一、什么是数学开放题
数学开放题，其实就是开放性的数学问题，开放性问题最大的特点就是答案不唯一，促使学生发散思维，多方面的思考问题。因为初中生对于数学知识的学习相对较少，深度也相对较浅，所以初中数学开放题还是有一定的限制的，初中数学开放题一般是这样定义的：问题的条件设置不完整，或者是其可以得出多种的结论，即结论具有不确定性，需要学生运用所学的知识，进行观察、分析、猜想，从而能够完善问题条件或得出确定的结论。
二、数学开放题的特点
数学开放题作为应国家素质教育而生的产物，其对学生对于知识运用的熟练程度和学生思维能力的要求很高。数学开放题具有新颖性、多样性、发散性等特点。特别是多样性，数学开放题存在着由易到难的各种各样的题目，其可以考察的知识点也很多，像是函数、几何、方程等，这些都是可以设计数学开放题的知识点内容。简单的函数方面的数学开放题：写出一个图像经过点（-1，1）的函数关系式。这道问题看似简单，但是其以小见大，考察了学生关于函数知识的问题，这个题目学生的答案可以是一次函数、二次函数或是反比例函数等。
三、把握数学开放题的常见类型
由于初中生对于数学学习的知识面还不够宽泛，深度也相对较浅，分析其特点，初中数学开放题大都分为两类，一类是条件不完整的条件开放类，另一类是结论不具确定性、唯一性的结论开放类。
条件开放类，条件开放类的数学开放题在出题时，往往会给出确定的结论和不完整的条件，此类题目需要学生分析可以得出此结论的条件，但是此条件还要受到其他已给出的条件的限制。此类问题要求学生具有逆向思维的能力，善于探索。如在多项式1+4x2中添加一个单项式，使这个多项式成为一个完全平方式。这个题目就是典型的条件开放类的数学开放题。
结论开放类，结论开放类的数学开放题在出题时，会让学生根据已给出的条件，写出符合条件的结论，通常这个结论都是不确定的、不唯一的，学生给出的答案也是多种多样的。此类问题考察的是学生对于知识掌握的熟练程度和其发散性的思维能力，像上文有关函数的数学开放题，就是一道结论开放类的数学开放题。
四、数学开放题的教学方法
针对数学开放题新颖性的特点，我们要从数学开放题的基本出发，使学生认识、了解此类题目，把握此类题目的解题规律。教师在教学过程中，要首先为学生分析此类题目，使学生充分认识、了解此类新的题型，才能在以后的教学中培养学生的思维能力，提升初中数学开放题的解题技巧。
数学开放题涉及知识点的范围较广，综合性较强。教师在教学过程中，要注意锻炼学生对于知识点的熟练运用，但是，对于单一知识点的掌握是不能满足数学开放题的解决条件。综合性知识的掌握和运用，才能满足数学开放题解决的基本条件，在满足这一条件的基础上，分析题目，对涉及的知识归纳简化，然后再进行探索证明，从而为解决数学开放题奠定基础。
数学开放题还具有发散性的特点，针对这一特点，教师就要注意在日常的教学训练、培养学生多方面思考的习惯和能力，才能适应和习惯数学开放题，提升自身对于初中数学开放题的解题技巧。例如，上文所提到的“在多项式1+4x2中添加一个单项式，使这个多项式成为一个完全平方式。”这个题目考察的是完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2，所添加的单项式可以是多项式中的首项、中间项或是末项，学生可以根据平方式公式的中间项2ab来直接判断，从而得出结论。
五、数学开放题的解题技巧
对于条件开放类的数学开放题，像上文所述，此类题目一般都是给定结论，通过结论来让学生探索应给与的条件。此类题目通常都是从结论出发，逆袭思考问题，假设、猜测出条件，得出条件后一定要对题目中的结论进行验证，验证所假设的条件是否正确。此类题目通常简单，但“陷阱”较多，学生做此类题目时一定要仔细，切不可因为题目的简单而掉以轻心，把应得的分丢掉。
对于结论开放类的数学开放题，由于条件都已给出，学生可根据常规题目的做法，由给出的条件开始探究，逐步得出结论，由于结论通常都是不确定的、不唯一的，探究过程中必然存在假设，所以在得出最后结论时，一定要再次从条件开始验证，保证结论符合条件。
解题方法多样的数学开放题，此类数学开放题的思考方式和解题方法是多样的，也就是通常所说的“一题多解”，对于此类题目，切忌以课本内容生搬硬套，学生在解题时要注意灵活性，要积极思考，敢于大胆创新。
类别类的数学开放题，此类数学开放题通常需要根据已给的结论得出新的所需的结论。这类题目还是出现过的，比如，“已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。此时，若点P是AB上的点，此时h1=0，可得结论h1+h2+h3 =h。利用这一结论，试着解决：当点P在ABC内，点P在ABC外两种情况时，结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，那么h1、h2、h3 与h的关系又如何呢？（不需证明）。”
再一类就是归纳型的数学开放题，这类题目要根据已有的规律探讨最终的结论。这类题目多运用的是数学数列知识，这一知识点为高中所需要学习的知识内容，教师可根据班级学生的具体情况进行讲解。
上述几类是特殊数学开放题中已出现过的问题，但是初中数学开放题绝不是只有这几种，具体的题目还需教师根据实际情况分析，本文就不再多做介绍了。
六、数学开放题的价值和意义
数学开放题新颖性、多样性和发散性的特点，对培养、提高学生的发散性思考和思维能力有很大的帮助，其应教育改革而生，对提高学生素质，培养学生能力也具有一定的实际意义。数学开放题运用的知识点范围广，可以促进学生对于知识点的熟练掌握，锻炼学生在解决具体题目时对所学知识内容的归纳简化，同时也可以让学生接触到更高层次的数学知识内容，对学生以后的数学学习奠定一定的基础。
教师也可以在数学开放题的教学过程中，提高自己的教学水平，丰富自身的教学经验，使得教师和学生共同成长、进步。
参考文献：
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关键词：初中数学 二次函数 教学理念
一、前言
在日常生活和学习中，数学思想的运用是非常广泛的，例如，在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，尤其是二次函数的内容社会生活各个方面有着非常重要的地位。由于新课标将二次函数划为初中学习阶段的基础内容之一，加上二次函数与高中阶段的二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，所以初中阶段学好二次函数对高中的学习以及各种其他学科的学习都有着极其重要的作用。
二、初中二次函数的教学理念与策略
1.理解二次函数的概念，学会由方程到函数的转变
在初中数学的日常教学中，二次函数概念在整个初中数学的教学中所具有的至关重要的作用。初中数学教师应加强在日常数学教学中渗透二次函数的概念，例如：设圆的半径为R面积为A，要求写出正方形面积的函数表达式。在二次函数教学中，教师可以从这个具体的实例中去阐述“形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数”这样的一个概念，让学生在具体实例中去理解二次函数的概念，在此过程中教师还应该对函数的定义域给出明确的解释，让学生明白给出任意x的值就能得到任意y的值，说明y是x的二次函数。另外，教学中教师要让学生明白这样一个等式不仅仅一个方程式，同时是两个未知数的一种变化关系，即用含一个未知数的式子表示另一个未知数，前面的未知数叫做自变量，后面的未知数就是前者的函数，两者之间是一种函数关系。让学生做到由方程式向函数概念的转变。
2.利用数形结合方法，培养学生的观察能力
利用函数图像学习函数的性质是学习函数的主要手段之一，它直接影响到学生对函数概念与性质的理解和掌握，在二次函数的教学中，教师要充分利用图像的直观性，培养学生的观察力。要使学生养成每遇到一个二次函数，都应根据条件画出它的草图，再仔细观察它在平面直角坐标系中的形状和位置这样的学习习惯。例如：在教授任意一个形如y=ax2+bx=c（a≠0）的函数时，根据已知条件要求学生画出该函数的图形，对图形的开口方向、顶点位置和坐标、图像的对称轴等等问题有所了解，为具体问题的解答做好铺垫。锻炼学生的观察能力，使学生能够从复杂的图形或关系中抓住主要特征，并能根据考察目的不同而选择适当的观察角度，以达到解决问题的目的。
3.运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力
心理学及生理学的研究表明，初中阶段是人的逻辑思维能力发展的关键时期，由于数学的函数思想又是逻辑思维方式中较常用的思维方式，因而在初中数学中函数教学对学生的逻辑思维发展有重要的作用。但是，因为函数是比较抽象的知识，教学中仅仅靠教师的口头讲解和板书，不仅让学生没有直观的感受，久而久之还会使得学生产生厌恶的情绪。在初中数学教学中引入多媒体等方式可以增强学生学习的兴趣，在函数的教学中，多媒体技术的运用有着增加课堂的容量，提高课堂效率的优点，因为精心制作的PPT能达到图、文、声、像并茂，突破传统教学信息表现单一的局限，由式想图，由图议式，能对函数的教学达到更好的效果。
三、初中二次函数教学的注意事项
1.课堂教学方法的多样性
数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展起来的创造性思维能力，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程，数学探索能力的培养主要是体现在课题学习中。所以教学方法的运用就显得格外重要。通过培养其发散思维使学生更好的领会函数中所包涵的数学思想，从而达到发展学生创造性思维的目的。
2.教学中注意函数与其它内容的有效区分
数学学习不仅要使学生在数学基础知识、基本技能、思维能力、运算能力、空间想象能力等方面得到训练和提高，还应使学生学会提出问题并明确探究方向，让学生能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题。由于中学数学课程的内容之间具有密切联系，如何区分函数与其它相似内容成为教师的主要任务。例如：二次函数和一元二次方程式，二次函数与一次函数、反比例函数的区别和联系，通过各种例题的讲解和学习让学生能有效的归纳出：一次函数的未知数x的最高次数为1，二次函数的未知数x的最高次数为2，反比例函数实际就是常数项为0的x的-1次式，即函数的名称与未知数x的次数有联系这样的结论。这样能让学生对的函数认知发生了根本的变化，同时也加深了对二次函数的理解。
3.激发学生兴趣，提高学习效率
厌学是长期困扰教育界的一个问题，也是目前中学生普遍存在的现象，尤其是在数学学科的学习中尤为突出，这给数学学科的教学带来了巨大的困难，正所谓兴趣事最好的老师，激发学生的学习兴趣是提高学习效率的有效方法。在初中函数教学中，教师可采用多媒体教学手段结合分层教学方法来对函数中基本概念进行理解和学习；采用理论结合实际的方法，在备课过程中将数学问题变为实际生活中的问题，将函数与具体情境相结合等办法对一些较难理解的解题方法加以阐述；同时在课后适当的根据作业难度，培养学生的学习动机，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。以此来提高学生对于知识的理解和巩固，提高学习效率。
参考文献：
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所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1．中学生思维能力之特点
我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。
首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。
2．学习数学的几种思维形式
（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。
（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。
（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。
1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。
2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。
3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）
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4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。
另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。
首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。
其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间纵横交错的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变化关系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变，提高学生灵活运用知识的能力。
关键词：初中数学；探索性教学；主动学习
初中阶段的数学学习应当培养起学生良好的探索能力和创造精神。探索性教学是学生围绕某个问题自主探究、解答的学习过程，培养学生的自主动手能力与时间能力，并提高学生合作、团结的意识，树立科学精神。探索性教学具有新颖性、创造性与探索性的特征，在初中数学教学中的应用将产生重要作用。
1.初中数学探究性教学的理论基础
从古至今，存在着许多教学模式，其在相应的教学思想、教学理论和学习理论指导下，在一定的教学环境与教学资源的支持下，教学活动各要素之间稳定关系和活动进程的结构。其中教学要素是指理论基础、教学思想及目标、学科特点、教学环境、教师、学生与一些教学活动，教学模式是这些要素相互配合的产物。而探究性教学是被实践证明的一种科学的教学模式，是符合国家与时展需求的，其理论基础是“创设情境-数学实验-观察分析-猜想结论-推理论证-拓展应用”，基本思想是现代教学观、数学教学观和建构主义数学理论。
建构主义是探究性教学的主要思想，其理论认为学习者通过一定的情境、他人的帮助及主动查找资料等方式，而不是被动接受教师的传授，主动学习、探究知识，学生是学习的主体，学生要成为主动建构者应该做到几点：第一，用探索法、发现法去构建知识；第二，主动搜集信息、资料，对问题提出假设并论证；第三，把学习内容与实践相联系。
2.初中数学探究性教学的模式构建
2.1 探究性情景创设
创设情境是探究性教学的第一步，根据教学目标、内容和学生特点创设相应的教学情境，激发学生的学习热情和兴趣，培养学生的思维能力、创新能力、自主学习能力。创设的情境分为三大类：一是物质性情境，包括自然物质、人造物质等物品；二是多媒体情境，通过网络、影视、PPT等资料，如爱迪生的成长资料，鼓励学生努力学习，养成主动问问题、自主学习的习惯，形成榜样力量。三是现场情境，让学生身临其境体验数学学习，例如教师带领学生外出实践，了解数学的重要性。四是模拟角色情境，让学生扮演不同的角色，体验角色。五是问题性情境，提出有趣问题，引导学生不断思考，激发好奇心与求知欲。创设情境的方法多种多样：一是生活情境，数学来源于生活，两者密切相关，因此，初中数学课堂上引入生活实际，吸引学生的眼球，增加兴趣，并认识到在以后的生活中都离不开数学，应该认真学习数学知识。在日常生活中观察与数学有关的实践。例如家里装修需要多少块瓷砖，需要用到有关面积的知识。二是故事情境，初中生处于青春期，定性不足，喜爱听故事，因此，在数学教学中利用故事情境，增加吸引力。三是操作情境，实践操作让学生打开思维，手脑结合运用所学知识，解决问题，例如在讲解平面折叠等有关问题时，直面的讲解效果不大，让学生自己动手制作模型，在动手操作过程中找到答案，再加上老师的解释，使学生对知识的把握更加牢靠，降低了教学的枯燥性。四是悬念情境，把学生引入一种新的思维中，深入探索知识。
2.2 教学实验开展
教学实验是让学生结合知识动手实验，建立合理的数学模型，从实验中得到结论。教学实验是以学生为主导，结合相关仪器、软件。探索性教学实验的开展包括条件探索、结论探索、存在性探索。条件探索是指依据结论探索命题应该具备的条件。这类问题的答案不唯一，只要能使结论成立就可以。例如在学习几何时，经常遇到等腰梯形的成立条件，老师可以画出模型，让学生应用尺子、量角器等仪器测量，或是应用计算机建立模型，然后得到结论。结论探索是指由给定的条件得出结论，这类问题需要我们大胆猜想，发现规律，得出结论。结论探索可以根据我们的经验，结合相类似的问题，得出结论，然后论证。存在性探索，是指“是否存在”这类问题，可以先假设存在，根据假设的结论推出命题中的条件，如果与已知条件矛盾，那么假设不成立，反之成立。也可以举出一个反例。
2.3 探索性结论总结
我们可以从上文看出探索性教学与传统教学不同，不再是教师在上面讲，学生在下面听，教师把所有相关知识一股脑的传递给学生，而是要求学生自主探索知识，寻找答案，解决问题，旨在提高学生的自主学习能力、动手实践能力与创新能力。探索性教学对老师提出了新的挑战，对教师的综合素质有更高的要求。第一，对教师的文化底蕴和知识水平有更高的要求。学生在探索问题时，可能遇到各种千奇百怪的问题，有的是跨学科的，有的可能与本问题无关，由学生联想的，总之教师要给学生的问题解答，教师可能之前没有关注过，也可能不在其专业范围内，因此，教师要不断的更新知识，注入新鲜血液，充实自己。第二，教师要引导学生团结协作精神。众人的智慧结合起来可以爆发无穷的力量，个人无法解决的问题，如果大家一起合作配合就可能得出答案。正如现在的企业，没有一个企业是单独一个人成立部门的，每一个部门都有不容的人员配备，负责不同的工作，共同完成目标。因此教师应该引导学生树立合作意识，相互讨论，相互帮助，共同解疑答惑。第三为教师的发扎提供了新的机遇，不是指职称的升高，工资的增加，而是指可以培养教师的创造能力。教师在迎接挑战时应该关注探究性教学的主题、信息的收集分析、科学的探究方法以及探究过程，使探究性教学取得预期的效果，提高学生的创新能力、思维能力和自我动手实践的能力。
3.总结
探究性教学是一种科学的教学模式，数学是一门严谨的、科学的学科，探究性教学在初中数学中的应用，有助于学生树立科学的意识，形成严谨的态度，并在提高学生的知识水平、培养学生的逻辑思维能力、创新意识、主动学习思考和团结协作精神、适应时代要求等方面有重要的意义。探究性教学在初中数学中的应用，在实际应用过程中，应遵循探究性教学的六大步骤，尤其是创设情境、教学实验方面。探究性教学对教师提出了更高的要求，不仅要不断提升自身的综合素质，还要引导学生不断独立思考、自主探索，提高学生的学习自信心与热情，活跃课堂气氛，提高学生学习兴趣，教师还要结合学生的特征、对问题的理解程度，总结教学经验，不能流于形式，提出自己的一套探究性教学模式。
参考文献
[1] 汪海滨.探究性教学在初中数学中的应用[J].吉林省教育学院学报（中学教研版）.2010，26（4）：15-16.
关键词：高等代数；数形互动；线性方程
中图分类号：G640 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0080-01
一、纵关
线性方程组理论对高等代数来说尤为重要和不可或缺，通过与初等代数的加减消元法相比较，对线性方程组矩阵解法、一般性数域上的多元线性方程组解的判断及对解的结构的研究、讨论了线性方程组解在几何上的意义，解决了关于线性方程组中初等代数没有能够解决的诸多问题，表现出高等代数解决问题的成熟性规范。
科学技术领域和工程中的很问题都是通过对非线性方程组的求解来解决。因此，对非线性方程组的求解是科学研究和工程建设中不可避开的问题。学术界的许多专家，多年来对于高等代数中非线性方程组的求解问题做了很多研究。例如我们常听到的牛顿法、迭代法、共轨方向法、梯度法等，就是为求解非线性方程组而提出来的。但是这些方法无一例外的是针对一些具有特殊性质的非线性方程组求解，对于那些缺少特殊性质的复杂方程组并不能顺利求解。
进化计算技术的兴起，和在和优化问题上的广泛应用，引起了学术界的普遍关注。特别用粒子群优化算法求解非线性方程组成了学术界思考所在。粒子群优化算法极少的参数设置、极快的收敛速度，极强的使用性，成了学术界不可抵制的“诱惑”。各种利用粒子群优化算法求解非线性方程组的方法纷纷被提了出来，非线性方程组的求解迎来了另一个春天。差异算法的稳健性让人吃惊，无论是求解多峰函数、非凸函数还是非线性函数的优化问题都游刃有余，而且对同样的精度要求，差异算法收敛的速度十分惊人，并在解决函数的优化问题上，迅速“流行”，而在各种解决方案中也颇受欢迎。学术界利用差异演化的算法在非线性方程组的通用模型上演算，然后将演算结果与粒子群优化算法同等条件下的演算结果进行对比，发现两者并无误差，这为差异演化的算法的广泛应用提供了坚强的后盾。
二、横联
“数”“形”互动完美的形容了高等代数和解析几何的关系，可以说这两门学科是互相依存的，“你在，故我在”，离开其中的一门，单纯谈论另一门，是十分空洞的。高等代数高度抽象性的概念与高度概括性的定理，对于许多初学者来说显得十分飘渺虚无，看不到，又摸不着。高等代数的这些特点使其成为一门让人“望而生畏”的学科。初学者在学习高等代数的时候往往感觉十分抽象，面对各种习题往往无从下手。特别是线性代数作为高等数学与解析几何的桥梁，将两者紧密相连，相互依赖，使高等代数的理论延伸到了解析几何，高等代数成了“无边无尽”的学科。解析几何将高等代数中向量空间与欧式空间的理论应用于二维空间、三维空间当中，其本质其实就是二维或者三维的线性代数。所以很多高校老师都会面对这么一个问题，究竟采用何种方法可以通过某些几何的具体实例来进行高数与解析几何之间的数形互动，能够让学生通过几何模型“看得见”代数概念，同时代数的理论、概念也能简化我们对几何的研究，这对学生来说是很有帮助的。对于很多初学者来说，高数抽象的概念是令人难于理解的，对原理、定理更加难以推导和应用。几何实例适时适当的应用于高等数学是至关重要的，就像将本来虚无缥缈的东西变得可见了，使抽象的东西变得不再抽象了，这对初学者是十分重要的。不仅如此，还能更好的体验和掌握一般的代数理论，并用之于解析几何。
很多初学者都在避谈“建模”的抽象，尽量以图形作为分析的手段。但是，无论我们是否承认，传统学习方法中很多方法对于我们来说还是十分受用的。数学模型和数学概念就像一对双胞胎，没有谁好谁差之分，都是科学研究中十分重要的方法。逻辑思维与形象思维既对立又相互联系，都是从低到高逐渐发展。简单的说逻辑思维就是物质的本质，通过分析、对比、剥离、综合、简化分析概念，在此基础上，利用概念对新的问题进行判别、推算。形象思维则是一种“看得见”的思维，它通过“看物体”对知识进行分析、对比、剥离、综合和概括。
三、结论
高等代数看似独立，但是和其他的学科之间，却是彼此牵连、相通。因此，在学习过程中不仅需要关注各体系，各学科之间的交互，还应该学会如何在高等代数中“纵关”与“横联”，只有这样才能真正学好高等代数。
参考文献
[1]刘静.基本初等矩阵与矩阵的分解[J].滨州学院学报,2008,(06).
[2]方逵,朱幸辉,刘华富.二元凸函数的判别条件[J].纯粹数学与应用数学,2008,(01).
[3]Cheng S L，Hwang C.Optimal approximation of linear systems by a differential evolution algorithm[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics―Part A，2001（06）
关键词：初中教育；科研发展；课题分析
中图分类号：G526.3 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）01-0063-03
在基础教育阶段，相对于小学、普通高中而言，初中教育整体薄弱成为一种共识。教育科研是提升教育发展的重要力量，为通过教育科研推动初中教育整体发展，江苏省教育科学规划领导小组办公室自2009年以后，在江苏省教育科学规划课题中增加“初中教育专项”。
江苏省教育科学“十二五”规划2013年度共申报课题7137项，其中基础教育3807项，职成教育1257项，高等教育1046项，幼儿教育与特殊教育599项，体育、卫生与艺术教育专项417项，教师教育专项11项。基础教育中有申报初中教育专项的课题337项，共有87项通过专家组评审，确定为立项，占到初中专项课题申报总数的26%。其中有初中专项重点资助11项，初中专项重点自筹25项，初中专项立项51项，分别占到初中课题立项总数的12.7%、28.7%、58.6%。
一、初中教育科研发展呈现出的基本特征
基于对江苏省教育科学“十二五”规划2013年度“初中专项”课题申报情况分析，可以看出，当前初中教育科研发展过程中呈现出以下基本特征：
1.从主题看，初中教育科研较为关注学科课堂教学改革、教师教学行为转变等。在申报的337项课题中，关于课堂教学和教师教学行为转变的项目201项，占到初中专项课题申报总数的59.6%，其他主题主要有学校文化建设、学校办学理念哲学研究、课程资源开发、地方课程利用、学生素养提高、小班化教学、薄弱初中发展、初中教育发展的区域推进、“苏派”教育名师思想研究、家校互动等，如此众多主题的项目只占到初中专项申报总数的40.4%。
2.从方法看，初中教育科研中形成了以实践研究、策略研究、行动研究、个案研究为主的局面。337项初中教育课题申报中，直接标明“实践研究”（或实验研究）的课题90项，占到初中专项申报课题总数的26.7%；标明“策略研究”的课题52项，占到初中专项申报课题总数的15.4%；标明“行动研究”的课题11项，占到初中专项申报课题总数的3.3%；标明“个案研究”或者“课例研究”、“调查研究”、“应用研究”的课题18项，占到初中专项申报课题总数的5.3%。
3.从视域取向看，初中教育科研体现了以校为本的研究取向。尽管在337项课题中，只有15项课题体现了校外研究取向，主要涉及到对地方文化资源的开发利用、乡土教材运用，家校合作，区域推进初中教育发展，“苏派”教学专家研究，“准工作体验”，外来务工人员子女、留守儿童教育等，意味着322项课题都是以学校为本进行研究的，占到初中专项课题申报数的95.5%。在以校为本研究取向中，学科教学为主的研究思路占据了重要部分，占到校本取向研究课题的61%，其他诸如教师教学行为、学生学习方式、师生交往关系、班级建设与管理、学校文化等，只占到校本取向研究课题的39%。
4.从研究类型看，实践研究是初中教育科研的主要研究类型，理论研究或政策研究很少得到体现。337项课题中，只有少数6项课题涉及诸如“初中阶段拔尖创新人才培养”、“学校文化标准化管理”、“平民学校建设的‘慢教育’”、“尊重教育”、“非正式群体”、“阳光语文”等理论研究，涉及到初中教育政策的相关研究基本缺失，其他331项课题都是实践研究，占到初中专项课题总数的98.2%。
二、初中教育科研发展中存在的主要问题
基于对江苏省教育科学“十二五”规划2013年度“初中专项”课题申报情况的分析，初中教育科研发展过程中形成了一些研究优势，如关注了教师的课堂教学行为，凸显了初中教育的实践研究定位，采用了初中教师较容易掌握的研究方法等，也在其发展过程中产生了一些问题。
1.“学生为本”的素质教育理念没有在初中教育科研中得到充分体现，带来了初中教育科研的方向性偏差。素质教育明确提出要以学生发展为本，其核心就是要面向全体学生，促进学生全面发展，其灵魂就是要培养学生的自主学习能力和自我发展能力。关注每一个学生的发展应成为初中教育科研的应有主题，但是在337项课题中，只有29项课题研究体现了学生为本，占到初中专项申报课题总数的8.6%，具体体现为留守儿童、外来务工人员子女教育、学生学科素养形成、学生自我学习品质养成、学生自主反思、学生学习方式转变、学生身心健康等内容。对“学生为本”素质教育理念的忽视，意味着初中教育科研缺乏正确学生观的引领，没有把促进学生发展当成教育科研的中心主题和内容，从而带来初中教育科研发展中的方向性偏差。
2.过度的实践导向带来了初中教育科研过程中缺乏足够的理论支撑，限制了科研课题意义的凸显。尽管理论研究者和中小学教育实践工作者一再倡导，中小学教师教育科研要以实践为导向，关注自身的教育教学行为，从日常的教育教学实践中发现问题、研究问题并解决问题。但这并不意味着初中教育科研不需要理论指导和支撑，从江苏省教育科学“十二五”规划2013年度“初中专项”课题申报来看，不仅出现了初中教育科研理论研究的缺失，而且呈现出初中教育科研实践课题缺少理性思考成分，从而造成初中教育阶段的大部分研究浮于表面，缺乏深度，如很多研究都成为教学工作汇报或教学案例堆积，研究者没有对这些现象背后的道理、规律或逻辑做进一步思考。这也使得初中教育的许多研究只局限于个人研究层面，无法在更大范围推广课题研究成果，限制了课题研究意义的更深层次发挥。
3.学校或教师为研究主体，无法使义务教育均衡发展等重要发展任务在初中教育科研中得到体现。《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》明确提出推进义务教育均衡发展是义务教育发展的重要任务，这为未来十年初中教育发展提供了政策导向，初中教育科研必须体现均衡发展这一重要使命。尽管均衡发展理念可以在中、微观层面的学校办学和教师教育教学行为中得到体现，但是中宏观层面的区域之间、校级之间等均衡发展也必须成为研究主题，而这种研究必须以区县或以上组织（个人）为研究主体，从更大范围关注均衡发展问题。但是在江苏省教育科学“十二五”规划2013年度“初中专项”申报的337项课题中，有323项课题由学校或教师个人申报，而以县（区）等名义申报的课题只有14项。区县主体研究行为缺少使得初中教育均衡发展很难在更大程度上实现。
4.初中教育科研中以校为本的视域研究取向，忽视了教育行政部门、家长和社区相关者在学校办学中主体作用的发挥，阻碍了校内外交往关系的建立。学校办学是以学校为主体，教育行政部门、家长和社区相关者共同参与的过程，他们从不同方面对学校发展做出贡献。在江苏省教育科学“十二五”规划2013年度“初中专项”申报的337项课题中，校外取向的研究课题只占到初中课题申报总数的4.5%。初中教育科研的校本取向排除了教育行政部门、家长和社区相关者参与学校办学过程，他们的主体作用没有得到应有发挥。校外力量参与学校办学主体作用的缺失，导致学校办学主体单一化，不仅增加了学校办学的负担，也影响着学校办学水平。同时还影响着校内外互动关系的建立，使学校办学缺少他者的支持和监督。
三、为促进初中教育科研发展提出几点建议
根据初中教育科研发展中呈现出的特征，为解决初中教育科研发展过程中存在的问题，笔者有针对性地提出几点建议。
1.确立正确的学生观，在初中教育科研中严格遵循“学生为本”的素质教育理念。以学生为本应成为初中教育科研的主导性观念，不管是学校办学、教师教育教学行为、课程教学改革、学校文化建设等都必须以其为导向，“学生”成为研究中的主要关键词，使促进每一位学生发展成为研究的最重要目的。
2.加强理论研究，提升初中教师理论素养，为初中教育科研奠定坚实的理论基础。实践研究离不开理论指导，任何没有理论的实践研究都是不科学的。初中教育科研在面向实践、关注实践问题的同时，务必要有科学的理论指导和支撑。为此，初中教师要不断提升自身的理论素养，增强研究中的理性思考成分，做到理论研究与实践研究的最佳集合。
3.强化中宏观层面研究，发挥区县教育行政部门在初中教育科研中的主体作用。为转变政府职能，强化教育行政部门等对学校发展的专业指导作用，必须提升教育行政部门的专业指导力，主持或参与科研课题研究是发挥他们专业指导的重要方式之一，为此，必须发挥区县教育行政部门在教育科研中的主体作用。
4.拓宽研究视域，使初中教育科研视野扩充至校内外。鼓励学校和教师在关注学校内部的教育教学、学校管理、教师发展的同时，把研究视野拓宽到校外，与教育行政部门、家长和社区建立合作关系，为丰富研究主题、争取校外支持，宣传学校发展提供可能。
Study on the Current Situation of Junior Middle School Education Research Development in 2013 in Jiangsu Province
ZHOU Ying-jun
（Jiangsu Institute for Education Research， Nanjing 210013， China）
关键词：问题驱动；初中笛В惶骄
新课标对初中数学教育要求是：初中数学课程，应重视培养学生的抽象能力、推理能力、想象力和创造力等多种能力的发展。众多的数学家们认为：“问题就是数学的心脏”。还有声音说正是问题，激发我们去学习，去发现真知，去实践真知，去观察知识。由此可见，数学家们认为在整个数学的发展过程中，以及个人的创造活动中，正是“问题”在驱使着数学学习者、研究者们，愿以毕生的精力去追寻答案的动因。
另外，从学科教学的角度来看，初中数学的学习具备如下特点：严格的学习格式、缜密的运算逻辑、抽象的构图思维、复杂的演算推导等。数学中各种各样的学习过程，都让人折服于数学的精确，又让学习者望而生畏。而用“问题”来驱动教学，可以引导学生去思考问题，让学生成为学习过程的真正主导，引导学生去发现学习中的快乐。这种教学方式不失为是一种激发学生学习兴趣、提高学生思维能力、促进学生掌握问题解决技能的高效方式，这也是本文研究的着眼点。
一、问题驱动式学习概念分析
问题驱动式学习（Problem-driven Learning，以下简称为PDL），作为一种教学策略，其特点是以解决问题为中心，是指教师在教学过程中，创设一系列相关联的问题，通过连串问题的不断提出，强调学习任务，激发学生学习动力的学习模式，目标是在学生解决问题的过程中培养他们的数学知识获取、解决数学问题和组织协作等方面的能力。
从“新课程改革”的发展角度来看，探究性学习已经成为初中数学学科实施新课程改革过程中的一个重要手段，而问题驱动式学习模式（PDL）是探究性学习实施中行之有效的方式，所以我们推崇PDL，对实施课程改革也是必要的。也是为学生创造良好的学习环境的一个方式，而所谓的学习环境，就是学生学习的整体氛围、学习方式并结合学习伙伴的一种气氛。教学过程中营造良好的学习环境也有利于学生学习数学中进行创新，创设问题，解决问题。
二、有效的支撑PDL学习的环境设计
初中数学的教学，要真正的运用问题驱动式进行教学，需要营造良好的学习氛围，同时，也需要教师在教学过程中加强其理论层面的知识，结合学生特点和班级制度的教学手段和教学工具，设计出一套符合学生实际的PDL教学流程：
1.设想问题，理清思路
问题驱动式的灵魂是是以问题的展开为导向，因此，教师在展开问题驱动式学习方式之前，有必要将初中数学教学分解剖析，整理出一套清晰明确的教学思路，在对应的知识点上提出问题，设计问题。问题的设计需要深刻把握所要教授数学知识的脉络，及时关注对重点、难点知识的把握的和延伸，要学生在学习中明白自己该“学什么”。
2.引出问题，深发思考
学习型问题一般可以分为两类，一类是显性问题，指那些用语言明确表达的引导学生思考和探究的问题；另一个是隐形问题，指那些学生在学习过程中可能生成发现的问题。出现在教学设计中的问题大多是以显性的方式呈现，它可以引导学生进行数学的理解、数学探究、数学思考以及问题解决的有效工具和手段。显性问题的引出较为简单，而教师在课堂中需要做的就是利用显性的问题，引导学生探究引出隐形问题，根据课堂中引出的问题引导学生进行数学理解、数学探究、数学思考以及问题解决，做一名具有探究精神的初中生。
3.解决问题，合作学习
明确了问题之后，接下来要做的就是组织学生展开学习，形成良好的学习契机，以探究式学习、合作式学习为导向呈现出思维与合作的关系，让学生在合作中共同解决问题，培养学生合作意识和数学语言表达的能力，让问题驱动式的学习在学习中绽放光芒，真正的让教师做到教会学生到底应该“怎么学”，明白学习的着力点。
三、问题驱动式的学习方法
（1）随着网络在教学中的广泛应用和研究，网络化学习环境运用于教学的优越性日益体现。在探讨问题驱动式教学时，更是要利用互联网，结合学生实际特点，用网络环境支撑初中数学PDL学习环境设计的主要内容和操作方法，在理论分析的基础上，通过行动研究开展教学实验，以检验、修正和完善该操作方法的有效性。在摸索学习中让教师和学习者对所提出的初中数学PDL（网络）学习环境设计的科学性、操作性、有效性持有肯定态度。通过实验、学习者在PDL学习环境中对初中数学问题的鉴别、探究和解决能力都有显著提高；高效利用资源、协作学习和自主学习方法方面都有不同程度的改善。
（2）数学教学不同于文科理论知识的教学，单纯的对理论知识的把握和记忆是无法将数学的精髓体现出来的，只有经过典型的案例分析，解决数学问题，动手操作，才能让数学展现其魅力，并且在整个教学中，要时时把握问题驱动式教学的精髓。例如，初中数学《一元二次方程的应有解题》的教学过程中，教师认真分析一元二次方程的基本概念和相关图像、性质等基础知识，提出一连串的问题：“在学习了一元二次方程的图像、性质之后，如何用一元二次方程解决实际问题呢？”“请同学们总结一下这节课的知识点，并试图提出延伸问题”。然后教师通过新闻链接、多媒体、生活情景再现等引入一元二次方程。通过问题的分解和解决，教师在最后再做出课堂知识点的总结和拓展，对学生的问题探究精神给予鼓励。
四、总结
问题探究式学习是引发学生学习积极性、活跃课堂气氛，并在良好的气氛之下学习数学知识，激发学生学习的求知欲，培养出数学人才。在数学教学中，只有坚持正确的教学指导，从学生的实际出发，融会贯通的运用多种教学模式，解决数学教学的复杂性和多样性的问题，实现新课标要求下多态教学的目标。
参考文献：
[1]周红英.初中数学问题驱动式（PDL）学习环境研究[J].考试周刊数学教学与研究，2014（51）.
[2]储冬生.从“撰写教案”走向“教学规划”――谈问题驱动式教学的教学设计[J].河北教育名家试点教学，2016（6）.
[3]张丽萍.坚持问题驱动式教学，提升高中生数学学习力[J].数学之友，2015（6）.
关键词：分类讨论应用思维品质
把数学问题划分为若干情况，然后逐一求解的过程叫作分类讨论。分类讨论的基本要求是不重复、不遗漏。数学中的分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的，它可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，对养成学生严谨的思维品质有较大益处。然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，从近几年的中考阅卷中发现，学生在解此类问题时，常常是不知道要进行分类讨论，或者知道了要分类讨论却考虑不周全，导致解答此类问题时得分率偏低。究其原因，主要是平时的教与学中，对“分类讨论”的数学思想渗透不够，学生对分类讨论思想的运用不熟练。以下就4种常见的问题，分别举例说明。
一、应用问题中的分类讨论
在小学数学问题中，答案往往是唯一的，导致学生思维的单向性倾向较明显。当初中引入字母代替数的概念后，问题的多样性逐渐显现，学生的简单思维常常不能适应这样的变化。在一些应用问题中，由于变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。解决这类问题时，要做到分析清楚问题中变量在整个过程中会造成质变的临界点，即变量的不同取值会对问题产生哪些不同的结果，把它们一一罗列出来，系统地分类，才能正确求解。
例1某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带均按定价的90%付款(两种优惠方案不可同时采用)。某商店老板要到该服装厂购买西装20套和领带若干条(超过20条)，请你帮助商店老板选择一种较省钱的购买方案。
分析因已知条件中未明确所购领带的具体数量，因而较省钱的购买方案是不确定的，而是由不同的领带购买数量所决定的。
解设商店老板需购买领带x条，则按方案一购买，应付款200×20+(x-20)×40=40x+3 200(元)按方案二购买，应付款(200×20+40x)×90%=36x+3 600(元)
设y = (40x+3 200)-(36x+3600) =4x-400(元)
(1)当y\
(2)当y =0时，4x-400=0，即x =100，方案一与方案二同样省钱;
(3)当y \>0时，4x-400\>0，即x \>100，方案二比方案一省钱。
综上所述，当购买领带超过20条而不到100条时，选择方案一省钱;当购买领带等于100条时，选择两种方案同样省钱;当购买领带超过100条时，选择方案二省钱。
二、方程问题中的分类讨论
方程知识是初中数学知识的重点及基础，它涉及到一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，分式方程等，这些不同类型的方程之间又可以通过降次、消元和去分母等方法互相转化。解此类问题的关键是理清概念，在解题时应注意概念的重要性。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况的分类框架，分类时也能做到条理清楚，解答此类问题就不易造成漏解。
三、三角形问题中的分类讨论
在三角形问题中最常见的分类讨论的问题非等腰三角形莫属。例如已知等腰三角形两边长求周长问题中，常按第三边是底边或腰分类;在已知等腰三角形一个角求其余两角问题中，常按已知角是顶角或底角分类。这样，才能在求解时完整无误地得出正确答案。
例3如图，已知直线l1、l2和线段AB
求作:直线l1、l2上的点P，使PAB是等腰三角形
分析已知等腰三角形的一边AB，作等腰三角形，需分成两类:AB为底边;AB为腰。而第二类又可细分为:∠A为顶角;∠B为顶角。
解(1)当AB为底边时
作线段AB的中垂线，交直线l1、l2于点P1、P2;(2)当AB为腰时
①以点A为圆心，AB为半径作圆，交直线l1、l2于点P3、P4、P5、P6;
②以点B为圆心，AB为半径作圆，交直线l1、l2于点P7、P8、P9、P10。
综上所述，P1、P2……P10为所求作的点。
四、圆中的分类讨论
此类题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。正确解答此类问题的关键是熟悉符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，准确地画出图形。画图能力和空间想象能力是解决此类问题的重要能力，平时应注意多操作、多探索，提高动手能力和实践能力。
例4如图，在平面直角坐标系中，P是经过O(0，0)、A(0，2)、B(2，0)的圆上一个动点，(P与O、B不重合)，求∠OPB。
分析显然动点P在圆上有两种不同的位置。(1)点P在优弧OAB上;(2)点P在劣弧OB上。
解∠AOB =90°，OA = OB =2
∠OAB =∠OBA =45°
(1)当点P在优弧OAB上运动时∠OPB =∠OAB =45°
(2)当点P在劣弧OB上运动时∠OPB =180°-∠OAB =135°
∠OPB =45°或135°
五、结语
分类讨论思想涉及初中数学的全部知识点，其关键为分清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的所有情况做到准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。
参考文献：
[1]李明.初中数学操作型探究题的分类解析[J].黑龙江教育（中学教学案例与研究）,2008,""(4)
【关键词】APOS理论；初中数学；教学；方法
我国的初中数学教育发展至今，已经形成了相当规模的教育体系，教育理念、教育手段更是日新月异.但在这样的大背景下，我们的初中数学教育依然存在着一些无法突破的“瓶颈”，关于数学的基本概念、逻辑起点、方法论以及具体的解题思维等方面，学生仍无法摆脱传统教育思维的束缚.因此，本文尝试着从教学思想出发，借鉴APOS理论来探讨初中数学教学.
一、APOS理论概述
APOS理论是由美国教育学家杜宾斯基等人率先提出来的，作为一种建构主义下的教学理念，它主要针对的是个体数学学习理论.这种理论认为学生个体在接受数学教育时，一般会经过四个阶段，即操作、过程、对象以及图式阶段.
（一）操作阶段的要点在于问题的设置，即通过与数学教学内容相关问题的提出，以达到提高学生学习兴趣、促进探索思维的目的.因此，问题的设置要紧扣教学内容，形成逻辑上的“问题链”，由简向难逐次推进，将学生引入教学内容的实质.这个阶段的学生是以“主动”为主的，充分发挥了其自主探索“潜质”.
（二）过程阶段指的是个体将具体问题在大脑中内化、压缩成抽象思维，并通过这种思维来认识、接受新知识.因此，这个过程就好像“问题将你引进门，然后在此独自修行”一样，是一种“过程性”的学习与认识.过程阶段是处于“低位阶”的操作阶段向“高位阶”的对象阶段过渡的必经阶段，起着承前启后的作用.
（三）对象阶段是个体对于所学习、思考的内容形成“整体认知”的阶段，正如有学者提出“由过程向对象的转移，其基本意义就是为从更高的层次上进行研究开拓了现实的可能性”.从过程到认识的阶段是逐次渐进的过程，个体由形式的“知识表面”向理论的“知识实质”过渡.在知识认知的更高层面，个体行为由“被动”变为“主动”，意识由“无意识”变为“有意识”.
（四）图式阶段是个体消化、吸收知识后的“知识重构”过程.皮亚杰认为图式的结构是可变化的、动态的，是个体接受到外界刺激后的“自然反映”.当然，有时这种反映个体是可以觉察到的，例如由一个知识点串联起更多的知识点.但在大多数的时间里，对于这种“潜移默化”的变化，个体是很难感觉到的，这也解释了“学习为什么是一个长期性、曲折性的认知过程”的问题.
根据上文对于APOS理论的分析，我们可以得知，在知识的整个认知过程中，操作阶段是起始点，过程阶段是连接点，对象阶段是关键点，图式阶段是落脚点.认知层次由下而上依次推进，认知程度也是由简单向复杂过渡.但这个过程是充满“刺激性”的，这对于“好奇心、探索欲”极强的初中学生来说是非常具有“诱惑力”的.
二、APOS理论在初中数学教学中的应用分析
我们知道APOS理论的重要作用在于将所要学习的知识、内容构建成网络化、格式化的信息体系.当学习者从一个“问题端口”进入该体系的时候，他所要面对的不是“孤立化”、“具体化”的知识，而是整个知识系统.因而，在这种系统中，解题也会变得“游刃有余”.为了便于问题的说明，我们试着以“初中函数”为例来具体分析其应用过程.
（一）操作阶段——问题引导法
在APOS理论中，问题引导法的实质在于对所要学习的知识及其解决模式提出疑问，并提供相应的解决思路，让学生在自学新知识的过程中学会运用各种“证据”，以证明思路的正确性.具体的做法主要有：一是“任务性”问题设置，即教师在章节内容教学完成后，针对下一章节的学习提出问题，并要求学生完成；二是“启发式”的问题设置，即在课堂教学的过程中，提出一系列的问题，形成“问题链”，然后引导学生逐次解决问题.前一个问题一般是后一个问题的前提条件或者是必经过程，因而此种设置具有“启发性”，启示学生自己思考来完成.例如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程在其外在形式、探索思路、解题过程上具有“类似性”，因而我们在教学的时候，应尽量打破教材编排的固有体例，启发学生将一种方程形式的探索思路“复制”到其他方程上，分析其中的异同点.
（二）过程、对象阶段——稳步推进法
在问题阶段将我们引进后，就开始进入稳步推进的过程，也是知识内容由简到难，层次由低到高的过程.学生在将新知识消化、吸收到头脑中后，就开始进行缜密的思维分析，从函数的“形式表面”逐步向“实质内容”深入，知道函数的实质在于两个变量x与y之间是唯一对应的.在此认知的基础上，我们就可以对后学内容进行“可预见性”的推导了.在初中函数部分中，除了上述方程以外，还有一次函数、正比例函数、反比例函数、sinθ（正弦）、cosθ（余弦）、tanθ（正切）、cotθ（余切）等.这些内容具有实质上的一致性，既可以相互推导（例如方程之间），也可以相互转化（例如三角函数中的部分内容）.当然，这些内容虽然都属于“函数家族”，但对于学生来说，推导出来的却是“陌生的知识”，这对于增强学生的自信心有巨大的推动力.
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