***县***乡中心小学 ***
【情景说明】首先，虽然本套教材不是从过去的整除定义出发，而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数的概念，但在本质上仍是以“整除”为基础，只是略去了许多中间描述。因此，要注意，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。其次，因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。第三要注意区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。第四，要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。
教学时我一开始引导学生从因数的概念出发求18的因数，也就是让学生明白：那两个整数相乘的是积是18.找到时候引导学生有序的思考。等学生把18的所有因数都写出来，再让他们用集合的形式表示出来。为后面求两个数的公因数做准备。
【教学内容】人教版数学五年级下册P12一14，练习二。
【教学目标】
1、知识与技能：从操作活动中理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数和倍数。
2、过程与方法：培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义观点。
3、情感、态度与价值观：培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感。
【教学重、难点与关键】理解因数和倍数的意义
【教学准备】课本12页图投影片。
【教学过程】
一、操作空间，初步感知。
1．同桌用12块完全一样的小正方形拼成一个长方形，有几种拼法?要求：能想象的就想象，不能想象的才借助小正方形摆一摆。
2．学生动手操作，并与同桌交流摆法。
3．请用算式表达你的摆法。
汇报：1×12=12，2×6=12，3×4=12。
【评析】通过让学生动手操作、想象、表达等环节，既为新知探索提供材料，又孕育求一个数的因数的思考方法。
二、探索空间，理解新知。
1．理解因数和倍数。
(1)观察3×4=12，你能从数学的角度说说它们之间的关系吗?
师根据学生的表达完成以下板书：
3是12的因数
12是3的倍数
4是12的因数
12是4的倍数
3和4是12的因数
12是3和4的倍数
(2)用因数和倍数说说算式l×12=12，2×6=12的关系。
(3)观察因数和倍数的相互关系。揭示：研究因数和倍数时，所指的数是整数(一般不包括O)。
2．求一个数的因数。
(1)出示2，5，12，15，36。从这些数中找一找谁是谁的因数。
学生汇报。
师：2和12是36的因数，找1个、2个不难，难就难在把36所有的因数全部找出来，请同学们找出36的所有因数。
出示要求：
①可独立完成，也可同桌合作。
②可借助刚才找出12的所有因数的方法。
③写出36的所有因数。
④想一想，怎样找才能保证既不重复，又不遗漏。
教师巡视，展示学生几种答案。
生1：1，2，3，4，9，12，36。
生2：1，36，2，18，3，12，4，9，6。
生3：1，4，2，36，9，3，6，12，18。
(2)比较喜欢哪一种答案?为什么?
用什么方法找既不重复又不遗漏。(按顺序一对一对找，一直找到两个因数相差很小或相等为止)
师：有序思考更能准确找出一个数的所有因数。
完成板书：描述式、集合式。
(3)30的因数有哪些?
【评析】学生围绕教师出示的思考步骤，寻找36的所有因数。既留足了自主探索的空间，又在方法上有所引导，避免了学生的盲目猜测。通过展示、比较不同的答案，发现了按顺序一对一对找的好方法，突出了有序思考的重要性，有效地突破了教学的难点。
3．求一个数的倍数。
(1)3的倍数有：——，怎样
有序地找，有多少个?
找一个数的倍数，用l，2，3，4……分别乘这个数。
(2)练一练：6的倍数有：
，40以内6的倍数有：一o
【评析】由于有了有序思考的基础，求一个数的倍数水到渠成，本环节重在思考方法上的提升。
4．发现规律。
观察上面几个数的因数和倍数的例子，你对它们的最大数和最小数有什么发现?
根据学生汇报，归纳：一个数的最小因数是I，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
【评析】通过观察板书上几个数的因数和倍数，放手让学生发现规律，既突出了学生的主体地位，又培养了学生观察、归纳的能力。
三、归纳空间，内化新知。
师生共同总结：
(1)因数和倍数是相互的，不能单独存在。
(2)找一个数的因数和倍数，应有序思考。
四、拓展空间，应用新知。
1．15的因数有：——，15的倍数有：——。
2．判断。
(1)6是因数，24是倍数。( )
(2)3．6÷4=0．9，所以3．6是4的因数。 ( )
(3)l是l，2，3，4……的因数。 ( )
(4)一个数的最小倍数是2l，这个数的因数有l，5，25。( )
4．选用4，6，8，24，1，5中的一些数字，用今天学习的知识说一句话。
5．举座位号起立游戏。
(1)5的倍数。
(2)48的因数。
(3)既是9的倍数，又是36的因数。
(4)怎样说一句话让还坐着的同学全部起立。
【评析】本环节的前3题侧重于巩固新知，后2题侧重于发展思维。通过“说一句话”和“起立游戏”，展现了学生的个性思维，体现了知识的应用价值。
【教学反思】
本课教学设计重在让学生通过自主探索，掌握求一个数的因数和倍数的方法，体验有序思考的重要性。体现了以下两个特点：
一、留足空间，让探索有质量。
留足思维空间，才能充分调动多种感官参与学习，充分发挥知识经验和生活经验，使探索成为知识不断提升、思维不断发展、情感不断丰富的过程。第一，把教材中的飞机图改为拼长方形，让同桌同学借助12块完全一样的正方形拼成一个长方形。由于方法的多样性，为不同思维的展现提供了空间。第二：放手让每个同学找出36的所有因数，由于个人经验和思维的差异性，出现了不同的答案，但这些不同的答案却成为探索新知的资源，在比较不同的答案中归纳出求一个数的因数的思考方法。第三：通过观察12，36，30的因数和3，6的倍数，你发现了什么?由于提供了丰富的观察对象，保证了观察的目的性。第四：让学生“选用4，6，8，24，1，5中的一些数字，用今天学习的知识说一句话”。不拘形式的说话空间，不仅体现了差异性教学，更是体现了不同的人在数学上的不同发展。
二、适度引导，让探索有方向。
引导与探索并不矛盾，探索前的适度引导正是让探索走得更远。探索12块完全一样的正方形拼成一个长方形，有几种拼法?教师提示能想象的就想象，不能想象的可借助小正方形摆一摆。这样的引导，是尊重学生不同思维的有效引导。
在找36的所有因数时，教师出示4条要求，既是引导学生思考的方向，又是提醒学生探索的任务。在让学生观察几个数的因数和倍数时，引导学生观察最大数和最小数，有什么发现?这样的引导，避免了学生的盲目观察。可见，适度的引导，保证了自主探索思维的方向性和顺畅性。
[关键词]数学 教学 倍数 因数 思考 案例
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）23-038
笔者通过对新旧数学教材的比较研究，发现数学新教材中的部分习题变简单了，而在仔细研读教师用书之后，发现习题虽然简单了，但我们的教学却不能简单，需要对教材中的习题进行深入挖掘，使其发挥出应有的功能。所以，笔者认为，数学习题的教学目标要让学生学会举一反三、触类旁通，只有这样，才能让学生的数学素养在数学课堂上得到长足的发展。
教学案例：“倍数和因数”
习题：下面哪些数是4的倍数，哪些数是6的倍数，哪些数既是4的倍数又是6的倍数？
4 6 8 12 16 18 20 24
这是一道再简单不过的数学题，许多教师都说这样的题目没有多大的意义，因为学生通过前面的学习已经掌握了因数与倍数的相关知识，用乘法口诀就可以得出4与6的倍数，而对于既是4的倍数又是6的倍数，学生根据乘法口诀也可以得出是12与24。所以，教学这一题时，许多教师都是放手让学生自主解答，然后集体订正就算了事。难道这道题真得就那么简单吗？教材安排这道习题仅仅是让学生找出4与6的倍数吗？笔者想，教材的安排绝不会那么简单，目的应是通过这一道题让学生掌握这一类题的解题策略。因为既是4的倍数又是6的倍数的数一定有它的规律所在，所以让学生掌握这个规律才是编者安排这一道题的真正目的。如果仅仅以本为本，教材中有什么内容就教什么内容，不给学生拓展的空间，那么学生的数学素养也只能停留在做死题、做题死的层面上，不会举一反三的思考，这些都不利于学生数学素养的发展。所以，在学生订正这一道题之后，笔者与学生进行了深入的探讨性对话。如下：
师：做完这一道题目之后，你们还有什么想说的吗？
生1：我感觉这一道题安排的太简单了，因为前面的第4题、第5题与这一道题相似，我们已经解答过类似的题目了，也掌握了解答这一类题目的技巧，为什么还要安排这样的习题来让我们解答呀，这不是多此一举吗？
师：老师也在想，第4题是让我们写出5、7、9、10的五个倍数，也就是用这四个数分别乘以1、2、3、4、5就可以求得了，而这一题直接用数字来除以4与6就可以马上得到答案了，但课本为什么还要这样安排呢？
生2：这一道题与前面两题不一样之处在于让我们找两个数的共同倍数，我估计这里面一定有什么规律，只不过我们没有发现罢了。
师：到底有什么规律呢？大家再找几个既是4的倍数又是6的倍数的数，然后来研究一下，看有没有规律。（学生列数字探究）
生3：我发现能同时是这两个数的倍数的条件是必须是12的倍数，如12、24、36、48、60、72、84等。
生4：我认为，12是4和6的倍数中最小的数，所以其他的数只要是12的倍数，那就一定是4和6的倍数。
……
思考：
现在的许多数学教师认为，学生只要通过学习，能正确解答数学题目就可以了，要想提高学生的解题能力，就要设计多样化的数学题，让学生不断解决各种类型的数学题，这样学生的解题能力自然可以提高。同时，学生在解题过程中，数学思维与数学能力也得到了提升，这是数学教学的重要目标之一。其实，有这种想法是错误的。多做题，做形式多样的题就会让学生的数学学习陷入一个高耗低效的怪圈中，即学生越不会解题，教师就要多出题来让学生练习。其实，学生数学能力的提升不在于解多少题，而是看他们能否把题目的算理给弄清楚、弄明白。学生只有形成正确、可行的思路时，才能灵活运用这些策略来解答问题。就比如上述这一道题，如果把教学目标仅仅局限于让学生会解答这一道题，那么我们的教学思路也许会发生变化，教学时就不会引导学生深挖题中隐藏的规律。在以后的学习中，如果出现让学生写出既是4的倍数又是6的倍数的最小三位数与最大三位数时，学生也许就会不知所措了。而通过对这一道题的挖掘，既使我们的教学更加灵活，又会让学生更加注意数学知识之间的联系，注重数学思想方法的习得。所以，数学教学不能局限在学生能正确解答出题目这一层面上。
《义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”也就是说，一线数学教师要转变教学思想，要将灌输式教学模式转变为以学生的发展为中心的数学课堂，要通过恰当教学活动的组织给学生搭建出自主、探究、合作交流的数学课堂，进而使学生在主动求知中掌握知识，在自主探究中养成良好的学习习惯。因此，在实际数学教学过程中，教师要结合教材，从学生的学习特点出发有效地将这一理念与实际教学结合在一起，以构建出真正高效的数学课堂。
《2、5、3的倍数的特征》这部分知识是在学生掌握了倍数的概念后的一部分内容，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础，也是学习约分和通分的必要前提。因此，掌握《2、5、3的倍数的特征》对提高学生的学习质量、对提高学生知识的灵活应用能力起着非常重要的作用。因此，在《2、5、3的倍数的特征》这一节课的教学时，我们的教学目的就是让学生熟练掌握2、5的倍数的特征，并能灵活运用特征去解决具体的问题。所以，在教学时，我选择了游戏教学法、自主学习法等，引导学生在玩中学，在玩中感受数学学习的乐趣，同时也能确保学生在主动参与课堂活动中形成积极的学习态度，进而使学生真正成为数学课堂的主人。
【案例描述】
在上课时，为了快速地让学生投入到课堂活动中，也为了保护学生的学习积极性，提高学生的课堂投入度，在导入环节，我选择了“游戏导入法”，引导学生对一组数据进行了摘选，对教材中的数据表进行“找朋友”的活动，即：将数据表中“2、5”的倍数标记成不同的颜色，并将这些“朋友”汇总在一起，之后以一句“为什么我们称他们为朋友呢？他们有什么特点呢？”组织学生边“找朋友”边进行思考，顺势将学生引入新知的学习中。之后，我选择一名学生将自己的分类展示在黑板上，即：2的倍数是2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50……
5的倍数是5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60……
之后再和学生一起分别对这些数据进行分析，引导学生思考这些数据有什么特点，比如，有学生说：5的倍数的末尾数都是0和5；有的学生说：2的倍数的末尾都是2 4 6 8 0；还有学生说：5的倍数大部分也是10的倍数等，之后，我根据学生的表达进行总结，将2、5的倍数特点进行总结。在明确了2和5的倍数特征后，我组织学生再一次进行了“游戏”，这次的游戏我们设定为了“我说你判断”的游戏，一名学生随便说一个数字，另外一名学生来判断是不是2或者是5的倍数，如果是的话，说出是谁的倍数。这样的过程不仅能够强化学生对2和5倍数的理解，提高W生的知识应用能力，而且也有助于学生学习效率的提高。之后，学生对2和5的倍数有所了解之后，我再次向学生出示2的倍数“2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50……”引导学生再次对这些数字进行分析，并在这个过程中引入“偶数和奇数”的概念，强化学生对这一概念的理念，以突破本节课的重难点。
最后，为了提高学生的知识应用能力，在基本知识讲解结束后，我组织学生对下面的几道练习题进行解答，如：下列数字中哪些是偶数，哪些是奇数。
34 97 354 0 123 861 2089 1000 987 564 3576 578
引导学生自主对这些数字进行判断，这样不仅能够巩固所学的知识，提高学生的学习效率，而且在一阶段的习题练习也是强化认识，提高知识应用能力的重要方面，进而确保本节课的教学目标最大化实现。
【案例反思】
在结束了这一节课的教学后，我开始反思整个教学过程中的得与失，现从以下几个方面入手进行了总结和分析：
1.游戏的有效性
游戏是调动学生学习兴趣、激发学生热情的有效活动之一。所以，在本节课的教学时，我们选择了游戏教学活动，目的就是让学生在玩中掌握知识，在玩中快乐学习。但是，通过反思，我们需要改进的是在“找朋友”游戏中，我们不应该局限在教材上的图表，而可以自己重新制定一个数据表，引导学生进行“找朋友”活动，这样的教学效果要比单纯地依靠教材要好得多，对保护学生的数学学习兴趣都有着密切的联系。
一、 自主学习，注重课前预习环节
教师将备课时做的导学案，在上节课结束时发到学生手中，学生按导学案要求完成自主学习。导学案的编写灵活多样，通过导学案帮助学生如何自学，如何抓住内容的重点。除了熟悉教材内容外，主要是培养学生自主自学的自觉性。
例如：染色体变异导学案。
【预习部分】
考点一：染色体结构的变异。①种类。主要有4种：增添：（ ）、缺失（ ）、倒位（ ）、易位（ ）。②特点：大多数染色体结构变异对生物体是（ ），有的甚至会导致生物体死亡。
考点二：染色体数目的变异。①染色体数目变异的种类。②染色体组的概念。③说出二倍体和多倍体的概念，例举常见的二倍体、三倍体和四倍体生物及其特点。记忆单倍体的概念，单倍体植物有何特点。
二、 合作交流，含组内交流、成果展示、拓展延伸三个环节
（1）组内交流。依座位把学生随机分成几个小组（6人为宜），要求学生把导学案的完成情况相互作评价，划出自己对组内其他成员的评分，相互对照完成自主学习的差异。也可以根据不同的课型进行多种形式的组内交流，如常见的讨论式。通过这环节，学生基本掌握了本节的主要内容，发现自己在预习过程中的不足。锻炼学生在自主学习方面的能力，寻找差距，弥补差距。
（2）成果展示。各小组评分最高者总结对本节内容的掌握程度及存在问题。在展示中对于前面已经提出的方面不再复，以节约时间。采用的交流形式不同，展示的成果也不同，这时教师把学生提到的不懂的问题列到黑板上。例如，我在本节教学中遇到一个问题：基因突变有三种形式：缺失、增添、替换，染色体结构变异有四种形式：缺失、增加、移接、颠倒，能否用图示的形式把两者的关系画出来？这是我在以前教学中没有考虑到的问题，因为两者存在一定联系，可以反映到图上，学生把基因与染色体之间的关系彻底理解了。
（3）拓展延伸。学生有困惑，教师必解答。列到黑板上的问题，教师得一一解释。除了黑板上的问题外，教师对本节中的重难点，以及学生可能遇到的困惑，皆作为本环节的内容进行拓展讲解。比如，染色体组概念的辨析，单倍体与多倍体的区分，单倍体育种，多倍体育种。
例如：
①染色体组满足的条件：a.非同源染色体、b.形态及功能各不相同、c.控制生长发育等。要能反映到图上，尝试判断以下两种情况生物体内有几个染色体组：
基因型为AAaa的个体，基因型为bbCcDd 的个体，上面的哪些图能表示，哪些不能？
②多倍体认识的前提：由受精卵发育而来。
③单倍体：体细胞中含本物种配子染色体数，所以由配子直接发育来的生物体是单倍体。这样，能理解单倍体生物为什么可能含几个染色体组，也能理解“含一个染色体组的生物体一定是单倍体吗”的问题。
三、总结反思，包含当堂检测、自我思考两个环节
（1）当堂检测。这一环节，主要是检测学生的学习效果，选择有针对性，难度适中，突出重难点的题目，检测学生对本节教学内容掌握的情况。最好选择学生手中已有的资料，这样可以节约课堂教学时间，也有利于学生记录笔记。如果采用多媒体形式，不利于部分视力较差的学生。我在本节检测选了几道题。
①已知某物种的一条染色体上依次排列着M、N、O、p、q五个基因，如图列出的若干种变化中，不属于染色体结构发生变化的是（ ）。
②某生物正常体细胞的染色体数目为12条，是三倍体，如图表示其正常体细胞的是（ ）。
③用马铃薯的花药离体培养的单倍体植株，可以正常地进行减数分裂，用显微镜可以观察到染色体两两配对，形成12对。据此现象，可推知产生该花药的马铃薯是（ ）：A.二倍体、B.三倍体、C.四倍体、D.六倍体。
④三倍体无籽西瓜（基因型为AAa）是不可育的，为使三倍体无籽西瓜可育，所需要的操作及产生配子的基因型及其比例分别为（ ）：A.秋水仙素处理AAA：AAa：Aaa=1：3：1、B.授以普通西瓜花粉AAA：=1：4：1、C.秋水仙素处理AAA：AAa：Aaa=1：2：1、D.用适宜浓度的生长素处理AAA：Aaa：aaa=1：2：1.
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）09A-0062-01
【案例】苏教版五年级数学下册《异分母分数加减法》教学片段
师：像+这样的分数加法我们是怎样计算的呢？
生：通过通分来计算。
师：好办法，通分的目的就是把分母不同的加减法转化成分母相同的加减法来进行计算（板书：转化）。请大家尝试计算下面两题：
+ 1-
（学生计算过程略）
（交流，对第一小题展示两种典型解法）
①+ ②+
=+ =+
= =
=
师：这两种做法，你有什么想说的？
生1：我觉得第一种是正确的，第二种是错误的。（师追问：为什么？）因为他把4和6的公分母找成了24，应该是12。
师：哦，你是这样判断的，还有其他同学想说说吗？
生2：我也觉得第二种是错的。
生3：我觉得两种都对，都能得出正确答案。
师：现在产生了两种不同的观点，支持哪种呢？举手表决（支持第二种的比较少）。
师：能找到理由说服对方吗？
生（二）（代表第二种观点）：异分母分数的加减法是要将不同分母的加减法转化成同分母的加减法来计算，没有要求一定要用最小公倍数做分母。
生（一）（代表第一种观点）：通分不就是要用最小公倍数做公分母吗，前面已经学过了。
生（二）：但是用24做公分母也能计算出正确的结果啊，而且书上说的是一般用最小公倍数做公分母，不是说一定。
（讨论比较激烈，谁也无法取胜）
师：大家比较一下两种计算过程的异同再来说说自己的观点。
生（一）：用最小公倍数做公分母计算比较简单，不用约分。
生（二）：用24做公分母比较容易找到，4乘6就可以了。
生（一）：4和6的最小公倍数一看就知道啊。
生（二）：那大一点的数呢，还用短除法先找最小公倍数啊？
（双方激烈争辩，无果，渐渐平息）
师：在异分母分数加减法计算中，第2种方法不能说没有道理，也不能算错，只不过相比较于第一种方法来说不是那么简约。我们计算时如果能看出最小公倍数，至少对得数约分的可能性要小一些，而不用最小公倍数作公分母，结果是一定要进行约分的，大家想想对不对？
生（齐）：对。
……
【分析】本是预料之内，却在学生评价时节外生枝，以至课堂教学内容因为这样的“节外生枝”而与课前预设产生了很大差异，但细细品味这其中的细节，就会发现这样的课堂充满了数学味，有种“枝繁叶茂”的感觉。分析其中缘由，原因有三：
一、课堂上的绝对民主性
学生作为课堂的主体，其认知过程应建立在一个自愿的高度认同的基础上，教师通过引导来让这样的认知过程生动、有趣、深刻。案例中学生对第二种计算方法的科学性发生矛盾时，教者没有根据自己的主观意愿来要求学生选择怎样的计算方法，而是让学生自己辨析、比较，在学生争辩过程中，教师引导学生观察两种方法的不同，由比较产生认知，进行第一步的选择，充分体现了课堂的民主。而在最后，由于少数学生的坚持，教师并没有强求学生一定要进行非此即彼的二选一，而是与学生进行一个“约定”，给学生经历体验的时间和空间，这样的处理方式显然是需要建立在民主的教育观基础上的。
二、关注点应该是教学的过程
教学的过程对于学生而言充满了乐趣，有获取知识的欣喜，有恍然大悟的喜悦，有迷惑不解的遗憾，因此学生在教学过程中体现出的喜怒哀乐丰富了课堂教学，成为了教学的生命线。而在现代教育背景下，教师有种错误的认知：即教师在教学中更关注的往往是教学的结果，学生能不能解这一类题，是不是按照教师的要求，是不是按照教材上的规范解法等成了教师关注的焦点。其实这样的关注点的偏差很大，原因在于“考试”的指挥棒，被考试牵着鼻子走。因此，我们的教学往往忽视了教学中重要的关注点——关注教学过程本身。在本案例中，显然教师更多地关注了学生获取知识的过程，让学生自己去体验方法的优劣，用事实来求同存异、去伪求真……
三、教给学生科学的解决问题的策略
不是教材中安排的解决问题的策略才是策略，学生在学习中遇到矛盾怎样来解决，遇到争论怎样来定论，教学过程中教师就可以让学生体验到科学的解决问题的策略。案例中矛盾产生后，教师先是安排学生讨论，尝试用各种观点、论据说服对方，在无果后教师并没有强加观点于一方，而只是表达了自己的想法，让学生自己决定方法，这样的做法是科学的。学生在学习知识的同时，也学习到这种科学的解决问题的方法和态度。这对于学生的影响要大于获取知识本身。
本文介绍了计算机辅助数学教学的重要软件《几何画板》的主要功能，并通过实际案例分析说明《几何画板》在课堂教学过程中的重要作用.
【关键词】计算机辅助教学;几何画板;三角函数
一、计算机辅助数学教学的重要工具――几何画板
计算机辅助教学（ComputerAssisted Instruction，简称CAI）是教师为了提高教学效果和效率，利用以计算机为中心的丰富的教学资源，改进传统教学，或为学生提供一个学习环境，使学生通过与计算机的交互对话进行学习的一种教学形式.
《几何画板》（The Geometers Sketchpad）是计算机辅助数学教学的重要软件之一.它的主要功能有： ①画出各种欧几里德几何图形;②画出解析几何中的所有二次曲线;③画出任意一个初等函数的图像;④对所有画出的图形、图像进行各种变换，如平移、旋转、放缩等;⑤对所作出的对象进行度量，如线段的长度、封闭图形的面积等.
下面笔者通过分析《几何画板》辅助教学的实际案例来说明其在数学教学中的重要作用.
二、《几何画板》使用案例
（一）案例背景
三角函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换按变换方向的不同可以分为两类：①沿y轴方向的伸缩变换;②沿x轴方向的伸缩变换和平移变换.
沿y轴方向的伸缩变换在没有平移变换的干扰下比较容易掌握.沿x轴方向的平移和伸缩变换是教学的重点和难点，如果只发生单一的变换，学生能够正确的理解并进行处理，一旦两种变换同时存在并且需要对其进行综合应用时，学生就会出现一些困难.
（二）问题情景
问题1：将函数y=sinx的图像进行怎样的变化后能得到函数y=sin2x+π3的图像？
分析：这个问题是三角函数图像变换中常见的练习题目.
解法一：先进行伸缩变换再进行平移变换.
学生出现的错误解法是：将函数y=sinx图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π3个单位长度.由此实际得到是函数y=sin2x+2π3的图像，而非函数y=sin2x+π3的图像.
正确的解法是：将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sin2x+π3的图像.
对于这种平移变换中的错误，在高一第一学期介绍图像变换时是作为一个易错点进行突破的，因此在这里只要进行知识的复习和巩固，学生便能够接受.同时若伴有《几何画板》进行演示，则可以增加学生对三角函数平移变换的感性认识.
解法二：先进行平移变换再进行伸缩变换.
学生容易出现的错误解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sinx+π6的图像，然后再将函数y=sinx+π6的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.由此得到的函数图像实际为函数y=sin2x+π6的图像，而不是函数y=sin2x+π3的图像.
正确的解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π3个单位长度，得到函数y=sinx+π3的图像，再将函数y=sinx+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x+π3的图像.
对比两种的做法，我们不难看出，出现此种错误的原因是学生没有准确地把握函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.下面我们可以利用一个更简单的例题来说明学生的这种错误.
问题2：将函数y=sinx+π3的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，所得到的解析式是什么？
正确的答案是：所得到的函数解析式为y=sin2x+π3.然而学生可能得到的函数解析式是：y=sin[2x+π3]=sin2x+2π3.
此时我们便可以利用《几何画板》进行演示来帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.
（三）问题解决
步骤1：演示y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]两个函数图像伸缩变化的过程，让学生观察它们区别.（在说明两个函数的变化过程时，可以选取两个具体的函数，这样利于学生进行观察.）
制作过程：①绘制两条可变线段AB和CD;②度量线段AB和CD的长度，并将结果分别命名为ω和υ;③分别绘制出函数y=sinωx+π3和y=sinυx+π3.
演示方法：分别变换线段AB和CD的长度引起ω和υ的变化，让学生观察y=sinωx+π3和y=sinυx+π3两个函数图像变化的相同之处和不同之处.
观察结论：当ω和υ发生变化时，函数y=sinωx+π3和函数y=sinυx+π3图像变化的共同点是：都发生了沿x轴方向的伸缩变化.不同点是：当ω变化时，函数y=sinωx+π3的图像以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的（事实上，当x=0时，无论ω取何值，均有y=sinωx+π3=32）;而当υ变化时，函数y=sinυx+π3图像则是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的（事实上，当x=-π3时，无论υ取何值，均有y=sinυx+π3=0）.
步骤2：演示函数y=sin（ωx+φ）图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.
制作过程：①在x轴上选取一个点M，然后标记它的横坐标xM;②计算出2π3xM并令结果为ω;③绘制新函数f（x）=sinωx+π3.
演示方法：拖动点M，让学生观察ω和xM之间的变化关系.
观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到ω和xM之间的变化关系：当ω变化时图像上点M的横坐标变为原来的1ω倍，即当ω变换化时，图像上每一点到y轴的距离变为了原来的1ω倍.这就说明函数y=sinωx+π3的图像是以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的.
步骤3：演示函数y=sin[υ（x+φ）]图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.
制作过程：①在x轴上绘制点D（-π3，0）;②过点D构造x轴的垂线;③在x轴上选取一个点N并标记它的横坐标;④计算出d=|xN-xD|，此时d为N点到D点的距离;⑤计算出πd并令结果为υ;⑥绘制新函数f（x）=sinυx+π3.
演示方法：拖动点N，让学生观察υ和xN、υ和d之间的变化关系.
观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到：当υ变化时，图像上点N的横坐标并没有变为原来的1υ倍，而d（图像上点xN到直线x=-π3的距离）变为原来的1υ倍.这就说明函数y=sinυx+π3是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的.
（四）问题结论
“一群声音”是指课堂中学生们的声音。在课堂教学中我们需要学生的声音，然而近几年来，传统的数学课堂却被“一个声音”（教师的讲授）占据主导位置，以“标准答案”为信仰不动摇，忽视了“一群声音”的力量。课堂原本属于学生，课堂是老师和学生沟通交流的场所，情感交流的圣地。作为教师，在课堂中应摒弃传统观念，选择相信并尊重学生，创设有利于学生主动发展的环境，让学生在这样的环境中获得知识的增长。
1.教师授课从“台前”走向“幕后”
在传统的课堂教学中，讲台是教师的“主阵地”，如今讲台不只是老师的“阵地”，学生也可以走向讲台表达自己的观点，这样看似形式上的改变，实际是学生从被动的听众到主动表达自己观点的转换，这样的课堂对于学生来说更生动有趣。
学完《分数基本性质》后有这样一道习题：3/4 的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应加上多少？传统的教学模式，教师会启发学生思考：分子3加上15，增加了5倍，要使分数大小不变，分母4也应该增加5倍，所以答案是20。一道习题在教师的引导下不到一分钟就讲完了。为了听到“一群声音”，教师在练习时没有急于讲解，而是给学生独立思考的时间，题目出示后几分钟，学生就纷纷举手抢答。
回答1：3/4的分子3加上15，增加了5倍，要使分数大小不变，分母4也应该增加5倍 ，所以答案是20。
回答2：3/4的分子3+15=18，3到18扩大了6倍，要使分数的大小不变，分母4也应该扩大6倍是24，24-4=20，所以答案是20。
回答3：用15÷3/4也得到20。因为15除以3得到分子增加的倍数，再乘分母4就得到分母应增加的数了，15÷3×4=15÷3/4，所以这个方法也可行。
这就是来自“一群声音”的解答方式，我们课堂教学的目的并不是教师给予学生答案。在数学课堂中，学生是老师教学的对象，他们有自己独特的思维方式。在课堂教学中，只有让学生主动探索，勇于实践，积极主动去体验和思索，大胆发表想法和见解，给他们营造创新的氛围和宽松的环境，学生创新的火花才会被点燃，才能真正体会到教学是师生共同成长的生命历程。
2.教师授课从“旁观”走向“参与”
小组合作探究学习是现如今课堂组织的一种重要形式，学生在合作中相互交流、讨论，思维不断碰撞，这期间，授课老师容易被游离于小组之外。
在学完《解决问题的策略》后，笔者出示一道练习题让学生进行小组讨论、合作交流：甲队有30 人，调出1/5 到乙队后，这时甲乙两队的人数相等。求原来甲乙两队的人数比。通过小组讨论后，第一小组讨论结果：甲队调出的人数30×1/5= 6（人），乙队现在有的人数30-6 =24（人），乙队原来有的人数24-6 =18（人），所以原来甲乙两队的人数比是30s18=5s3。第二小组讨论结果：“甲队有30 人”这个条件可以不用；根据甲队调出 1/5到乙队，就是把甲队的人数看作单位“1”，把甲队的人数等分成5份，给乙队这样的1份，这时甲乙两队的人数相等，说明乙队现在有这样的4份。因为这4份中有1份是甲队给的，乙队原来应该有这样的3份，所以原来甲乙两队的人数比是5∶3。第三小组讨论结果：原来甲乙两队的人数比就是：分母∶（分母-分子×2）=5∶（5-1×2）=5∶3。因为根据“甲队调出1/5到乙队”， 那么甲队就有5份（分母）；再根据“这时甲乙两队的人数相等”，说明甲队就应该比乙队多所给份数的2倍（1×2，分子×2）才行，那么乙队就应该有（5-1×2，分母-分子×2）份；所以原来甲乙两队的人数比就是：分母∶（分母-分子×2）=5∶（5-1×2）=5∶3。
每个小组是一个群体，小组汇报交流是群体与群体之间的思维对话，授课老师应用心去体会，用情去指导，用科学有效的方式调动学生的积极性，在课堂上师生之间形成互动、平等交流，这样老师就可以从一个“旁观者”的身份变为群体讨论的参与者。
3.结论
由于学生认知的特点，小学数学主要以合情推理为主，通过归纳和类比等推断某些结果，对于演绎推理，小学阶段不能用它来证明结论，怎样说明合情推理得到的结果是否正确呢？一般情况下，不正确请举出反例，说明猜想结果正确只有举例验证，虽然这些是推理的一部分，但不是全部，应该让小学生找到多种方法来证实自己的答案，也就是要多给学生"说理"的机会，在实际的教学过程中，教师要重视学生"说理"的培养。
1给学生说理的工具，避免只追求答案的正确性
语言，一个非常强有力的说理工具，它也并非靠单纯书面答案就可以形成的。学生在学习语言的同时已经掌握了一些基本的逻辑词汇，包括"不""以及""或者""所有""一些""总是""以及""只能""如果就会"，还有"因为"，等等。教师应当经常使用这些逻辑词汇，来帮助学生逐渐熟悉逻辑语言，并且学会尝试应用它们来说理。
2给学生说理的空间，不满足于就事论事
小学数学教材根据课程标准的要求，设计了不少学习活动，引导学生提供观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，一些猜想。在实际教学过程中，有时我们仅仅满足于得到规律和猜想，而未对规律和猜想进行评价，没有引导学生回答以下问题：为什么有这样的规律和猜想呢？这样的规律和猜想普遍适用吗？下面看国内和国外两个类似的案例。
国内案例：两位数乘两位数的新授课，如何计算24×16，其中一位学生提出了如下的算法：我是这样算的，首先把16 除以2 等于8，24 乘以8 等于192，再用2乘以192，得到384。
教师问全班学生："你们都听明白了吗？"
"不明白，"学生几乎是齐声地回答。
"我也不明白，"教师脸上露出一副困惑的样子，
"为什么要16 除以2，我们这里明明是做乘法运算，怎么会出来除法。我想不通，你能再说得清楚一点吗？"
这位学生犹豫了一下，说："我是这样想的，16 里面有两个8，所以我先从16 中拿出一个8，用它去乘以24，得到192，然后再用2 乘以192，得到384。"教师又问全班学生："你们听懂了吗？"大多数学生仍在摇头。教师说："我有点明白了，他是这样来考虑的，"教师说着在黑板上写下：
16÷2=8；24×8=192；192×2=384
教师继续说："大家看，他的想法是把两位数乘以两位数，转化为两位数乘以一位数，因为两位数乘以一位数我们已经学过了。那么，怎么转化呢？他先将16 除以2，得到8，然后用8 去乘24，这是两位数乘以一位数，我们都能算，得到的结果是192。但是，刚才我们除了一个2，所以现在还应该把这个2 补回去，因此用2乘以192，得到384。现在都明白了吗？"仍有几个学生在摇着头，但教师没有在意，开始讨论新的解法。
美国案例：在泰勒女士的三年级课堂上，学生正在讨论怎样去计算4×8。一个叫马特的学生解释道："我想，2×8=16，然后你只要把它加倍就行了。"教师再让几个学生重新叙述一下这个方法，接着问全班："你们认为马特的方法，能用来解除4伊8 以外的其他题吗？"当学生的回答很不一致时，她让学生先试算几个类似的题，然后大家再集中在一起讨论马特的方法。
在做了几个问题并和一个学生讨论了为什么"加倍再加倍"是乘4 的一种方法后，教师重新召集学生做进一步讨论。学生对马特的策略是否总适用的反映不一样。
卡罗尔：因为如果你用2 乘8 和4 乘8，你把得数加倍了。每次都能用。
玛利亚：一定是加倍了，因为你是重复做的，就像你用2 乘8 得16，然后你再用2 乘8 得16，那么一定是32。
史迪文：你所做的是8 个8 个地数，当你往前数，就会每次跳过8个数。你做了两遍，所以就像把它们加倍了。
马特：我要看扩大三倍是不是也行。那么我先算2乘8，再算6 乘8，行。用3 去乘2 乘8 的得数，结果就扩大3 倍了。
上面两个案例普遍特征就是一个乘法算式中因数本身可以分解，分解后的新因数可以按任何方式相乘。
3给学生说理的自由，不可过于注重实例验证过程
我们都知道，数学猜想是归纳推理的结果，但它又具有不确定性，因此，数学猜想必须通过验证，以确定它的科学性。如何让小学生能合理选择和运用推理方法进行验证或论证，并体会证明的必要性。小学生的推理方法有两种：实例验证和演绎论证，但以前者为主。在小学高年级，学生应该认识到举几个例子说明猜想正确是不够的，他们应该通过考虑一系列例子，对他们的发现的联系进行说理，应鼓励学生在他们已知的基础上进行推理。
例如，下面是《一个小数乘十、百、千引起小数变化的规律》教学片段。
师：知道了一个小数乘10 的规律，（慢）那么我们推想一下：一个小数乘100、乘1000，小数点又会怎样变化呢？（板书）
生：乘100 小数点会向右移动两位，乘1000，小数点会向右移动三位。
师：这只是我们的推想，（在板书上打上问号）还需要（验证）。你打算怎样验证？
生：想个小数，再算一算乘100、乘1000 的结果，比较一下。
师：他是这样验证的，你们呢？老师验证的方法有点不同，我也先选一个小数，先猜出结果，再用计算器验证是否正确，可以吗？那我们就来试一试。以5.08 为例，先猜想结果，再用计算器验证。
师：经过研究，5.04 乘100、1000，小数点的移动和我们的猜想一样，其他小数呢？
生：还要验证。
同桌合作：
（1）每人先想一个小数，填进括号里。
（2）猜想它乘100、乘1000 的结果，写在表格中。
（3）同桌交换，用计算器验证猜想的结果，正确的打钩，错的打叉。
一
我在教授“3的倍数的特征”这一节时，为了活跃课堂气氛，故作悠闲地与学生聊天，让学生猜猜老师的年龄（因为关于老师的话题学生比较感兴趣）。此时教室里如同炸开锅似的，学生纷纷猜测：35、40、33、28、25……看着学生一张张兴奋而又疑惑的笑脸，我认真地对学生说：老师的年龄既是5的倍数又是6的倍数，究竟是多大呢？片刻安静后，学生一起说：30岁。在轻松的交流后，我让学生任意说说能被3整除的一位数和两位数，它们有什么特征呢？
生1：个位上的数是3的倍数的数（显然受到2的倍数的影响），接着很自信地列举了几例，如：3、6、9。
师：那13、23、26呢？（此时生1哑口无言，羞愧地坐下。）
生2：个位与十位上的数都得是3的倍数（恍然大悟如同发现新大陆一般）。
沾沾自喜地列举几例，如3、6、33、36、69、99等。
师：你说得真棒！个位与十位都是3的倍数的数都能被3整除，那18、27、42呢？它们是不是3的倍数？
生：是……（齐答）
师：那它们的个位和十位也都是3的倍数吗？
（通过老师层层分析、一连串的提问，此时学生明白了：3的倍数并不像2的倍数那样，单从数位上的数字是看不出来的。）
师：（进一步解答）给你们1、2、3三个数字，能不能组成一个能被3整除的三位数？
生：123、132、213、231、312、321（教师手板书，并要求大家验算证实。）
师：再给你们1、3、3三个数字，能不能组成一个能被3整除的三位数？试试看！（师随手板书：133、313、331）
验算之后生全部摇头……
师：（乘胜追击，答惑解疑）仔细观察，这两组数有什么特点？
生3：每组数的数字不变，排列顺序不同，各个数位上数字的和不变。
师：（微笑着启发）为什么第一组中的数都能被3整除，而第二组中的数不能？
（大家在相互交流的基础上，运用不完全归纳法，通过自己的探索经历概括出3的倍数的特征，在探索过程中体验到了成功的喜悦，且印象深刻。）
二
《数学课程标准》强调数学教学必须注意从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，使他们有更多机会从周围熟悉的事物中学习数学、理解数学，让学生感受到数学就在他们的周围。下面笔者就简单地谈谈在这一节课上获得的认识。
（一）寓教于乐，激发学生的求知欲。
没有魅力的课堂是缺乏生机和乐趣的课堂，成功的课堂必定能激起学生的情趣。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”活泼好动是孩子的天性，在玩耍中学习学生心情愉快。学生能在师生互动的活动中体验快乐，学到真知。例如：在教授本课内容时，我没有直奔主题，因为那样容易使气氛变得紧张，抑制学生的思维，而是先与学生聊天谈话套近乎。猜老师年龄的活动一下子活跃了课堂气氛，激起了学生探索的欲望，点燃了学生思维的火花。在和谐的情感交流中，激发了学生的求知欲望，接着再进行新知的教授，流畅的思维、活跃的气氛最大限度地保障了知识的延续。
（二）重视分析引导，教会学习方法。
学习的目的在于应用，在数学学习过程中，学生对知识的应用总是由弱到强，由盲目到有根有据。学起于思，思源于疑，有疑问才能启发学生的探索欲望，使他们的思维处于主动、积极地获取知识的状态。例如在教授本课时，我首先让学生回忆了5、6的倍数的特征，有了知识的铺垫，学生心里踏实了许多。另外，在讲到3的倍数时，学生不可能一下子说出来，此时，我在给予鼓励的同时，没有直接否定，而是以设问的形式让学生自己找到答案的不足，再去思索新的问题，层层推进，最后比较两组数据，找出它们的特点。此时学生眼前一亮，豁然开朗，自己归纳总结出了“3的倍数的特征”，他们经历了探索的过程，体验了成功的喜悦，还锻炼了思维，可以说这是教师煞费苦心、步步引导、重视分析的结果。
（三）注重训练巩固，培养学习能力。
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