“探索”型试题一般是指命题中缺少一定的题设条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，由此，“探索”型的试题不像传统的解答题或证明题那样，在条件和结论给出的情境中只需进行由因导果或由果导因的求解，从而定格于“条件――推理――结论”这样一个封闭的求解模式之中，而是要我们灵活运用所学知识，依据题设条件大胆地猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给出的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.探索型问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而备受关注，越来越成为热点和亮点考题.
主要特点：开放型试题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结果的多样性，它是开放题的目标：思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径：知识的综合性，它是开放题的深化.
基本类型：规律探索型、条件开放型、结论开放型、条件与结论都开放型、解题策略的开放、探索存在型等.
重点题型例析
一。规律探索型
规律探索型试题就是在一定的条件状态下，要求我们去探索发现有关数学对象所具有的规律性的题目.
例1 （2014.娄底）如图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，…，则第n（n，为正整数）个图案由____个组成.
分析：仔细观察图形，结合图案每条“边”上的的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.
解：观察发现：第一个图形有（3x2-3+1）=4（个），第二个图形有（3x3-3+1）=7（个），第三个图形有（3x4-3+1） =10（个），…，第n个图形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（个）.故答案为3 n，+l.
反思：对于找规律的题目应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，图形的变化过程中往往蕴涵着数字变化，所以本题既可从图形的变化过程中寻找规律，也可从图形数字变化过程中寻找规律.
二、条件探索型
条件开放探索题是指结论给定，条件未知或不全，或满足结论的条件不唯一，需探求与结论相对应的条件.解答这类问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.
例2 （2014.巴中）如图2，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF
（1）请你添加一个条件，使得BEH≌CFH，你添加的条件是____，并证明.
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由.
分析（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当
三、结论探索型
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性.要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基础知识的应用能力.解决此类问题的一般思路是：从剖析题意人手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等得到结论.
例3 （2014.淄博）如图3，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB.BC懿中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=A C=BD.连接MF ，NF.
（1）判断BMN的形状，并证明你的结论.
（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EA B+∠EBA =90。，根据三角形外角的性质，可得答案.（2）根据i角形中位线的性质，可得MF与AC的关系：根据等量代换，可得MF与BD的关系；根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系；根据等量代换，可得NM与BC的关系；根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案.
解：（1）BMN是等腰直角三角形，
证明：因AB=AC，点M是BC的中点，故AMBC，AM平分∠BAC.
因ACBD.故∠AEB=90。.
关键词：开放题；探索；策略
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02
通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.
开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：
1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.
例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .
分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.
解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.
2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.
例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足什么条件时，有AB1BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
分析：把结论AB1BC1看作已知条件.
解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1CBC1，因此，要AB1BC1，则只要BC1平面AB1C，即只要ACBC1，有直三棱柱可知，只要ACBC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1B1C1即可.
3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.
例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.
解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2
4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.
例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.
分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.
解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：
f（1）=1+b+c
由（1）+（3）得-11
5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.
例5 设x，y为实数，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=Φ？
关键词： 课堂教学； 探索性思维； 培养
中图分类号： G630文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）07-0110-02
探索性思维是指：对未知问题或规律寻求认识和解决的思维活动，是一个多环节，多层次的思维体系。人类社会的发展需大量具有创造能力，勇于探索创新的人才。素质教育发展到今天，数学教学的主要任务已不再是简单的知识传授和方法指导，而是以知识为载体，通过课堂互动来培养学生的各种能力，特别是探索性思维的能力。本文以初中数学课堂教学实践为例，谈培养学生探索性思维能力的体会。
一、利用课本原型知识，从暴露知识的发生，发展形成过程，培养学生探索性思维
教科书是学生学习知识，获取经验的主要渠道，在编排体系上，以教育理论为依据，遵循学生的认识规律。特别是数学定理的教学，教师应抓住原型知识的发生，发展形成过程，创设情境，为学生的思维加梯、搭桥，从而培养学生的探索性思维。
例：在三角形内角和定理证明的教学中。（指导学生完成命题证明的前三步骤：1.根据命题含义画图；2.写出已知项；3.写出求证项）
命题：三角形三个角的和为180°。
已知：如图Ⅰ―1，ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
学生在初接触定理证明时，极易产生如下疑问。
疑问一：三个并不知大小的角的度数和怎能恰好为180°
疑问二：三角形形状的任意性，并不能体现出三角的特殊位置而决定度数和。
疑问三：三角形三内角和为180°，以前是在实验中，通过撕纸拼图体会结论，无法符号化逻辑推理。
教师如何引导学生思索，寻求解决疑问的方法，这是教学的关键。
引导学生思考：已学过哪些几何知识，能产生180°的角的关系？
分析一：一个平角为180°。
分析二：两直线平行，同旁内角互补。
这样学生的思维自然就将三角形的三个角转化成①一个平角、②平行直线中的同旁内角上来了。当图形结构不符合条件要求时，也就顺理成章的出现添加辅助线，让学生的思维不断深入探索。
如图Ⅰ-2、3中通过辅助线将三个角转移到三角形的某一顶点处；
图Ⅰ-4、5、6中通过平行将三个角转移到三角形的某一边上、三角形内任一点处、三角形外任一点处。方法的多种形式紧紧抓住了“把三个角搬到一起，让三个顶点重合，两边形成一条直线。”暴露的是“平角为180°”的这一原型知识。
而（图Ⅰ-7）中将三角形的三个角经过平行转化成平行直线中的同旁内角。暴露的是“两直线平行，同旁内角互补。”的这一原型知识。通过上述灵活多变的形式分析，引导学生抓住课本“原型知识”不变之根本，充分联系新旧知识间关系，化解难易知识间矛盾，在发生、发展中探索解决问题的方法，培养了学生的能力。
二、引申演变例、习题，在听讲、练习中培养学生的探索性思维
课本例、习题具有一定的典型性、示范性，教学中正确引导学生对典型例、习题展开探索，适当的引申、拓展，一方面可激发学生的学习兴趣，另一方面也可探索出一些新的结论，新的解决问题的思想方法，从而逐步培养学生的探索性思维。
例：已知：如图Ⅱ-1，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB・AC=AE・AD
此题为初中几何考察学生双基，逻辑思维的典型例题，它的引申、演变对学生掌握几何知识的综合应用及思维发展有较好的帮助。
引申分析：
1.连结BE，直径所对圆周角为90°，构造两Rt相似。
2.解证此题的基本思想方法是什么？（构造相似三角形，对应边成比例）
3.指出重要知识点，叙述证明的重要步骤。
学生对此题思想、解法了然于胸后，教师顺势进行演变、变式。
演变变式（1）：如图Ⅱ-2，圆内接ABC中AB=AC，D是BC边上任一点，E是直线AD和外接圆的交点。求证：AB=AE・AD
解析：连结CE，等弧所对的圆周角相等，构造ACD与AEC相似.
演变变式（2）：如图Ⅱ-3，AE是O的直径，BC是过E点O的切线，若AB、AC与O相交于F、M时。求证：AF・AB=AM・AC
解析：连结FM，由弧度得∠BAE+∠AMF=90°，RtABE得∠B+∠BAE=90°，构造AMF与ABC相似.
演变变式（3）：如图Ⅱ-4，若将图Ⅱ-3中的BC向上平移，使BC与O相交于两点，AB、AC与O相交于F、M。
求证：AF・AB=AM・AC
解析：连结FM，图形变化，思维方法不变。
这一组例题由简单到难，条件逐步变化，在多向探索条件的基础上充分体现的思想方法是：构造相似三角形，对应边成比例来证题。此例题的3种变式，体现出该例题的典型性。原题与变式（1）强调的是条件与结论的探索，变式（2）、变式（3）则是在原题基础上进一步挖掘知识的应用。学生在题目条件不断变化中激发了思维的活跃性，创设出了探索平台，提高了学生学习兴趣。探索性思维得到充分训练。
综上所述，探索是一种重要的思维方法，它可以使我们发现真理和论断。作为教育工作者，把培养学生的探索性思维做为长期潜心研究的课题。本文只是从数学课堂教学中紧抓“课本原型知识”；“利用例、习题的典型性，开放性”，浅谈培养学生的探索性思维。
参考文献：
[1] 《义务教育课程标准（北师大）》。教师用书，七年级数学（下）：163页-164页
【关键词】 平行线；错误；思考；启发；思维
一节公开课的教学内容是沪教版 “13．5（5）平行线的性质”，本课的主要内容是平行线性质和判定的综合应用，让学生进一步体会说理的分析方法和说理过程的表述规范，是今后学习几何证明的基础，在人类的生活和生产实践中也有广泛的应用.
教学片段1：搭建思考的平台
自然贴切的课堂导入是激发学生求知欲，吸引学生注意力的内在动力. 巧妙导入新课，能让学生在愉悦的情境下产生对知识的好奇和渴望，增强学生学习的积极性. 如果能够恰当地利用学生熟悉的背景或图形来完成这一过程，那就更加事半功倍了 .
问题讨论（情景引入）
师：本节课探讨如何运用平行线的判定和性质来解决实际问题. 如图，（1）要说明BD∥AE，请添加一个适当的条件，并说明添加的依据，请思考.
生1：∠AFD ＝ ∠FDE，依据内错角相等，两直线平行.
师：这的确是一对内错角，它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的. （启发学生思考）
生1：直线AE和直线CE被直线DF所截形成的，而直线AE和直线CE是不平行的，更不能说明BD∥AE.
师：你添加的条件合适吗？
生1：我明白了. 应该添加∠BDF ＝ ∠DFE.
出示问题：（2）如果DF∥AC，请在图中找出相等的角或互补的角，说出依据.
师：平行线的判定和性质的区别是什么？
生2：平行线的判定是用来判定两条直线平行，平行线的性质可以得出角的关系.
师：上面两个问题的条件和结论分别是什么？
生3：第一个问题是由角的关系推出平行关系，第二个问题是由平行关系推出角的关系.
教师板书 ：
平行线的判定
角 线
平行线的性质
片段1反思：这一问题将平行线的判定和性质进行全面概括，给学生许多可以思考的问题，抓住了学生的注意力. 一堂课要有一个自然贴切的课堂导入，才能在最短的时间内抓住学生的注意力. 给学生创设一个思考的平台，让学生在寻找角的关系中回忆平行线的判定和性质，利用这一设问激发学生思考问题的兴趣，在错误中认识问题的本质，发散学生思维，引发学生对数学问题的思考. 学习数学离不开学生的学习经验，在这里，将平行线的判定和性质应用探索浓缩在一个图形中，通过设计一系列问题，揭示了课题，同时让学生感悟要判定两直线平行，可以寻找角的关系，如一对同位角相等，一对内错角相等或一对同旁内角互补. 依据平行线的判定方法. 由平行线的性质可以得出角的相等或互补关系. 培养学生“用数学”的意识和能力.
教学片段2：变式中启发思维
（课件出示）例题1：已知：∠1 ＝ ∠2 ， ∠C ＝ 70°，∠ADE ＝ 70°.问 BD平分∠ABC吗？
（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析： 要说明BD平分∠ABC，就是要说明什么？
生：两个角相等，即∠1 ＝ ∠DBC.
师：题目中有这个条件吗？
生：没有.
师：有与此有关的条件吗？
生：有∠1 ＝ ∠2.
师：结合这个条件，你想到什么？
生：只要说明∠DBC ＝ ∠2.
师：∠C ＝ 70°， ∠ADE ＝ 70°这两个条件的目的是什么？
生：是为了说明∠C ＝ ∠ADE.
师：这两个角有特征吗？
生：是一对内错角
师：由此可以得到什么结论？
……
（3）打出证明过程，突出说理的规范表达.
归纳思考问题的策略：由已知条件，想到什么，依据是什么.
（4）请同学们思考：（如果改变题中的条件和结论，该如何求解）
本题中的四个数学语句重新组合
变式：已知： BD平分∠ABC，∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ 70°.求∠ADE 的度数. （本题让学生口述说理）
例题2：探索.
已知： ∠A ＝ ∠D，∠C ＝ ∠F ，
问： CE与BF平行吗？为什么？
（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析：
师：由∠A ＝ ∠D这个条件，你想到什么？
生：FD∥AC.
师： FD∥AC作为条件得到什么？
生：可以得到许多结论，如∠F ＝ ∠FBA，∠C ＋ ∠FEC ＝ 180°……我不知道需要哪个结论？
师：你问得很好. 大家都在思考同样的问题. 在这里也许你的思维受到一定的限制.
教师追问：你观察到题目中还有一个条件吗？这个条件的合理使用是解决问题的关键.
生：选择的结论应该考虑∠C ＝ ∠F这个条件. （学生受到启发，马上积极举手发言，思维顿时活跃起来，想出了多种思路解决本题. ）
……
变式：已知： ∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ ∠F，问：∠A ＝ ∠D吗？为什么？
通过该例题的分析，学生已初步感知解决问题的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么关系”具体分析，所以本环节让学生尝试独立完成说理，鼓励学生进行思考分析. 帮助学生进一步巩固对几何说理的基本方法的领悟和规范表达的体验.
片段2反思：例题关注学生的知识的应用，让学生通过同桌交流、小组交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使学生的合作探究，培养学生的思维，又提高了学生的语言表达能力，通过教师引领启发分析，深入分析已知条件，形成初步的分析方法，变式练习可以把初步形成的分析推理方法及对规范表述的体会进一步清晰明朗化. 用合理的启发引导，使学生的目光凝聚在一起，使学生的思维动起来.
教学体会
（一）学生的思维发展来自于教师的正确引导
本节课主要采用了传统的启发教学，以优化教师的教学方法和学生的学习方式为目的，将教材内容重组和整合，进行了大胆地探索. 学生由于基础不同，思维也存在差异，会给课堂提问造成困难. 如果老师在课堂中包办代替，学生给出错误的答案，不针对错误原因进行引导，而是直接给出正确答案，学生就会失去了思考的机会，对教材的理解会大打折扣. 如教学片段1，学生回答∠AFD ＝ ∠FDE，应对其错误原因进行分析和探讨，引发学生思考. 另外，如果教师死用教材，就题讲题，学生会失去动脑的机会，但如果对设计的问题进行变化，解读题目的本质，便能使学生积极思考，触类旁通，从而激活思维. 又如教学片段2中的例题2，在说理的基础上进行了变式提问，把问题进行拓展，知识进行整合，在探究的过程中，鼓励学生发表意见，学生出现错误时也并不急于打断学生，而是让学生说说自己的想法，充分暴露其思维的过程，这样，有助于学生从不同程度、不同角度积极思考，激活学生的思维.
（二）让学生在探索纠错中体验成功
整节课中，始终以学生自主探究、合作学习、全班交流的方式来开展知识应用学习. 课堂上，为学生提供了独立思考、分析错误，再思考，相互讨论、动手实践的过程. 授课时，通过创设情境，让学生演示、归纳、思考，经历知识的形成过程，增强他们学好几何的信心，让学生尝试通过自己的努力思考获得成功的喜悦. 例如，为了区别平行线判定和性质，让学生通过填表弄清条件和结论；在学习例题时，又让学生自己尝试解决问题，感受知识应用的乐趣……在整个过程中，学生自始至终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，学生有较大的学习空间.
【参考文献】
一、模型探究
（3）本问关键是如何确定平行四边形的位置与形状。因为M、N均为动点，只有F、G已经确定，所以探究确定平行四边形的位置与形状难度更大，但若先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照上述规律，写出第四个顶点的坐标。再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标。从而求得M点的坐标。那么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题转化为利用代数方法加以解决，大大降低了对解题能力要求。
归纳：本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，对解题能力要求较高。难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，但若通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题有一定的难度，需要一一分析并求解，容易遗漏。可是将其转化为利用代数方法加以解决就相对简单多了。
三、解题思考
1、用动态的观点看待几何图形――把平行四边形看成是由一条线段平移而成；
2、用数的运算来描述图形的变化――用几何变换去认识几何图形；
3、用代数方法来解决几何问题――运用分类讨论、数形结合、方程、几何变换等数学思想。
四、解题策略
先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）。写出第四个顶点的坐标。最后根据题目的要求（动点在什么线上），求出第四个顶点的坐标。
五、方法特点
1、不会遗漏。回避了对复杂图形的相互关系的分析；
2、不需画图。可直接写出第四个点的坐标，
例1 已知：如图1，给出下列论断DE=CE，∠1=∠2，∠3=∠4，请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明。
分析：（1）已知：DE=EC∠1=∠2∠3=∠4.又∠DEA=∠CEB
所以AED≌BEC用（AAS）
（2）已知DE=EC∠3=∠4∠1=∠2，
因为∠3=∠4，所以AE=EB。
又∠DEA=∠CEB
所以AED≌BEC用（SAS）。
（3）已知：∠1=∠2∠3=∠4 DE=CE
因为∠3=∠4，所以AE=EB
又∠DEA=∠CEB，
所以AED≌BEC用（ASA）。
例2 如图2，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写一种情况）。①AE=AD②AB=AC③OB=OC④ ∠B=∠C
已知：
求证：
证明：
说明：此两题都属于全开放题型，对题设和对结论都由解答都自己组合，再进行探索论证。识别两个三角形全等的关键是寻找对应关系；全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角；有对顶角的，对顶角是对应角。
例3 如图3，已知ΔABC是等腰三角形，AB=AC，BD、CE是ABC的______，求证：BD=CE。
题目中的横线部分是被墨染污了的无法辨认的文字，请你根据题目提供的信息，在横线上填上使结论成立的条件，并加以证明。
解：（1）高线 （2）中线 （3）角平分线
（1）证明：因为BD、CE是ABC的高线，
所以∠ADB=∠AEC=90°
又AB=AC，∠A=∠A,
所以ADB≌AEC（AAS），
所以BD=CE[本步也可证BDC=CEA（AAS）]。
（2）证明：因为BD、CE是ABC的中线，所以AE=EB,AD=DC。
又AB=AC，所以EB=DC，
∠ABC=∠ACB且BC=BC，
所以DBC≌ECB（ASA），
则BD=CE
（3）证明：因为BD、CE是ABC的角平分线，所以∠A=∠ABC，∠2= ∠ACB,
又AB=AC，∠ABC=∠ACB,
所以∠1=∠2，且BC=BC,
所以DBC≌ECB（ASA），
则BD=CE。
说明：此题都属于题设全开放题型，对不同的题设，都可得到同样的一个结论。但对不同的题设，解答的思想方法、探索论证的依据都有所不同。
例4 如图4，已知OA=OB，OC=OD，AD和BC相交于E。求证：OE平分∠AOB。
说明：本题属于半开放题型，对题设进行开放，探索同一个结论。本题利用了全等三角形的三个判定定理，还利用了证明中的三个特殊条件：公共角、公共边和对顶角。以及全等三角形的性质；对应角相等、对应线段相等等性质。必须有一定的逻辑推理能力、综合分析能力和计算能力才能完成。
例5 如图5，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ADB与等边BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
分析：题中有ABE≌DBE，ABF≌DBG,EBF≌CBG结论先由解答者提出，再进行探索论证。
证明：（1）ABE≌DBE
在等边ABD中，AB=BD，∠ABD=60°
在等边BEC中，BE=BC, ∠EBC=60°
所以∠ABE=∠DBC=120°
所以ABE≌DBC（SAS）
则 AE=DC,∠1=∠2，∠3=∠4
（2）在ABF和DBG中，
∠1=∠2AB=BD∠BF=∠DBE=∠60°
所以ABF≌DBG
（3）在EBF和CBG中，
∠3=∠4BE=BC∠EBF=∠CBG=60°
所以EBF≌CBG
说明：本题也属于半开放题型，本题中有多种结论，结论先由解答者提出，再进行探索论证。本题利用了等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，再利用全等三角形的性质定理对结论进行探索证明。
练习：
1. 如图6已知C是∠AOB平分线上一点，点P，P'分别在边OA，OB上，如果要得到 ，需要添加以下条件中的一个即可，请你写出所有可能的结果的序号，并加以说明。
①∠OCP=∠OCP' ②∠OPC=∠OP'C
③PC=P'C ④ PP'OC
关键词：探索证明；数学；特殊四边形
新人教版八年级下册数学四边形单元，在初中学习中有着非常重要的地位。这个单元，定理教学是重点。《全日制义务教育数学课程标准实验稿解读》明确规定，要对特殊四边形的定理进行探索并证明。《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准数学》中也提出了评价标准，对特殊四边形定理的知识与技能要求是掌握，过程与方法的要求是要经历观察、实验（度量）、探究、证明的过程。所谓掌握，就是“在理解的基础上，能直接把原理运用于新的情境”。在教学实践中，存在着一些误区，如：重证明轻探究，重运用轻证明，或长篇累牍的探究与证明，独缺运用或轻运用。在40分钟内，处理好探索、证明与运用定理之间的关系是非常重要的。合理安排探索定理、证明定理和运用定理的教学环节有利于提高课堂效率。研究探索与证明在数学原理教学课中的作用、探索与证明教学需注意的问题，有着现实意义。
一、探索、证明在数学原理教学课中的作用
探究与证明定理的过程可以让学生弄清楚知识的来龙去脉，这对学生学习严密的定理体系是很有帮助的，是必不可少的，但
时间也不宜占据整节课。因为学生不是科学家，不是专门搞研究的，学生是要掌握知识的，要掌握知识就必须把定理运用在新的情境中。数学原理学习的水平可以分成了解、理解、掌握和综合运用四种。对应定理的学习、了解：能说出定理的内容；理解：明白定理的内在含义；掌握：能把定理用在新的情境中；综合运用：能综合运用定理解决问题。所以探究、证明、运用三者必不可少。
二、探索过程及证明过程一般的处理方法
探索环节必不可少，但不是最重要的，探索环节的时间把握要合理。由于几何定理的探索一般都是有难度的，所以教学设计要精心设计，一要吸引学生，让学生感觉有趣味，二要让学生容易探索，保证在预定时间完成探索过程，以免后面的学习内容完成不了。三是探究的问题量不要多。探索常用的方法有折叠法、画图法（尺规作图）、逆命题引入法、度量法、观察猜想法等。
探索出结论后，我们需要进行严密的推理论证。对于命题的证明教学，要重点着力于证明的分析过程，规范书写则要逐步要求，不断修正。除了书写，口述推理过程也是一种证明方式。
三、在教学实施过程中要注意的问题
1.要注意引导学生在合理时间内完成探索及证明过程
一般来说，连续讲课的时间不宜过长。有数据表明，初中生的讲述时间以10～20分钟为宜。讲述时间过长，容易诱发学生的不良行为。所以在进行教学实施时，要注意引导学生在合理时间内完成探索及证明过程。要做到这点一是要合理分配每节课探究、证明与运用这三个环节的时间，二是课时内容要符合学生实际情况。如：探索平行四边形性质，教材安排了两个课时，第一课时是探究平行四边形的边和角的性质，第二课时是探究平行四边形角平分线的性质，这样的安排比较合理。
如果三个性质定理都安排在同一节课进行探究的话，会难以兼顾探究、证明与运用三个环节，这时候会产生两种可能：一是没有运用环节或运用环节过短，探索与证明的环节过长整节课都在探索定理，课堂稍显单调乏味，学生看不到学习的目的，难以调动学习积极性；二是有足够时间运用知识，但探究的深度可能会不足。这两种可能都是不利于学生掌握知识的。
2.根据内容选择适合的探索方法
选择适合的探索方法，可以精简教学环节，为后续的教学环节提供时间的保证。
（1）性质定理探索过程的教学
采用适当的方法进行探究，如采用观察猜想法或度量法，折
叠法等。
用观察猜想法或度量法。①探究平行四边形边和角的性质，问1：根据平行四边形的定义，平行四边形的对边有何位置关系？观察图形，平行四边形的边和角有什么数量关系？问2：你能证明吗？②探究平行四边形对角线的性质，用度量法。让学生拿出课前做好的平行四边形，画出两条对角线。问：两条对角线有什么关系？③探究矩形的性质，用几何画板展示由平行四边形变为矩形的过程，提出猜想。问：与平行四边形相比，矩形边、角、对角线有什么特殊性质？
用折叠法。在探究菱形、正方形、梯形的性质时均可用。如：探究梯形性质，可让学生拿出课前做好的等腰梯形。问：等腰梯形是轴对称图形吗？对称轴在哪里？你能发现哪些相等的线段？有哪些相等的角？
（2）判定定理探索过程的教学
可用逆命题引入法、等价命题法等进行探究。
用逆命题引入法，①探究平行四边形的判定定理，问：我们知道：平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分，反过来，对边相等的四边形是平行四边形吗？对角相等的四边形是平行四边形吗？对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？②探究梯形判定定理，问：前面所学的特殊四边形的判定方法很多都是性质定理的逆命题。你能说出“等腰梯形同一底边上的两个角相等”的逆命题吗？这个逆命题正确吗？
用等价命题法探究菱形的判定定理，先猜想等价命题，再用画图法（尺规作图）验证。问1：把“有一组邻边相等”的条件换掉，你有什么方法把一个平行四边形变成菱形？问2：把“平行四边形”的条件也换掉，那具备什么样条件的四边形会是菱形？画一个菱形，验证你的猜想。
（3）定理的证明过程要突出思想方法，关注学生思维的参与度
重定理证明的分析过程，缓书写的规范要求。规范地书写证明过程，是一个教学难点，是逐步完善的，不是一蹴而就的。这样说，不是不要求规范书写，而是不要把教学的重点放到这部分。不需要每个证明方法或每个定理的证明都书写完整。
“数学是思维的体操”，定理证明的教学要注重学生思维的深度参与。①进行推理时，培养思维的严谨性。②一题多法，培养思维的多样性和灵活性。“还有别的证明方法吗？”让学生口述不同的证明方法，在交流中碰撞出思想的火花，不会的学生在听别人的方法的时候，能学到一些适合的方法，一法不会，可学他法。如：平行四边形对角相等的性质定理证明，常见方法有3种，可用全等三角形的知识来证明或用平行线的相关定理来证明。③分析思路，培养思维的连贯性。“由这个条件你能得出什么？”由一个知识点联想到另一个知识点。④渗透转化等数学思想方法。如：定理平行四边形对边相等的证明分析，“我们学过的哪些方法可以证明线段相等？”（证三角形全等或证三角形为等腰三角形）“怎样把平行四边形变成三角形？如何作辅助线？”，又如，证明定理等腰梯形同一底边上的两个角相等，“我们学过有哪些方法可以证明角相等？”“怎样把梯形变成平行四边形和三角形？如何作辅助线？”这样渗透转化的思想，将未知转化成已知，将新的内容转化成熟悉的知识。引导学生把平行四边形问题转化成三角形问题，梯形的问题转化成平行四边形和三角形的问题来解决。
探索和证明是很重要的数学学习能力。教师只有根据学生和教材特点设计适合的探索和证明环节，并注意学生思维的深度参与，必能大大提高学生探索和证明命题的能力。
参考文献：
[1]广州市教育局教学研究室编.广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准数学[M].广州：广东教育出版社，2009-10.
[2]何小亚.与新课程同行：数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2004-97.
【摘 要】学习知识的过程中，就是不断认知、不断探索、不断实践的前进发展进程。课堂练习是巩固学生知识素养、锻炼学生学习技能的有效载体。在以能力培养为第一任务的新课改初中数学教学中，学习能力培养是教师教学活动实施的出发点和落脚点。本文作者结合新课改要求及自身教学体悟，对探究式教学在课堂练习环节中的运用进行粗浅探析。
关键词 初中数学；课堂练习；探究式教学；运用；探究
动手实践，是人们获取事物内涵及现象本质的有效手段和重要途径。教育实践学指出，学习知识的过程中，就是不断认知、不断探索、不断实践的前进发展进程。课堂练习是巩固学生知识素养、锻炼学生学习技能的有效载体。初中数学新课程标准强调指出，重视学生内在主体特性激发，注重学生动手探索能力培养，为学生提供学习实践的有效载体，做好实践活动进程的指导和引导工作。新课改初中数学教学中，学习能力培养是教师教学活动的第一任务。探究式教学作为课堂有效教学的重要策略之一，对技能型人才的培养起到推动促进功效。初中数学教师在课堂练习设置和讲解中应进行深入细致的运用。本人现结合新课改要求及自身教学体悟，对探究式教学在课堂练习环节中的运用进行粗浅探析。
一、紧扣教材内容要义，设置探究特性课堂练习案例
常言道，言之有物，方能有血有肉。课堂练习环节，作为教学活动巩固强化、发展提升环节，在推进整个教学活动，提升整个教学效能中，起着推波助澜的积极功效。传统教学活动中，部分初中数学教师将课堂练习简单看作是巩固知识要点的载体，没有深刻认识课堂练习的能力培养功效，导致所设置的课堂练习内容简单、单一，降低了教学效能。新课程标准认为，课堂练习应成为学习对象动手实践的有效载体。因此，初中数学教师在课堂练习设置环节，就必须将探究能力培养渗透其中，防止“空洞”、“乏味”探析课堂练习出现，紧扣教学重难点、教材知识点以及学生学习实际，设置需要通过动手、操作、思考、分析、归纳、推理等实践活动的练习内容，为教师在课堂练习环节有效开展探究式教学提供实践“对象”。
二、拉长问题解答过程，开展互动探析课堂练习教学
问题解答过程，也就是探究、实践、归纳、推理、判断等探索发展进程。课堂练习讲解活动的目的，不是为了讲授案例，而是锻炼和培养学生的探究分析技能和素养。部分初中数学教师讲解课堂练习内容，经常采用“对答案”的形式，主要经历放置到了检查学生课堂练习解答的正误以及解题效能上，忽视了课堂练习案例的探究特性。这就要求，教师在课堂练习讲解中，要紧扣教学互动特性，将获得解答问题思路、策略的过程进行有效的拉伸和拓展，通过教师的有效引导和学生的深入探究，进行深入细致、富有成效的师生探析解题活动。
如在“已知，如图所示，MNAB，MNCD，直线EF分别交AB、CD于G、Q，∠GQC=120°，求∠EGB和∠HGQ的度数”课堂练习案例讲解中，教师引导学生紧扣解决问题的基本思路以及解答问题的一般方法等“要旨”，开展如下师生互动探析解题过程：
教师提出学生探析问题条件的要求：1、认真观察问题条件，找出该问题条件中存在的关系；2、要求∠EGB和∠HGQ的度数，需要运用哪些条件关系？3、找出该问题解答的方法是什么？
学生按照要求分析问题条件，得出对问题条件的初步认识：该问题条件中告知了平行线的判定与性质、垂线等数学知识点，同时，根据问题条件中的邻补角的定义、垂直于同一条直线的两直线平行、垂线的定义等内容，可以得出一些关系式。
教师引导学生分析解决问题的基本思路，学生探析认为：求∠EGB和∠HGQ的度数，可以利用邻补角的定义、垂直于同一条直线的两直线平行、垂线的定义、平行线的性质等内容构建等量关系式，进行等量互换，从而求得。
组织学生开展解答问题活动，过程略。
教师指导点拨学生结合上述分析思路及解题过程，提炼总结解决问题一般策略方法。学生小组分析及教师指点后，得到其解题策略：运用在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行、同位角相等，两直线平行等数学知识内容。
三、放大评析促进作用，实施反思辨析课堂练习评价
评讲是课堂练习教学环节的一个重要部分，对课堂练习教学效能提升起关键性作用。教者在评讲课堂练习活动中，不能“就练习，讲练习”，应该借助评讲活动，引导学生主体更加深入地认知解题活动得失，探析解题活动内涵，形成更为全面的知识体系，更为科学的解题策略。
如在“如图所示，已知从菱形ABCD的对角线交点O分别向各边引垂线，垂足分别是E,F,G,H，求证：EFGH是矩形”课堂练习评讲中，教者根据学生在此类型问题案例解答中经常出现的“在证得OE=OF=OG=OH后，没有说明E,O,G和F,O,H分别共线，想当然的得出了EOG，FOH是对角线，从而导致解题错误”不足，有意识地让学生展示其解题过程，教师引导学生一起评析该问题的解答过程。学生在评析解题过程中，结合自身解题过程，得出了不同的观点，有的学生认为该问题解答方法正确，过程严密，有的学生得出相反的观点，认为该问题解答中存在着学生提出的解题不足之处。此时，教师让学生组成探析小组，开展合作探究活动，学生个体通过小组探析，进行再次的探究、分析活动，并深入自我反思，指出要在OE=OF=OG=OH后，EG与HF相等且平分应补加其证明E,O,G和F,O,H分别共线的过程。这一过程中，学生在教师评讲课堂练习的评价手段促动下，带着目标、带着疑惑更加深入的反思解题过程以及自身学习活动，有效提升了学生思维能力水平，促进良好解析思想的树立。
关键词:一题多解;一题多变;训练思维;变化教学;数学思维
中图分类号:G423文献标志码:A文章编号:1673-291X(2009)18-0217-02
1.一题多解促使思路多向,培养思维的广阔性. 一题多解训练教学,能让学生以问题作为思维起点,诱导学生既能顺向思维又能逆向思维,逐步培养他们形成由正及反、由此及彼的逆向思维习惯。培养他们困难时自觉调整思维角度,向反方向作某种试探猜测,联想新意会。教学中教师通过选择典型题目,鼓励积极思考,引导从多角度、多方法、多层次地观察思考问题,在广阔范围内寻求解法,从而培养学生思维的广阔性[1]。
2.一题多解能暴露思维过程,培养思维的深刻性。一题多解必然促使每个学生动脑思考,从而展示发现解法的思维过程,也能使教师了解学生思维受阻的情况,利用学生典型错误进行正确诱导,变换策略,另辟蹊径再达目的。教师的解释未必是学生的想法,是把教师的思维暴露给学生,未必能解决学生思维的所有问题。一题多解促使教师想学生所想,顺应学生的认识规律与基础,有针对地点拨,使学生的思维处于积极兴奋的最佳状态,在迷惑好奇的情境中,在跃跃欲试的状态下,激起思维波澜,从而对问题的本质属性及解法规律有更深刻的理解。培养学生思维的深刻性[2]。
通过分解组合运用分式来 “曲径通幽”学生又想到
3.一题多解推动学生积极竞争,培养思维的敏捷性。苏霍姆林斯基说:“要把学生从智力的惰性状态中拯救出来,就是要使每个学生在某件事情上把自己的知识显示出来,在智力的活动中表现出自己。”一题多解往往是综台,将自己的解题思路亮出,后面同学必须异于前面同学的解法。于是整个课堂气氛活跃个个跃跃欲试,竞争激烈相互启发,后来经过归纳总结,共提出了四大类不同解法达四十多种之多。即将三角函数的降幂公式,积化和差及和差化积公式,运用得滚瓜烂熟,对学生运用知识的能力的提高,起着不可估计的作用。长久训练能使学生迅速直观分析处理问题,简缩运算环节和推理过程,即思维敏捷[3]。
4.一题多解推动学生主动学习,培养学生思维的灵活性。传统的数学教学没有真正做到问题教学、思维过程教学,而是偏重于结果、标准答案、题海战术。学生的数学思想方法没有形成,缺乏灵活性,因而思路狭窄解法单调,对概念的本质缺乏正确的认识和深层次理解,不能做到解题思路的优化。而一题多解能抓住“精讲多练”的核心,“少而精”,真正地提高教学效率,而非盲目做题。
不同的解法促动学生细心观察,认真审题,会利用题中关系,进行分析、比较提高分析能力,使他们能够合理选择思维起点,培养灵活性。同时有利于辨析正误,准确掌握概念的内涵和外延,提高数学素养[4]。
1.变换条件,促进学生主体探索。在例题教学和习题讲解时,不宜就题论题,而应该启发引导学生将思路延续下去,列出同类问题的不同解决办法,从题目的各个方面联想,类比,通过条件复式,变换条件,引入新问题,促进学生主体探索。
例1,已知点P是一次函数y=-x+6在第一象限的图像上的点,又点A的坐标为(4,0),问点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点,若能,求P的坐标。
分析:由于并未指明等腰三角形的哪条边为底,哪条边为腰,故应引导学生分情况进行探讨(|PO|=|PA|,|PO|=|OA|,|PA|=|OA|,解略)。
解决问题后,可以进一步提问学生:若条件不变,要使AOP为等腰直角三角形的点P是否存在?成为等边三角形呢?这样层层深入,让学生自己去探讨结果,研究其规律,引起学生浓厚的兴趣,自问自答,自己提出问题自己探索,其收获决非简单“改改题”这么单纯。由于学生自己出题,自己解答,长此以往能使学生养成多问多思的主动探索习惯,大大提高学生自己提问,解题的能力。
2.题组教学,促进思维发散性和批判性。发散思维是从同一来源材料探求不同答案的思维过程和方法,是分析性思维。发散性要求对问题寻求多种解决途径,这种思维是创造性思维的基础。在题组教学中对学生进行发散性思维的训练,可以培养学生敏锐的观察力、积极的求异胜和创造性,增强学生举一反三的探索能力。同时对问题条件,解决问题的方法有一个深刻认识[5]。
例2,甲、乙、丙等7人排成一排,求以下各种情况的不同排法。
经过这样的训练,可以使学生明白事物都不是一成不变的,应勤于思考,敢于提出不同观点,勇于质疑、批判,从而培养他们积极的批判性。
3.探索变式,培养思维的创造性。创新是素质教育的核心,更是时代的要求,是选拔人才的需要。因此,这就要求在教学中,教师要有目的、有计划地对学生进行创新思维的训练,引导学生从解答的问题出发,标新立异,敢于猜想,勇于用所学知识去解决背景全新的问题,从而培养学生的创造性精神[6]。
其证明并不难,就略去不谈.但其结论非常重要,我们不妨称线段AB为抛物线的焦点弦,由焦点弦,我们能够引导学生证明下列一组演变习题都是正确的:(1)过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线,三线共点。(2)抛物线焦点弦中与其端点切线的交点的连线,平行于抛物线的对称轴。(3)抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段,等于焦点弦长的一半。并且被这条抛物线平分。(4)抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。(5)抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。(6)过抛物线焦点弦一端,作准线的垂线,那么垂足,原点以及焦点弦的加一端点,三点共线[7~8]。
4.引入开放题,全面提高学生分析、解决问题的能力。开放题分为条件开放题、策略开放题、结论开放题。开放题具有一些特性:非完备性、不确定性、发散性、探究性、发展性、创新性[9]。
过去提倡“以教师为主导,学生为主体”的教学思想,在实际教学中,教师主导地位被绝对化,“主导”实际上变成“主宰”,学生主体迟迟得不到体现。针对这种情况,引入开放题的教学,能充分体现学生的主体性,培养学生的主体意识(即学习的主动性,自觉性,探索性,深刻性)[10]。
参考文献:
[1]季素月.数学教学概论[M].南京:东南大学出版社,2000:238.
[2]张俭福.数学教学中一题多解的调控机制[J].数学通报,1997,(11):37.
[3]陆广地.乡村师范数学教育中培养应用能力的探讨[J].中师教育研究,1998,(4):27.
[4]波利亚.怎样解题[M].北京:科学技术出版社,2001,(7):302.
[5]刘萍.数学开放题与学生主体意识的培养数学教学[J].数学教学,1999,(1):4.
[6]陆广地.对师范生进行创新教育的尝试[J].职业技术教育,2004,(4):35.
[7]陆广地.数学研究性教学内容的选择角度[J].数学教学研究,2003,(6):26.
[8]陆广地.信息技术在数学教学中应用与整合层次[J].当代教育论坛,2008,(12):28.
购物车(0)