反映在课程处理的途径上。从认知过程看,有操作的、直觉的、演绎的或者分析的几何;从课程结构上看,有静止的与动态的几何;从课程形式上看,又可以分为实验几何、欧氏几何、仿射几何、解析几何、拓扑几何、非欧几何等。几何的多样性带来了几何众多的教育价值。从各国的研究情况看,几何的教育价值主要表现在以下几个方面。
1.几何有利于形成科学世界观和理性精神现代社会的一个显著特征是,科学已经成为社会的一个直接的生产力。因此,学校教育的一个重要方面是让学生熟悉如何构造科学理论的一个具体实例,熟悉科学的方法。在这点上,作为世界文明史上的一个科学系统,几何是极好的模型,因为几何从简单而清楚的基础出发,运用推理的方法(以若干明显的步骤),有顺序地导出一系列重要的推断,这些推断不仅有着广泛的应用领域,而且使人在这变幻莫测的世界上体验到数学的确定性。正如爱因斯坦所说:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。推理的这种可赞叹的胜利,使人类的理智获得了取得以后成就所必需的信心。”因此,学校中的几何教学有助于学生科学世界观的形成。俄罗斯(包括东欧的一些国家)的几何课程就比较重视这一点。相比之下,西方所追求的理性精神则具有更为广泛的意义,它不仅包括方法论的成分(如科学的世界观),也包括情感方面的因素(如科学的态度)。但即便如此,几何也仍然是一个很好素材。而且,这种意义上的拓广也有利于摆脱欧氏逻辑体系和演绎推理(特别是传统三段论)的框框。
2.几何有助于培养良好的思维习惯波利亚说过,数学教育的意义并不是要教会学生去使用数学知识,而是要培养学生的思维习惯,一种数学文化修养。从这层意义上讲,几何是一种有效的训练手段。几何材料具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次。通过几何的学习可以使学生学会利用不同途径去解决问题,对几何结果形成合理的猜想,对数量结论进行快速的估计,为解决具体问题提供直观的模型,进而养成推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯。
3.几何有助于发展演绎推理和逻辑思维能力这一点,在欧氏几何两千多年的历史中已经得到了充分的肯定。正如英国学者费克尔(D.S.Fielker)所说:“欧几里德的那些定理之所以重要,不是因为它是有用的,能够应用的或它们本身的价值,而是因为他们是演绎推理系统的自然发展的一部分。”当然,对于欧氏几何在发展演绎推理和逻辑思维能力中的作用,我们还是应该辨证地看待。首先,几何在培养逻辑思维和演绎推理能力方面仍有着重要的作用,这是毫无疑问的。因为几何要求对思维进行系统的、较为严格的训练,这有利于对演绎推理有较深入的理解。当学生掌握了定义的作用并且学习只运用这些定义而不运用他的直觉知识时(这些知识常常凌驾于具有定义所呈现的性质的对象上),当他不得不谨慎地区分直觉的途径、直觉的真实性和证据与推理的方法时,他就开始理解什么是论证。正是在几何中(而不是在代数中)产生的这种直觉和形式化的十分特殊的联系,使得几何仍然成为启发逻辑思维和培养演绎推理能力的最有效的途径。也正是因为这个缘故,几何不能被当作一个完全成熟的精确模型,而应该作为一种训练工具,使学生通过训练掌握逻辑思维和演绎推理的基本方法:如发现解决问题的“好”的策略;从特殊情形探索出一般结果;寻找命题的不同证明;逐步地形成理论等等。其次,在初级阶段,几何作为一种训练逻辑思维与演绎推理的工具,有它的长处,它的内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性以及推理过程的可预见性,使它成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料。但是,从本质上来说,逻辑思维与演绎推理不能依赖于直观和直觉,因此,要使学生的逻辑思维水平达到较高层次,纯符号推理的代数证明应该引起足够的重视。此外,欧氏综合几何也不能被认为是中学中演绎方法的严谨的和逻辑的惟一模型。已有一些学者提出用逻辑学或数学的其他材料(如组合数学等)来代替几何的教育功能,但ICMI的研究表明,到目前为止,还缺乏令人信服的证据和成功的实验。而相比之下,几何材料则经历了上千年的千锤百炼。
4.几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具按照ICMI的观点,“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具,也许是数学中最直观、具体和真实的部分”。当数学的其他分支经过多次的现代处理而渐渐远离其生活源泉的时候,几何(特别是欧氏综合几何)仍保持着与现实空间的直接的丰富的联系。事实上,初等欧氏几何本身就是对现实空间质朴地加以数学化和直接应用的结果。几何中几乎所有概念都是在对物理空间的具体概念进行组织的过程中发展起来的。这种局部组织对人类的日常活动仍有重要的意义。学生在他的一生中将面对具体的对象、具体的关系、具体的变换,它们可以分别形象地表现为几何的对象、几何的关系、几何的变换。通过这种生动的类比,学生能够建立实际情况的几何模型,从而用概括化的数学方法去解决问题。
5.几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材首先,几何能够为学生的个体活动提供丰富多采的问题和练习。可以说,没有哪一门学科的练习题能像几何习题这样,从教育性和科学性两方面都经过了千锤百炼,从而形成了许多突出的优点,如几何题的综合性便于学生在研究时能够借助于观察、实验、类比、直觉和推理等多种手段;几何题的层次性使得不同能力水平的学生都能从中得到益处;几何题的启发性可以使学生建立广泛的联系,并把几何应用于更多的领域;而几何题的系统化则有利于学生长期地有计划地进行训练。其次,几何活动常常包含创造活动的各个方面,从构造猜想、表述假设、提供证明、发现特例和反例,到最后形成理论,这些过程在各种水平的几何活动中都可以被发现。许多数学家都认为,虽然古典几何作为一门学科来说已经死亡,但各种水平的几何活动仍然是创造力的取之不尽的源泉。此外,创造活动的一个重要因素就是直觉。一方面几何直觉在数学活动中常常起着关键的作用,代数的分析中出现的众多的几何术语表明:在某种意义上,几何的直觉已经渗透到一切数学领域中,甚至在那些看来几何是无所作为的领域内,几何直觉仍然保持有强盛的生命力,其原因就在于几何直觉所能启示的东西是重要的,可接近的和有趣的,并且可以警告我们不致在问题、思想和方法的广阔沙漠中迷失方向。另一方面,随着计算机的普及,几何语言(如图形、表格、图像等)已经成为日常生活中一种重要工具,从而也为几何直觉在其他领域的广泛迁移提供了条件。正因为如此,弗赖登塔尔认为:“把这种从学生在物理空间的具体活动通过抽象、绘图、作出模型的有限步骤达到几何直觉的最高阶段的道路清楚地描绘出来是有巨大的教育学方面的好处的。可以肯定的是:道路是存在的,并且几何教学的目标之一应该是按照使之成为学生数学思维的一种有效工具的道路,延长或改造原始的空间直觉”。
6.几何可以作为各种抽象数学结构的模型过去100年的数学史表明,今天的几何既是线性代数的源泉也是其应用的领域。不仅如此,许多重要的数学理论(如希尔伯特空间,拓扑学,测度论,群论,格论,微分几何和代数几何等)都可以通过几何的途径以自然的方式组织起来,或者从几何模型中抽象出来。这些理论中的每一种都有它本身的几何面貌,尽管它们中没有一种在几何面貌中是完善的。这就是为什么术语“几何的”被更多地应用于问题情景和模型而不是应用于理论的原因。通过几何的学习,一方面可以发展学生的提炼了的直觉,另一方面也能发展他们的更形式的思维方法,为进一步的数学学习,理解更为抽象的数学概念作好准备。毫无疑问,几何的这些教育价值是其立足中小学课程之根本,但同时,也正因为它有着众多的教育价值,而给几何课程目标的确定带来一定的困难。
二、制订几何课程目标的基本原则
课程目标既是确定课程内容的准则,也是选择课程方法的依据,同时也是评价和评估的基础。因此,确定几何课程的目标体系是几何课程改革的关键。在具体设计几何的课程目标时,应遵循以下几条原则。
1.几何的课程目标必须体现几何的教育价值
根据现代数学课程理论,几何课程目标的设计应考虑社会、文化、教育和数学学科几个方面的因素,并在各种因素之间寻找一个平衡点。但笔者以为,平衡不等于平均。从几何的特点来看,我们必须在兼顾其他因素的前提下有所侧重,其侧重点就是几何的教育价值。千百年来,几何课程虽历经风雨,却仍然生机勃勃的一个根本原因就在于它有着重要的教育价值,正如法国路易斯•巴斯德大学的名誉教授乔治•格莱斯尔(GeorgesGlaeser)所说:“几何的科学只有当它被看作一种教育的工具时,才呈现出它全部的重要性。”
2.几何的课程目标必须服从于总的教育目标
教育是一个系统工程,几何作为中小学教育体系中数学学科的一个分支,自然不能孤立地去考察其课程目标。一般讲,几何的课程目标涉及下面三个层次。第一个层次是所有课程都必须承担的共同的教育任务。在这方面,目前已有许多重要的论述,如国际21世纪教育委员会在报告《学习——内在的财富》中提出的教育的四个支柱:学会认知,学会做事,学会共同生活,以及学会生存。再如美国卡内基教学促进基金会前任主席厄尔斯特•波伊尔在《基础学校——一个学习化的社区大家庭》中提出了教育必须“致力于品格的塑造”的观点,以及品格的七个主要方面:“诚实、尊重、负责、同情、自律、坚韧、奉献”,并学会“有理想地生活”等。这些内容构成了公民素质中的基础部分,也体现了“以人为本”的现代教育思想。因此,它们处于目标体系的最高层次。第二个层次是数学教育在整个教育体系中所承担的特殊的任务,这些任务是由数学学科本身的特点所决定的,它们构成了公民素质中的特殊的、然而是必不可少的部分,这也是数学学科赖以生存之根本。在世界各国的教育体制中,数学和语言(包括母语和外语)通常都构成了基础教育的核心课程,但是很显然,数学和语言无论在学科性质、理论体系、学习方法及教育价值等方面都有很大的区别。数学在教育体系中的任务是帮助学生形成科学的世界观,养成良好的思维习惯,发展逻辑思维和演绎推理能力,运用数学解决问题等,这些都是语言(包括其他学科)所无法替代的。第三个层次是几何课程在数学教育中所承担的特殊任务。数学学科在选择课程内容时有三个依据:一是教育性,二是基础性,三是实用性。与数学的其他分支相比,在这三点上,几何课程有其自己的特色。首先,从教育性上,几何的突出的优势在于它有着众多的教育价值。其次,虽然就理论体系来说,传统的综合几何已经被排除在现代数学的基础之外,但却构成了另一种更为重要的、方法论意义上的基础:几何概念为抽象的数学结构提供直观的模型,几何方法在所有数学领域内都有广泛的作用,几何直觉是数学理解和问题解决的重要工具,几何的公理系统是组织科学体系的典范。此外,几何的实用性也并非表现在它的知识的直接应用上。的确,很少有学生在日后的生活中会运用勾股定理、计算三角形面积、证明两直线平行,但是,从几何中得到的空间感、几何直觉和思维习惯则能使每一个人终身受益。上述三个层次的目标不是相互分离的,而具有辨证的关系。一方面,几何的教学目标必须从属于数学的教育目标,而数学的教育目标又必须从属于基础教育阶段总的教育目标;另一方面,一般的教育目标往往也必须融入到特殊的教育目标中去,并由此得以实现,这样就形成了一个完整的、有机的目标体系。
3.几何课程目标必须有适当的区分
按照大众数学的观点,数学课程应该满足不同学生的不同需求,并使得所有人都能够从数学教育中得到最大的益处。做到这一点的关键是教育的区分化。教育的区分化通常也有三个层次:第一是大纲的区分(即课程标准上的区分),第二是教材的区分(即一纲多本),第三是教学的区分(即课堂教学中的因材施教)。我国的教学实践和国外的先进经验都表明,要想真正做到教育的区分化,就必须从课程标准上进行区分。也就是说,必须根据学生的不同需求、不同能力、不同文化传统和环境来制订不同水平的课程目标。教育区分化的另一层含义就是在制订总的课程目标的同时,还应该有阶段上的区分。也就是说,课程目标的实施不可能是一步到位的,而是一个逐步递进、不断完善的过程。
4.几何课程目标必须以兴趣为基础
数学历来被看作是一门难学难教的科目,因此,在数学教育领域内,学习的动机,特别是兴趣,是一个关键的因素。过去,人们仅仅把兴趣作为实现课程目标的条件和途径,这是不够的,兴趣还应该成为课程目标的一个组成部分。这里至少有两个理由:首先,按照人本主义心理学的观点,教育的最高目的是培养自我实现的人,而一个自我实现的人应该有广泛的兴趣。几何既然作为基础教育中的一门重要课程,那么,培养学生对几何的兴趣也应该是几何教学的一个重要任务。其次,成功的教育以兴趣为先导,但人的兴趣并不是天生的,兴趣的培养和激发既需要一定的过程,也需要一定的情景和机会。数学史中有丰富的例子可以说明,几何是数学兴趣的一个主要的激发点。
5.几何课程目标必须照顾到民族特点
每一个民族都有自己的特点,有优势也有不足,教育的任务就是要取长补短。这一点在各国的课程设计中都有所反映,如德国的几何课程特别重视创造能力的培养;俄罗斯的几何课程侧重于科学世界观的形成;日本的几何比较强调逻辑思维;美国的课程标准则更注重学生的几何活动等等。因此,我国的数学教育改革在借鉴国外先进经验的同时,同样也应该具有自己的特点;在发挥民族优势的同时,也应该注意弥补传统的不足。从这个角度看,在制订几何教学目标时,必须考虑以下两点。第一个是我们民族的刻苦好学精神和以家庭为中心的活动方式。虽然我们不再提倡“发悬梁,锥刺股”的苦行僧精神,但也不能像西方的一些做法那样,把学习蜕化为一种纯粹的娱乐活动。特别是几何这样一门学科,往往要经过严格的训练,有时这种训练甚至是枯燥的,因此需要更多的吃苦耐劳精神。多年来,我国的几何教育在国际上始终保持较高的水平就是一个很好的例证。西方个性化教育发展了学生的创造能力,但导致了基础教育水平的低下,这也是一个不争的事实。第二个是民族的弱点。日本东京学艺大学教育学部教授衫山吉茂在其名著《建立在公理方法上的中小学数学学习指导》中就特别强调几何的这种教育价值。他认为,东方人缺乏从具体事物中抽出原理的体系,进行体系化、抽象化的精神和建立假说进行演绎的思维方式,而数学思想,特别是公理化思想则能起到很好的弥补作用。如果我们认同这种观点的话,那么,毫无疑问,几何课程由于其特有的演绎风格、明确的概念结构、逻辑的理论体系而应该在这方面担负起特殊的任务。
三、几何课程目标体系的初步设想
在具体设计我国21世纪中小学几何课程目标之前,还有以下两个问题需要考虑。首先是处理方式问题。在设计几何课程目标时,目前大体上有两种风格:一种是“大纲”风格,一种是“标准”风格。前者的特点是:首先给出几何教学的能力目标,然后以知识点为线索对能力目标进行细化和落实;后者则以数学活动为线索,把知识目标和能力目标分别划分为若干个水平。应该说,两者各有长短,我们要做的就是取长补短。其次是水平划分问题。在这方面,目前比较流行的理论主要是范希尔(vanHiele)理论和SOLO理论。其中,范希尔在格式塔心理学和皮亚杰发生认识论的基础上,从整体上把几何思维分为认识、分析、序列、演绎、严密5种水平,并提出了相应的教学策略。而SOLO(StructureoftheObservedLearningOutcome)理论则进一步解释了学生个体在几何方面的理解,它首先定义了5个模式:感觉、想象、具体符号、形式、后形式,用来描述相应的思维的类型,然后再利用水平的划分对模式进行定性的分析。根据这两个理论,参考各国的先进经验,并结合上面的一些论述,笔者认为,为了更好地融合知识目标和能力目标,更准确地划分各种水平,就应该从以往的线性的目标体系,转变为立体的目标体系。为此,笔者设计了下面的三维模型(见图)。当然,模型仅仅给出了几何课程目标的基本框架,在具体操作时还必须考虑下面几个问题。
首先是目标的细化。在模型中,每个维度都有5个一级目标,由此产生125个二级子目标,而这些子目标往往又有其具体的含义,或者包含若干特殊的方面,如“图形”“表示”在“直观”水平的含义一般指对图形的各种画法(平面图、直观图、透视图等)的整体的认识;而“概念”“推理”在“演绎”水平上则体现为对概念逻辑体系的把握等等。
【关键词】:初中几何 课堂教学 教学质量
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1003-8809（2010）05-0203-01
初中七、八年级的几何，对大部份学生来说学起来都感到吃力，特别是几何中的证明与求解，很多学生表现为不知如何书写，逻辑思维混乱，条理不清；或者不知如何分析，如何入手解题等。如何提高学生的几何的书写表达能力和逻辑推理能力，让学生尽快入门，学好几何？现就这一问题，谈一谈我个人一些做法和体会。
一、重视学生的课前预习，培养学生的自主学习的好习惯，这有利于学好几何
培养学生对数学兴趣，最关键是要让学生的成绩有所提高，让学生经过一定的努力后有成就感，这样他学习数学兴趣才能持续。要提高学生的成绩，课前的预习是很关键的，课前的预习就好比是战前的准备那样重要，这对学好几何特别有帮助。
在七年级上学期我就开始要求学生要养成课前预习的好习惯，这关键要求我们教师要对学生学习方法做好引导，每学期开学初我要求每一个学生都要准备一本自学笔记簿，在预习过程中，对文中提出的问题，如文中“想一想”“试一试”等，解答在自学笔记簿上，这样有利于培养学生勤动脑、勤动手的好习惯，在上课时学生也就能勇跃参与问题的讨论，激发学生学习数学的参与性，从而又进一步激发学生再去看书。如果在预习新课时，碰到看不懂的几何证明题时，要求学生上课时要更认真听讲。在预习过程中，要求他们对书中的例题必须在自学笔记中试做一遍，新教材中的例题很有代表性，学生通过试做例题可以了解自己自学的情况，通过自已做的与书中解法的对比，可以检查自学的情况，有利自已对阅读学习的反馈和总结。思路对了，则要求学生比较书写格式；思路错了，则要求学生及时回到书本再把所学的内容精读一遍，然后总结一下做错的原因，及时纠正；解法不同的，对比哪种方法比较好，培养一题多解开拓自已的思路。
二、鼓励学生敢于动手，勤于动手，培养学生的学好几何的自信心
学习几何开始时，学生总是感觉听得懂但是一做起来就不知如何入手。我觉得学生刚开始有这种现象是很正常的，但这时我们老师要做好引导，尽快改变学生畏难情绪，注重学生对学好几何的信心培养，多鼓励学生敢于动手，勤于动手，去分析、探索。告诉学生即使是老师，拿到一道题目，同样要先分析，研究找到正确的思路后才能讲授。这样多鼓励学生，改变学生对几何的初使错误的认识，让他们相信自已是可以学好几何的。
新课程改革注重学生学习的方式的改变，注重知识形成过程，教科书每一节都渗透这一课改理念，几乎每一节课的编排都有“试一试”或“做一做”。我们可以充分利用好它，培养学生对几何兴趣。课堂上让学生多动手，试一试，做一做，画一画，写一写，这对学生学好几何很有好处，有利于激发学生学习数学兴趣和信心。比如，在讲正方体展开图时，如果只是把正方体的展开图都画出来，学生不容易想象出来，同时不易接受，就是记住了印象也不深，容易忘。如果让学生自己动手把准备好的正方体纸盒用不同种方法去剪，看一看能剪出多少种不同的正方体展开图，再与书本所罗列的正方体展开图对比，这样学生一定会热情较高地积极参与，学生对此印象深刻。学生动手的过程是体会知识形成的过程，让学生在学习过程中体会到成就感和快乐，这对学生学好几何的信心将会有很大的帮助。
要让学生多动手，勤动手，我们教师也要多动手。要上好几何课，我们老师在课前做一些教具是很有必要的，这有利于我们把知识点讲清楚；加强学生对课堂教学的观注力；有了教具，使图形变得更形象和直观，学生通过观察，有利加深对知识的理解。
三、加强对几何教学强化文字语言、图形语言、符号语言的互译训练，引导学生步入推理论证之门
几何的证明是用“”和“”这种形式的符号语言进行推理论证的。为了让学生掌握符号语言，顺利步入推理论证大门，在概念、图形特征与识别的教学中要多采用文字语言、图形语言和符号语言的互译训练。这种训练虽然简单，但能促使学生用符号语言或图形语言去认识概念，图形特征与识别，能使学生逐步学会文、图、式的互译，提高学生使用符号语言思维、表述的能力，为学生顺利步入推理之门打实基础。平面几何的入门阶段学生能进行一、二步推理，就很不错了，学生独立论证的能力，不必急于求成要求过高，但是对特征与识别的文、图、式表示是必须要条条理清。如讲解平行四边形的第一个特征，通过学生动手、观察、分析得到结论，平行四边形的对边相等，对角相等。我们可以通过提问来开展和引导：本结论前提是什么四边形？应如何画？（让学生动手画，互相检查对错）在你画的图形中写上四个顶点的字母（A、B、C、D），指出两组对边是什么？（AB与CD，AD与BC）对边相等应如何表示？（AB=CD，AD=BC）对角如何呢？（∠A=∠C，∠B=∠D）这样文字语言、图形语言、符号语言的互译的一步一步的引导，学生步骤能用几何语言表达几何意义，对几何推理的基本训练起到很重要的作用。
四、恰当地选准多媒体的运用与数学课堂教学的最佳结合点
（1）导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，在课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们思绪带进特定的学习情境中，激发起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对一堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。运用电教媒体导入新课，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，使学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。
（2）由于多媒体形象具体，动静结合，声色兼备，所以恰当地加以运用，可以变抽象为具体，调动学生各种感官协同作用，解决教师难以讲清，学生难以听懂的内容，从而有效地实现精讲，突出重点，突破难点，取得传统教学方法无法比拟的教学效果。
关键词:数学史;教育价值;教育功能;数学教学
在新一轮中学数学课程改革中,数学史首先被看作理解数学的一种途径,要通过数学史的学习使学生体会数学对人类文明发展的作用,提高学生的学习兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用,对于引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,对于激发学生学习数学的兴趣,培养探索精神,对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值,都有重要意义。高师院校是培养中学优秀教师的摇篮,在高师院校的数学教学中更应该注重将传统的课程内容与数学史有机地结合起来,用历史上出现过的原始数学问题来引入教学的课题,并且运用古人的朴素想法来解决一些相对简单的问题,从而揭示了抽象的数学概念与方法所包含的丰富内涵。
一、数学史教学的教育功能
(一)学习数学史可以帮助学生认识数学、形成正确的数学观
学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科,学习数学就要使学生“初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明发展的作用”,而现阶段大学本科学生对数学的看法还大都停留在感性的层面上─枯燥、难学。数学的本质特征是什么?当今数学究竟发展到了哪个阶段?在科学中的地位如何?与其他学科有什么联系?这些问题大都不被学生全面了解,而从数学史中可以找到这些问题的答案。
日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出,人类历史上有四个数学高峰:第一个是古希腊的演绎数学时期,它代表了作为科学形态的数学的诞生,是人类“理性思维”的第一个重大胜利;第二个是牛顿―莱布尼兹的微积分时期,它为了满足工业革命的需要而产生,在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功;第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期;第四个是以计算机技术为标志的新数学时期,我们现在就处在这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可度量,17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论,它同前三个高峰有着惊人的密切联系,这种联系绝不是偶然,它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生可以从这种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密,不允许有任何杂乱,不允许有任何含糊,这时候学生就很容易认识到数学的三大基本特征─抽象性、严谨性和广泛应用性了。
同时,介绍必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景产生更加深入的理解,认识到数学绝不是孤立的,它与其他很多学科都关系密切,甚至是很多学科的基础和生长点,对人类文明的发展起着巨大的作用。从数学史上看,数学和天文学一直都关系密切,海王星的发现过程就是一个很好的例子;它与物理学也密不可分,牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期,数学(不仅仅是自然科学)逐步进入社会科学领域,发挥着意想不到的作用,可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持,数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于高师院校的本科生来说是很有必要,也是必不可少的。
(二)学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式
现行的数学专业课教材一般都是经过反复推敲的,语言十分精练简洁。为了保持知识的系统性,把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排,缺乏自然的思维方式,对数学知识的内涵,以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识,但很容易使学生产生数学知识就是先有定义,接着总结出性质、定理,然后用来解决问题的错误观点。所以,在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾:一方面,教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识,将知识系统化;另一方面,系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善,一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。
数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史,让学生在学习系统的数学知识的同时,对数学知识的产生过程,有一个比较清晰的认识,从而培养学生正确的数学思维方式。这样的例子很多,比如说微积分的产生:传统的欧式几何的演绎体系是产生不了微积分的,它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法”、“求抛物线弓形面积”等思想的启发下为了满足第一次工业革命的需要创造得到的,产生的初期对“无穷小”的定义比较含糊,也不像我们现在看到的这样严密,在数学家们的不断补充、完善下,经过几十年才逐步成熟起来的。
数学史的学习可以引导学生形成一种探索与研究的习惯,去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中,真正创造了些什么,哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步。对这种创造过程的了解,可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程,有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识,了解数学知识的现实来源和应用,而不是单纯地接受教师传授的知识,从而可以在这种不断学习,不断探索,不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。
(三)学习数学史为德育教育提供了舞台
德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了,数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能,我们从以下几个方面来探讨一下。首先,学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。现行的数学教材讲的大都是外国的数学成就,对我国在数学史上的贡献提得很少,其实中国数学有着光辉的传统,有刘徽、祖冲之、祖、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家,有中国剩余定理、祖公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就,对其中很多问题的研究也比国外早很多年。然而,现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上,从明代以后中国数学逐渐落后于西方,20世纪初,中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新时代的要求下,除了增强学生的民族自豪感之外,还应该培养学生的“国际意识”,让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长,说人之短”上,在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高,我们要尊重外国的数学成就,虚心的学习,“洋为中用”。
其次,学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的,无理数的发现,非欧几何的创立,微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威,或是坚持不懈、努力追求,很多人甚至付出毕生的精力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中,为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明,晚年视力极差最终双目失明,但他仍以坚强的毅力继续研究,他的论文多而且长,以致在他去世之后的10年内,他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说,介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事,对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。
最后,学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的,无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质,数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理(勾股定理)是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理,有着极为广泛的应用。两千多年来,它激起了无数人对数学的兴趣,意大利著名画家达•芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。1940年,美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明,充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力,早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究,近代以来人们又惊讶地发现,它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时,在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时,可以形成对数学良好的情感体验,数学素养和审美素质也得到了提高,这是德育教育一个新的突破口。
二、把数学史看作理解数学的一种途径
(一)了解数学理论发展的历史背景,加深理解数学理论、公式、定理和数学思维
一般说来,历史不仅可以给出一种确定的数学知识,还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解,可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程,而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝,同时也相对地失去了生气与天然性、已经被标本化了的数学。从这个意义上说,历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛,而不是单纯地传授知识。它既可以激发学生对数学的兴趣,培养他们的探索精神,而历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。
写在书本上的数学公式、定理、理论都是前人苦心钻研经过无数次的探索、挫折和失败才形成的,是在当时社会生产、人们的哲学思想、数学家的独创精神联系在一起的活生生的数学。但是,我们从书本的条文上,已看不到数学成长、发展的生动的一面,而只看到数学的浓缩的形式,这就妨碍我们对这些数学理论的深刻理解。
(二)数学史与师范院校本科数学教育的内容的整合
数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神等。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观。为此,数学专业课程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求,同时设立“数学史选讲”等专题,让数学史与师范院校的数学专业课程教育有机整合。下面结合本人在师范院校几何专业课程的教学经历,浅谈一下数学史的内容如何融入到实践教学中去。
1.欧氏几何:欧氏几何在全部几何学中占有最基础的地位。如果不对欧氏几何有一个整体的理解,则不仅不可能理解后来的各种几何学的由来与发展,而且也难以从根本上把握中学几何教学中的基本问题。许多在传统“高等几何”课中所讲的内容其实都可以先在欧式平面上讨论,使学生有一个印象,在此基础上再进行逐步抽象与推广。这样做比较符合历史发展的顺序和学生学习新知识的规律。先详细地介绍欧几里得《几何原本》第一卷中的所有命题,这是学习和理解公里体系的最好材料,从中可以知道什么是不定义术语、定义、公理、定理以及证明所需要的论据。这样学生对中学教材就有了更深层的了解。另外,通过仔细讲解第一卷,还为后面讲第五公设的试证做好了准备。接下来让学生熟悉有关圆、相似三角形以及能够反映欧氏几何本身进一步发展的定理和它们的证明。由此引出一系列结论,如巴普斯定理和关于圆内接六边形的帕斯卡定理、共线四点的交比、调和点列与调和线束及其对圆的应用、圆的极点与极线、圆的外切六边形的布里安桑定理等。
2.平面射影几何:历史上,射影几何的深刻思想曾经极大地拓展了人们的视野。如同在代数中引入至关重要的“i”一样,数学家们通过引入虚无缥缈的无穷远点,把古典的欧氏几何发展成了一个十分完美而且比较抽象的几何理论。初步学习这个理论,有助于使学生在一个新的高度上重新认识欧氏几何。
从文艺复兴时期的画家们得到的绘画透视几何原理引出中心投影及其不变性质和不变量的概念(例如交比在中心投影下不变)。然后介绍笛沙格和帕斯卡等人用中心投影的方法从圆的性质推出许多关于圆锥曲线的性质(例如关于切线的许多定理和帕斯卡定理等),这实际上是通过中心投影这样一个简单的概念将圆与圆锥曲线统一起来了。
更为惊人的想法是无穷远点概念的引入。笛沙格用这个想法统一了圆锥曲线的直径和极线这两个在希腊人看来是截然不同的概念。开普勒将抛物线看成是一个焦点是无穷远点的椭圆。通过引进无穷远点,就得到与欧式平面完全不同的射影平面。近代的几何学家还系统地发展了“将给定直线投影到无穷远”的几何证明方法,用这种独特的方法可以很容易地证明关于圆锥曲线的笛沙格定理、帕斯卡定理和布里安桑定理等几何命题。
3.球面几何:弯曲空间是现代科学中的一个基本的几何概念。传授这方面知识的最好途径是利用球面这样一个简单的曲面。生活在地球上的人类很早就开始了对于球面的研究。除了它的实用价值,球面几何对于产生非欧几何的想法也有明显的启发作用:它使学生首先认识到直线可以弯曲,三角形的内角和并不总是等于180度等。
4.双曲非欧几何:这部分将沿着历史发展的顺序,从古老而不朽的《几何原本》第一卷出发,像历史上的许多数学家一样试证著名的第五公设,逐步进入双曲非欧几何这样一个完全是由人们想象出来的几何新天地,使学生透彻地理解几何学的本质和数学中的公理化方法。
参考文献:
[1]张奠宙,李士,李俊.数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003.
平面几何入门教学,它所包含的内容,一般是指直线、射线、线段、角、相交线和平行线等基本概念的教学。在这些内容的学习中,学生会遇到哪些困难呢?
首先,平面几何把学生从数、式的学习领进了一个以图形研究为主的领域。学生在开始学习时,对这个转变很不适应。其次,小学对一些简单图形性质的认识,仅限于面积和体积的计算。而平面几何的学习必须通过直观的图形,依据条件和已学过的有关定义、定理、公理,采用恰当的逻辑推理得到结论。学生对这种思维方式的改变不适应。再次,平面几何入门阶段基础知识多,概念集中,这些概念又与存在于学生头脑中的认识不完全相同。在教学中,教师要如何引导学生越过学习的门坎呢?
1.培养学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师,在入门时就应该十分重视采取各种有效措施,激发学生对平面几何的兴趣。那么,如何培养学生的学习兴趣呢?
1.1从实际出发确定恰当的教学要求。
降低坡度,分散难点,使学生每节课学习都要有所得。这是一种比较有效的方法。推理论证训练也必须由浅入深,由易到难,一步步地进行。刚开始时教师要耐心引导,学生以模仿为主,不能急于求成。
1.2让学生动手实验,培养学习平面几何的兴趣。
教师要把入门教学过程变成学生自己动手操作,发现规律的过程。这样,学生可以感受到发现的快乐,从而激发学习兴趣。教师可以选编一些学生熟悉的几何图形给学生操作,增加实感。告诉学生,几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的,但是这种研究不能凭视觉判断,因为这样做有时会发生错误。
当然,在不失严密性的前提下,给概念赋予一定的趣味性,也是符合学生心理特点的。同时,教师还要利用教学中反馈的信息,及时帮助学生解决学习中的问题。教学中对学生所下的评语,无论是作业还是课堂评价,多一些鼓励少一些批评,使学生乐学、要学、会学。
2.抓好学生的几何语言教学
在课本中是以较为抽象的数学语言来讲述众多的几何概念的。任何一个几何概念的给出,都涉及一定的几何语言,几何语言包括文字语言、符号语言和图形语言。学好几何语言是学好几何的前提和基础,所以一定要过语言关。
2.1重视文字语言的教学。
语言中的某个字、词都有其特殊的意义。初一的学生,逻辑思维能力和分析能力都比较差,因此在教学中,有必要对文字语言进行咬文嚼字地分析、诠译。教师要抓住语言中的关键字词,帮助学生理解,分析定义中各词的关系,找出中心词,让学生分清每一个概念是由哪个中心词定义的。同时要联系实际去理解概念。
2.2重视图形语言的教学。
一个几何概念,既有它相应的几何语言,也有相应的图形。图形也能像语言一样给我们传递信息,只是文字语言与图形语言形式不同,本质是一样的。在教学中,图形语言往往要比文字语言形象得多,生动得多。
2.3重视符号语言的教学。
有时,为了叙述某个概念的某些关系,往往要把文字语言转化为符号语言,特别是以后的做题更为需要。例如:相等的符号“=”;垂直的符号“”;平行的符号“∥”;角的符号“∠”。教学时,为了使学生熟炼地掌握这些符号语言,并能灵活运用,需要反复练习。
2.4重视三种语言的互译。
在几何教学中,不仅要使学生掌握几何的三种语言,而且要使学生学会这三种语言的互译,它们是联合的统一体。一个几何概念,一般以文字语言来叙述,使用时要转化为符号语言,以便叙述,同时还要用图形表示,展示其直观性。
几何语言训练是学习平面几何开始就会遇到的问题。在教学时,教师应先给学生一个固定的模式,让学生习惯这种几何语言的运用和叙述。让学生边实践边学习,养成规范的几何语言的叙述、表示和画图。功夫不负有心人,只要能花上一点力气,经过一段时间的训练后,学生就会准确使用几何语言,将为以后学习几何打下良好的基础。
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