由于学生对判别式法求函数值域的原理不是很清楚，所以在求解时常常会考虑不周全而漏解，造成近几年高考试卷中，解析几何大题的最后一问关于斜率K的函数在求最值（或范围）时，不能从容应对，当然除了判别式法以外，也常常利用均值不等式进行处理。
总之，只有学生在学习过程中，对其原理认真领会、强化通性通法，引导学生对数学问题从多层面，多角度进行延伸探究，有意识的引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质发现规律。所以变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志。有效地拓展更好的服务于讲，深化了练，提升了课堂的质量。高三教学发挥变式功能，更是一种有效地引导学生学会“如何思”“如何想”并走向“自觉地思”“自觉地想”的方式，有利于培养学生灵活多变的创新思维，完善学生的认知结构，提高学生分析问题、解决问题和探索创新能力。
参考文献
关键词： 函数 定义域 值域 值域的求解方法
设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，其中 叫做自变量。 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。其中函数的值域是一个较复杂的问题，又是高中数学中的一个难点。总体来讲，求函数的至于要注意以下几点：（1）值域的概念，即与 的值相对应的函数值的集合 ；（2）函数的定义域。当题目中未明确给出函数的定义域时，应先求出函数的定义域，在定义域的范围内求函数的值域；（3）函数的单调性。求函数的值域时，常常借助函数的最值来求解，而求函数的最值时，对函数的单调性的讨论往往是必不可少的；（4）函数的解析式。在求函数的值域时，往往要根据所给函数的解析式的形式，使用相应的方法。具体常用的求函数值域的方法如下：
（1）观察法
对于一些简单的常见的函数，通过观察就可以求出其值域。例如我们熟悉的一次函数的定义域是 ，值域也是 ；反比例函数 的定义域为 ，值域为 。
（2）配方法（或公式法）
（3）换元法
（4）分离常数法
（5）利用函数的单调性求值域
例5. 求函数 的值域
解：由题可知函数的定义域为 ，因为 和 在 上均为增函数，故原函数为 上的增函数.所以 ，故原函数的值域为
（6）利用函数的最值求值域
对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。
总之，同学们在学习的过程中应多注意积累，善于总结，从而在求解函数值域的问题中，才能迅速找到求解此类问题的比较简单且合适的方法。
关键词 三角函数 最值 思维方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function
ZHANG Jianlu
（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）
Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.
Key words Trigonometric function； the most value； thinking method
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。
1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值
求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。
求 = + 的最值。
解： = （ + ）（ + ）
= （ + ）23 = 1
= 1 （1 ） = +
当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。
2 应用平均值定理求最值
求函数 = （为锐角）的最大值。
解： = >0
= = 4·≤4（）3 =
当 = ，即 = 时， = 。
应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。
3 应用二次函数判别式求最（极）值
求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。
解：原函数化为 = [ ]
+ 2 = 0
= 8 ≥0 ≤≤
当 = 时， = = ，
所以当 = = 时， = 。
此题也可用放缩法解
= · ≤
= - （ ）2 + ≤。
注意在用放缩法时，等号必须成立。
4 应用函数的有界性
求 = 的值域。
解：由已知得：（） + （） = ——①
令 = ， =
①式化为 （ + ） =
∣∣≤
解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。
5 应用函数的单调性
已知 = + ， （0，），求的最小值。
解：令 = = ，则（0，）。 = + 。
6 利用数形结合
求函数 = 的最值。
图1
解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。
前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如
求 = 的极值，用什么方法好呢？
解：
方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。
方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，
原式化为 = + · = 0时， = 8。
当 = 1时， = 4。
应用一 利用导数研究函数的单调性
这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.
例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1
解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1
（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1
点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.
在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.
通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.
在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.
应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.
（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.
应用三 利用导数研究方程根的分布
研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.
利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.
点评：该题的难点有两个，一个是第（2）问中求解函数的极值要根据b的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化为关于n的函数的最值问题来解决.
关键词： 初中数学教学 最值问题 思维误区 知识整合
一
“最值”指变量在某一变化过程中取得的最大值或最小值.在新课标中，最值问题是初中数学的重要内容，在日常生活中有着广泛的应用，如最大利润问题、最大面积问题、最低运费问题等.最值问题包括函数最值问题、不等式最值问题和几何最值问题等；在函数最值问题中，有二次函数最值、一次函数最值和反比例函数最值问题.
对于二次函数y=ax+bx+c，当a>0时，它的图像开口向上，图像存在最低点，二次函数有最小值，最小值是顶点的纵坐标的值；当a
（一）忽略了自变量取值范围的限制.
在一个二次函数中，当自变量是全体实数时，顶点的纵坐标是这个函数的最大值或最小值.但当自变量的取值范围不是全体实数时，函数的图像是抛物线的一部分，顶点不一定落在部分的抛物线上.这时，以顶点的纵坐标作为所求的最值就不一定正确了.因此，求二次函数的最值，必须考虑顶点的横坐标是否落在自变量的取值范围内，否则会出现错误的结论.
例1：已知二次函数y=x2-2x-3，在2≤x≤3的范围内求这个二次函数的最大值或最小值.学生往往会盲目地求出二次函数图像的顶点坐标（1，-4），然后得出结论：因为a>0，所以二次函数有最小值，最小值是-4.这个的结论显然是错误的.其实在2≤x≤3范围内函数的图像在对称轴x=1的右侧，且y随x的增大而增大，故当x取最小数值2时，y的值最小为-3；当x取最大数值3时，y的值最大为0.事实上，在很多实际问题中，自变量往往受实际意义的限制，只能在某一范围内取值.因此，求二次函数的最值必须关注自变量取值范围对最值的影响，当顶点不在自变量取值范围内时，必须利用函数的增减性，以自变量取值范围中端点的函数值确定所求的最值.
（二）忽略了a的符号对最值的影响.
在某些问题中，建立起来的二次函数存在某一种最值，但要求的可能是另一种最值，因此不能盲目地用顶点纵坐标求最值，而应根据函数的增减性及自变量的取值范围确定.
例2：如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上的一个动点，QPAP交CD于Q，设PB=x，ADQ的面积为y.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，ADQ的面积最大？
（三）忽略了其他函数在某一条件下存在最值.
在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k
例3：某报刊销售亭从报社购进某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天可以卖出100份，其余10天只能每天卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须都相同.若报亭每天从报社订购报纸的份数为x（份），每月所获得利润为y（元）.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）报亭应该每天从订购多少份报纸，才能使每月获得利润最大？最大利润是多少？
由题意可建立y与x的函数关系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.学生往往没有注意到自变量的取值范围，认为该函数不存在最值，因而无从下手.事实上由题设可知，自变量的取值范围为60≤x≤100，且x为正整数，由于y随x的增大而增大，故当x取最大数值100时，对应的y值最大，最大利润为580元.
例4：某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经销此贺卡的销售利润为w元，试求w与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
例5：在平面直角坐标系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），点P在y轴上，且PA+PB的值最小，求点P的坐标.
如图，联想在直线上到直线同侧两点距离和最小的点的作法，作出点A关于y轴的对称点A′，求出直线A′B的函数表达式，再求出直线A′B与y轴的交点的坐标即为所求.这里，利用对称性质把PA转化，构造三角形两边和大于第三边的不等模型，当点P落在这一特殊位置上时，PA+PB的值最小.
二
那么，如何引导学生走出最值问题思维的误区呢？下面我谈谈在教学中的做法.
（一）引导多方思考，加强知识联系.
最值问题，涉及知识面广，解题方法灵活.出现以上误区，原因之一在于思维定势的负面效应，原因之二在于学生思维比较狭窄.因此，教学中应对一般二次函数的最值问题与其他最值问题进行比较，让学生明确在什么情况下，可直接由二次函数的顶点坐标求最值；什么情况下，需借助函数增减性并利用自变量取值范围求最值；什么情况下，需构造不等模型求最值.对生活中的函数问题、图形中的函数问题，引导学生关注自变量的取值范围，关注函数的增减性，加强相关知识的联系，培养学生思维的广阔性.
（二）借图像识增减，提高思维效率.
生活及图形中的函数最值问题，往往与函数自变量取值范围（函数的有界性）及函数的增减性有关，这些从函关系式上理解比较困难，借助图像观察，往往一目了然.因此，在教学中，应通过引导学生对图像的观察，加深对函数有界性和增减性的理解，从中发现函数的变化规律，在加深函数认识的过程中去发现函数的最值，培养学生思维的独创性.
（三）通过动态演示，发现不变规律.
1 函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x），
故函数关系式为：S=x（50-x）.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现不出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
2 函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例2：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值.
解：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，当x=1时，ymin=-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：
⑴当-b2a
⑵当-b2a>q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；
⑶当p-b2aq时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：
f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，
f（x）min=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
-215
f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3
f（5）=52-2×5-3=12
f（x）min=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
3 函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例3：求函数y=4x-5+2x-3的值域.
错解：令t=2x-3，则2x=t2+3
y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+14）2+7878
故所求的函数值域是[78，+∞）.
剖析：经换元后，应有t0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1.故所求的函数值域是[1，+∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
4 函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例4：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间.
解：先求定义域：
x2+2x>0x>0或x
函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）.
令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，
在x∈（0，+∞）上时，u为增函数。
又f（x）=1og2u在[0，+∞）是增函数.
函数f（x）=1og2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。
即函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调递增区间（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。
5 函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性.
解：2∈[-1，3]而-2[-1，3]
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称
函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性，如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）
函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数.
关键词： 定义域 值域 奇偶性 函数最值
函数作为高中数学的主线，贯穿整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，若对函数的定义域没有特别的说明，则似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会得到错误的答案，所以在解函数题中应向学生强调定义域对解题的作用与影响，培养学生良好的解题习惯对提高学生的数学素养有很大的作用.
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的.如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（100-x）米，由题意得：
S=x（100-x）
故函数关系式为：S=x（100-x）.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于100的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就表明学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出思维的严密性和良好的解题习惯.
二、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：
例2：求函数y=4x-5+ 的值域.
错解：令t= ，则2x=t +3
y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥
故所求的函数值域是[ ，+∞）.
解析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，y =1.
故所求的函数值域是[1，+∞）.
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要.若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性.
三、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题.如果忽视定义域范围，就会导致最值的错误.如：
例3：求函数y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.
解：y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，
当x=1时，y =-2.
若按平时的解题思路，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维定势的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：
（1）当-
（2）当- >q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）当p≤- ≤q 时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值.
故本题还要继续做下去：
-2≤1≤5
f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1
f（5）=5 -2×5-1=14
f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14
函数y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，则能体现出学生思维的灵活性.
四、复合函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：
例4：指出函数f（x）=log （x -2x）的单调区间.
解：先求定义域：
x -2x>0
x>2或x
函数定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）.
令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上时，u为减函数，
在x∈（2，+∞）上时，u为增函数.
又f（x）=log u在[2，+∞）是增函数.
函数f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.
即函数f（x）=log （x -2x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（-∞，0）.
在处理复合函数单调性问题时遵循同增异减.如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对复合函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性.
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考求解该函数的定义域，判断该区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：
例5：判断函数y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.
解：定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，
函数y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论：
f（-x）=（-x） =x =f（x），
函数y=x ，x∈[-1，3]是偶函数.
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.
综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域都起了至关重要的作用，因此重视定义域对解题结果有无影响，就能提高学生解题分析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生数学素养，进而有利于培养学生思维的创造性，真正把数学应用于生活实际中.
参考文献：
【关键词】函数；最值；高等解法；初等解法；微分
函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分.处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答[1].
函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一.由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法[2].
1 配方法
适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
例1、 求函数 的值域。
分析与解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得： 利用二次函数的相关知识得 ，从而得出： 。
说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。
2 观察法
适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域（最值）的简单函数。
例：求 的值域.
分析与解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：
所以 。
3 部分分式法
适用类型：分式且分子.分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 （ 常数）的形式。
例：求函数 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用部分分式法；则有
不妨令： 从而
注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母.所以 故
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到y的值域。
4 反函数法
适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例：求函数 的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。
反解得 即
知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。
故函数的值域为： 。
5 判别式法
适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断。
例：求函数 的值域。
分析与解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为： 整理得： 当 时，上式可以看成关于 的二次方程，该方程的 范围应该满足 即 此时方程有实根即 ，
细心的读者不难发现，在前面限定 而结果却出现： 我们是该舍还是留呢？
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是 ）代回方程检验。
将 代入检验得 不符合方程，所以 。
6 换元法
适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等。
例1、 求函数 的值域。
分析与解：由于题中含有 不便于计算，但如果令： 注意 从而得： 变形得 即：
点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。
例2、 已知 是圆 上的点，试求 的值域。
分析与解：在三角函数章节中我们学过： ，注意到：
可变形为： ，令 2p）则 p）即 故
例3、试求函数 的值域。
分析与解：题中出现 而 由此联想到将 视为一整体，令 由上面的关系式易得 故原函数可变形为：
7 数形结合法：
适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
例1、：求函数 的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点（2，3）到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解.
例2、 求函数 的值域。
分析与解：由绝对值的几何意义知： 表示数轴上的动点（不妨设为（x，0））到定点（2，0） ，（-5，0）的距离之和，结合图形不难得到： 。
8 不等式法：
适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如： ）
例1、 当 时，求函数 的最值，并指出 取最值时 的值。
分析与解：因为 可利用不等式 即： 所以 当且仅当 即 时取”=”当 时 取得最小值12。
例2、 双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值是（ ）。
A B 4 C 2 D
分析与解：根据双曲线的离心率公式易得： ，我们知道 所以 （当且仅当 时取“=”）而 故 （当且仅当 时取“=”） 。
说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。
9 有界性法：
适用类型：一般用于三角函数型，即利用 等。
例：试求函数 的最大值。
分析与解：根据余弦函数二倍角公式化简得：
10 单调性法：
适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例：求函数 的值域。
1.考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.
2.考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.
3.考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.
4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考查函数性质.因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.
一、进一步深入理解函数概念
学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例来更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.
类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.
二、二次函数的图像、单调性及最值
在高中阶段学次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间（-∞，-上的单调性用定义进行严格的论证.
类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.
（1）y=x2+2|x+1|-1；
（2）y=|x2-5x+6|.
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.
类型Ⅳ：（定轴动区间上的最值问题）设f（x）=2x2-x-1在区间[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表达式.
变式训练：已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]时有最大值2，求a的值.
（1）（动轴定区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分析：函数的对称轴为x=-a，当-5
（2）（动轴动区间上的最值问题）已知函数f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.
分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.（解答过程省略）
若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
若函数f（x）在x=a处取得极小值，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性.
分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题.同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.
三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况
类型Ⅴ：设二次函数f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.
（1）若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.
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