学生已经掌握了角的概念、角的分类和角的度量等知识。在本课之前，学生又掌握了三角形的稳定性研究了三角形的分类。这些都为进一步研究三角形内角和作了知识储备和心理准备，为本课内容的教学作了铺垫。三角形的内角和是三角形的一个重要性质。它有助于理解三角形的三个内角之间的关系，是进一步学习、研究几何问题的基础。
教学目标：
1．知识与技能：通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。
2．过程与方法：通过量一量、剪一剪、拼一拼，培养学生的合作能力、动手实践能力，并运用新知识解决问题的能力。
3．情感态度: 使学生体验数学学习成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。
教学重点：
探索发现和验证三角形的内角和是180度。
教学难点：
对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。
教具准备:
教师准备:多媒体课件
不同类形大小不一的三角形若干个 记录表
学生准备：量角器 直尺 剪刀
教学过程
一、激趣导入
多媒体展示三角形
出示谜语： 形状似座山，稳定性能坚
三竿首尾连，学问不简单 (打一图形名称)
（预设：三角形）
师：谁能介绍介绍三角形？
（生1：三角形有三条边、三个顶点、三个角。
生2：三角形按角分类，分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。)
师：你喜欢哪种三角形？（钝角三角形、锐角三角形、直角三角形）
师：同学们会画三角形吗？请你在练习本上画一个你喜欢的三角形。
师：钝角、直角、锐角三角形三兄弟吵起来了？我们快去看一看。
师：今天我们就来研究一下三角形的内角和。
二、学习目标
1.通过动手操作，使学生理解并掌握三角形内角和是180度的结论。
2.能运用三角形的内角和是180度这一规律，求三角形中未知角的度数。
3.培养动手动脑及分析推理能力。
三、自主学习（展示量角法）
1．理解三角形的内角、内角和
（1）板书展示三角形
师：要想知道什么是三角形的内角和，我们得先知道什么是三角形的内角？（三角形里面的三个角都是三角形的内角。）
师：你能过来指指吗？同意吗？内角有几个？
师：为了研究方便，我们把三角形的三个内角分别标上∠1、∠2、∠3。
师：你能像老师一样把你的三角形标上∠1、∠2、∠3吗？
（2）三角形的内角和
师：什么是三角形的内角和？
（三角形三个角的度数的和，就是三角形的内角和，即：∠1+∠2+∠3）
师：就是把∠1+∠2+∠3加起来。
师：根据我们以前的经验，我们怎么知道∠1、∠2、∠3的度数呢？（预设：用量角器量）
师：请同学们拿出量角器，量一量你画的三角形的三个内角，并算出他们的和。（4分钟）
学生测量（1分40）汇报结果（5人）。
教师填写测量汇报单。
师：观察汇报的结果，你有什么发现？（所有三角形内角和度数不一样、三角形内角和都在180度左右）
四、合作探究
师：这是同学们亲自测量发现的，没有得到统一的结果，这个办法不能使人信服，有没有别的方法验证？老师给每个小组都提供了很多个三角形，现在请你们以小组为单位，拿出三角形来研究研究三角形的内角和到底是多少度。 （8分钟）（剪拼法）
1.操作验证探索三角形内角和的规律 （6分钟）
（1）操作验证：小组合作
拿出装有学具的信封[信封里面有老师为学生事先准备的各种类型的三角形若干个（小组之间的三角形大小都不同）]；拿出自备的直尺 剪刀
（老师要给学生充裕的时间，保证学生能真正地试验，操作和探索，通过量一量、折一折、拼一拼、画一画等方式去探究问题。）
2.学生汇报
（1）转化法：
生：两个同样的直角三角形可以拼成一个长方形，长方形每个直角都是90度，内角和就是360度，所以三角形的内角和就是360度的一半180度。
师：他们用长方形的内角和来研究今天所学的知识，得到三角形的内角和是180度。
（2）折拼法
生：把三角形三个内角分别向下边折叠，拼成了一个平角，平角是180度，所以三角形的内角和是180度。
师：他们是用折拼法验证三角形的内角和是180度（动手能力真强）
（3）剪拼法
生：把三角形三个内角撕下来，拼成一个平角，平角是180，所以三角形的内角和是180度。（师：提问怎样能很快的找到三个角？把他们做上标记。）
标记上之后再拼一拼，可见标记的方法很科学。（20分钟）
3.教师演示
师：我们再来感受一下怎么验证三角形的内角和的？
师：这是什么三角形？把他折一折。
师：这是什么三角形？我们也可以把他折一折。你有什么发现？（折完以后都有一个平角，平角是180度，所以三角形的内角和是180度）
师分别通过剪拼法验证直角三角形、钝角三角形、锐角三角形内角和。
师：注意观察。
师：演示完毕有什么发现？（预设这些三角形剪接后都拼成了平角）平角是180度，所以三角形的内角和是180度。
师：刚刚我们研究了什么三角形。他们的内角和都是180度，那我们研究的这些三角形能不能代表所有的三角形，能。（因为三角形按角分类只能分成这三种。）（22分钟）
4.演示任意一个三角形的内角和都是180度。
出示一些三角形，让学生指出内角和。
师：你有什么发现？（无论是什么样的三角形他的内角和都是180度，与三角形的形状大小没有关系。）（板书三角形的内角和是180度。）
师：那我们再看看刚刚汇报的结果。为什么之前测量的时候并没有得到这样得到结果呢？（测量的不够精确，存在误差）
师：如果测量仪器再精密一些，测量的更准确一些都可以得到三角形内角和是180度。现在确定这个结论了吗？（25分钟）
师：除了这节课大家想到的方法，还有很多方法也能证明三角形的内角和是180°到初中我们还有更严密的方法证明三角形的内角和是180°。早在300多年前就有一位法国著名的科学家帕斯卡，他在12岁时就验证了任何三角形的内角和都是180°
师：你们能用今天的发现做一些练习吗？
五、测评反馈
1.判断。
（1）直角三角形的两个锐角的和是90°。
（2）一个等腰三角形的底角可能是钝角。
（3）三角形的内角和都是180°，与三角形的大小无关。
4. 剪一剪。
把一个三角形纸板沿直线剪一刀，剩下的纸板的内角和是多少度?
六、课后作业
一、了解前测，内化于心
前测是指在学校教学过程中，教师在上课前的一段时间内，通过不同的调查方式对学生进行相关知识预备和相关方法的预先测试，然后进行有针对性的设计教学活动，并提出相应的课堂教学策略。开展课堂前测，能够很好地了解学生的发展需要和已有经验，了解学生的思维共性和认知差异。
1.前测是教学设计的学情基础
对于教师设计的探究过程，如果学生不需要探究就明白了，那这种设计就是无效的；如果教师设计教学环节难度很大，学生不能回答不能操作，新旧知识之间没有建立联系，那么这个设计也是失败的。那么怎样的教学设计才是有效的呢？第一，它必须符合学生的认知需求；第二，它必须重视新旧知识的过渡。要做到这两点，必须做好前测。
2.前测为教学行为提供数据支持
感性让数学课堂更具人性化、更精彩生动，理性让数学课堂多了一些数学化。在追求数学生活化的同时，我们不能忽视数学本身的东西，应让课堂多一些理性，让我们的教学行为更有效、更科学化。而前测就是让数学课堂科学化的第一步。我们在设计教案时，总是对学生已有的知识认识不到位。而做了前测，那分析统计所得的数据，就是我们科学合理设计教学的正确依据，它能让我们的教学行为更有效。
二、设计前测，外化于行
为了在教学中做到心中有学生，教学设计有依据，需要我们走到学生中去，了解学生的真实认知情况，思维状态，以细致详实的前测来加强教学活动设计的实效性。设计有效的课堂前测，能够很好地了解学生的发展需要和已有经验，这样才能从学生实际出发，让学生开展适合自己的学习。
根据不同的教学内容，教师可以设计不同类型的教学前测，通过前测去了解学生对已有的知识掌握得怎样？有哪些生活经验？这些已有的知识和生活经验对学生学习新知哪些影响？
1.预习分析法
教师安排预习内容，设计预习作业。教师通过分析预习作业，了解学生对新知自学的情况：哪些问题自己能解决，有哪些问题似懂未懂的，还有哪些根本不能解决的问题。从而调整教学内容与方法，确定教学的重点和难点。
如教学五年级的“长方体和正方体的表面积”，五年级的学生有了一定的空间观念和动手能力，对长方形和正方形也有了一些初步的认识，掌握了他们的基本特征，并且具备了一定的概括推理能力。长方体和正方体的表面积是在学生认识并掌握了长方体、正方体特征的基础上教学的，也是学生学习几何知识由平面计算扩展到立体计算的开始，是本单元的重要内容。学生们学习长方体和正方体之前已经知道了些什么？他们学习的起点在哪里？学生学习这部分的难点到底是什么？学生的空间思维怎么样？为了更好地了解学生的情况，在教学长方体和正方体的表面积之前，笔者对学生进行了前测。
2.个别谈话法
这个方法主要用于后继教材的教学，问题从旧知和新旧的连接点处设计，通过教师与各个类型、各个层次的学生代表的谈话了解他们新知生长点的掌握情况，确定怎样引导学生迁移或类推，从而选择最为有效的教学方式。
如教学四年级“三角形的内角和”本节课是在学生学过角的度量、三角形的特征和分类等知识的基础上进行教学的，“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。
通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的一些基础知识，会用工具量角、画角，具备了探索三角形内角和的知识与基础技能。我在课前了解到，已经有不少学生知道了三角形内角和是180度。既然不少学生都知道了这个结论，那是不是不用教学了呢？答案显然不是的。教师还要通过个别谈话法，了解哪些层次的学生知道了这个结论？如何知道的，怎么证明？为了更好地了解学生的学情，预设教学过程，教师通过与学生个别谈话进行教学前测。
教学前测如下：
教师在班级里选择了6名学生，好、中、差各三名，进行访谈。
问题1：关于三角形你了解哪些知识？
问题2：你还能清楚地记得三角形分类吗？
问题3：关于三角形内角和你了解什么？
问题4：知道三角形内角和的由来吗？你获得三角形内角和知识的途径是什么？
问题5：你在生活中见到过哪些三角形？你遇到过哪些生活中需要解决的关于三角形的实际问题？
1. 清晰之问引其疑
提问对学生来说是引发思维的出发点，因此提问应是在学生对某些数学现象、某些数学研究有了一定的感知和认识的基础上进行的。教师提问学生必须有明确的提问目的和清晰的表达，方能促使学生对新知产生疑惑，激发兴趣，形成体验。
教学片段A：（七下《认识三角形》第一课时）
（上课铃声响后，师生行礼毕）
师：同学们，今天我们一起来学习新的知识，请同学们首先回顾下以前所学过的几何图形有哪些？
生1：学过了三角形、正方形、长方形……
生2：还有圆、四边形、平行四边形、五边形……
师：那么大家想一想，我们学过的三角形如何能构成？
（沉默稍许，一生举手）
生：三角形两边之和大于第三边（表情不自信，低头小声！）
师（一怔）：噢！这说明了这位同学预习了新课内容，但我问的不是这个意思，我问的是如何构成三角形？（生有议论，但无人举手）
师（略急）：大家请看黑板上的图形（指着三角形三边）这是什么？
生（齐声）：边！！！
……
师：那么三个内角如何表示呢？
生：∠A，∠B,∠C
师：回答正确！有没有同学会用符号记作三角形呢？
一生举手上黑板书写 ABC
师：字母有没有顺序要求呢？生（齐声）：没有！
师：请同学们打开补充练习完成第7页第4题。
生做题，师巡视指导……
此片段是苏科版七（下）第七章《认识三角形》第一课时新课引入部分。以提问形式进行，该师主要提问了13余次，不能说教师没有组织教学的提问意识，但却有不少设计可以再推敲！概括起来，其提问主要存在的缺憾有两点：“问无据，问不明”！
有效的提问必须从学生的实际出发，注重学生的年龄特征、知识水平和接受能力。其设计的目的立足于教材内容和学生的“最近发展区”，让学生能通过努力思考建构地认识新知！如果没有这样的问题设计的依据，随心所欲，信口开河，那么我们所设计的问题只是为了问而问，意义甚小！片段中教师开始提问学生回顾小学的旧知意图似乎是在通过回顾图形引入到三角形知识的认识，但由于学生的理解角度和学过的图形较多，回答不免散而耗时，不能及时切入新课，其问题与本节内容相去较远，有“敲边鼓”之嫌！这样的问题设计过多便会冲淡了学生的学习之趣！同样，问题中教师提问学生“三角形边还可以怎么表示？能不能用小写字母表示？”的设计笔者认为学生无人敢答不是无人不知，而是学生的最近发展区带来的对新知的不自信！教师可以这样设计：“三角形的边是线段，线段除了用大写字母可以表示，还可以怎么表示？那么是不是随意的用小写字母表示呢？大家通过预习能不能找到用小写字母表示的特征？”这样的设计虽不能说视为最佳，但其一可以引导学生认识三角形的边是线段，线段可以用小写的字母表示，另则可以促使学生自主去找到用小写字母表示边的特征！符合新课程中要求学生形成学习数学体验的要求！所以精巧之问须有精心准备！明确而有依有据的问题设计要求教师课前必须把握教材，摸清学生知识的基础，把问题设计在学生已有的知识基础上，这样才能不做无凭无据之问！
2. 多变之问激其趣
新的知识点形成之后，它还可以发散、深化，使知识得以迁移、发展，从而对学生问题的设计不单一，不固定是激发学生学习兴趣的重要方法！
多变之问在于（1） 变形式；（2） 多迁移；（3） 悬而不释
片段B：（《三角形内角和》）
师：同学们！我们小学学过了三角形的相关知识，请同学们根据你们的所学完成下面的练习！
（师生共同完成练习）
师：同学们完成的很好！那么有没有同学能告诉大家你计算角度的依据是什么？
生：我是根据三角形内角和为360度进行计算的！
师；回答的很好，这个知识我们小学就知道了，那么今天我们就一起来研究为什么三角形的内角和为360度呢？请同学们分组讨论！
（生分组热烈讨论，师参与并指导！）
师：同学们讨论的非常积极！请同学们以小组为单位发表你们讨论的结果！
生：我们小组是通过动手操作说明三角形内角和为360度的。
（生上讲台示范）
师：他们小组将一个三角形三个内角撕下拼成平角说明内角和为360度，是否正确？
生：正确！
师：通过撕纸说明是一种直观的感受，大家再想一想有没有其他方法说明呢？
生：用平行线的性质来说明！
师（没有评价）：请同学们再思考看看！除了这样的想法有么有其他想法。
生：我还有一个想法！也是利用平行线性质来说明！
师：因为课堂时间有限，大家讨论很积极，思路也很多，刚才两位同学展示的完全正确，他们都是借助了平行线的性质进行了说明！当然，有些其他做法的同学，我们课后再继续讨论！
这个教学片段中教师的问题设计并不是很多，但总体来看还是有可取之处的！这样的设计紧紧围绕了问题设置的目的而展开，才开始的三角形内角和知识的再认识的问题设计不单一和老套，没有“三角形内角和为多少的”开门见山式！而是以习题形式取代了对三角形内角和知识的回顾，让学生再体验中去感受以前所学过的知识点，既复习了旧知，也将知识进行了初步应用。后面几个问题的设计则是将学生的思维进行了迁移，拓展了学生的思路，其中有些地方教师并不给予当即的评价，悬而不释！目的在于引导更多的学生参与进来，促使更多的学生有信心进行思考回答！当然，寻找知识的迁移、发展点，让我们的问题问中有变应注意其实效性和可行性，应从知识的本身出发做适当扩展，切不可以因变而随意迁移知识点，加深知识难度！
3. 有别之问树其志
所谓“有别之问”即是我们的问题设计应该考虑学生的不同层次，应考虑不同学生的知识水平和接受能力！对问题的设计应有铺垫，由浅入深，对基础薄弱的学生所提出的问题 要求过低或过高都不能激发学生的创新思维和积极性。因而我们设计问题时要注意合理行，层次性，注重面向全体学生，按班级中上等学生的水平来设计，同时也要顾及学生的个性特点和个体差异，以发挥每个学生的学习兴趣！
片段C：（平行线判断的说明）
如图，AD//BC，∠A＝∠CAB与DC平行吗？为什么？
这个问题原题目对于多数同学而言有些难度！因而就需要教师在课前作好问题的设计！比如可将此题的问题设计成如下的问题串：
（1） 根据AD//BC，同学们能判断哪些角相等？
（2） 结合∠A＝∠C，大家还能得到什么结论？
（3） 如果∠B＝∠C，你能到哪两条线段平行？
通过这样的问题串的设计并针对问题的层次有区别的进行提问，步步引导学生对题目进行分析！这样，多数学生能从自己对问题的理解出发，一个问题接一个问题去思考！调动了学生学习的兴趣！
尊敬的各位领导，老师大家好！
由我为大家介绍我们工作坊团队成员共同设计的《多边形的内角和》一课。我将从教材思考、学生调研、教学目标完善、教学过程设计等方面进行汇报。
（一）教材思考:
《多边形的内角和》是冀教版小学数学四年级下册第九单元探索乐园的第1课时，本单元要求是“在问题探索中，促进数学思维发展”。实现“不同的人在数学上得到不同的发展”是《数学课程标准》的基本理念，“发展合情推理和演绎推理能力”“清晰地表达自己的想法”“学会独立思考、体会数学的基本思想和思维方式”是课程标准关于数学思考方面的具体要求。
教材安排了两个例题，一是探究多边形边数与分割的三角形个数的规律，二在分割三角形的基础上探索多边形内角和。为了促进学生思考的连续性与有序性，我们将教材中的两个例题进行有机结合，在充分研究四边形五边形内角和方法的基础上提出如何得出任意多边形内角和问题，为发展学生的数学思维提供素材、创造探索的空间，让学生充分体会“画线段—分割三角形—求内角和”这样一个连续推理归纳得出规律的活动。
（二）学生调研及分析：
学生在本册第四单元认识了三角形、知道三角形内角和等于180度，会用字母表示数、字母表示数量关系的基础上进行学习的。我们团队的成员对所在学校四年级同学进行了调研，发现他们对于数学问题具有“猜想”的意识，但是缺乏理性的思考。他们愿意自己动手尝试探索研究问题，但是对于探索之后有序思考、归纳总结认识还不够全面。
有了以上分析，我们在尊重教材的基础上，确定了本节课教学目标，并对“过程与方法”目标进行了完善补充。
知识与技能：探索并了解多边形的边数与分割成的三角形个数，以及内角和之间隐含的规律;能运用多边形的内角和知识解决相关问题。
过程与方法：学生经历探索的全过程，积累探索和发现数学规律的经验，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，体会从特殊到一般的认识问题的方法，发展理性思考。
情感态度与价值观：让学生在参与活动的过程中获得探索规律解决问题的成功体验，产生对数学的好奇心,培养归纳概括和推理能力
教学重点:经历由具体的图形发现规律的过程，获得初步的数学建模活动经验，产生对数学的好奇心，培养推理能力
教学难点:字母表达式的总结
教学准备:教师准备三角形、四边形、五边形、六边形图片，裁纸刀，课件。
学生学具准备四边形、五边形等多边形图片模型，三角板。
教学过程共分为四个环节。
教学过程:
一、创设情境，回顾三角形知识---注重知识的“生长点”
同学们请看这是什么图形？你了解它吗? 你能向大家介绍三角形哪些知识?( 这样设计意图是注尊重学生已有知识经验，体会数学知识的内在联系，重点认识三角形内角的含义及三角形内角和是180度的特点）
我们知道了三角形内角和是180度，那么四边形，五边形的内角和是多少度呢？这节课我们就一起来研究。
二、自主合作，探究新知—注重“数学算法的优化”共设计了三个探究活动。
1、四边形内角和
（1）有同学愿意猜想四边形内角和吗？猜想也要有根据，你能说说你的根据吗？（引导学生体会理性思考）
有没有同学一看到四边形就马上想到360度呢？你是根据哪个图形直接想到的？（让学生借助已有的长方形、正方形知识进行理性推理，打通新旧知识之间联系）
我们通过计算长方形、正方形的内角和是360度，是不是能说明所有四边形内角和都是360度？（引导学生体会这是一种“假设”因为它是特殊图形中做的成“猜想”）
我们需要研究怎样的图形才能发现它们一般的特征和规律？（任意四边形）
（2）小组活动，利用学具中的任意四边形想办法计算内角和。师巡视（注意学生不同的方法）
（3）学生汇报。可能有计算法，引导学生起名字“量角求和法”
撕角法，起名字“拼角求和法”。
切割法1，起名字“一分为二求和法”（学生演示这种方法时，教师帮忙切割，强调弄清楚四个内角怎样变成六个角，分成了几个三角形，一是画了一条线段，二是分成了二个三角形）
切割法2，起名字“一分为四求和法”180*4=720度，讨论这种方法的问题，怎样用这种方法计算四边形内角和是360度
归纳总结：四边形内角和是360度。（通过不同的个性方法，验证四边形内角和，进一步认识内角含义，感受不同算法的好处）
2、五边形内角和
今天的研究我们就停在这里吗？根据经验，我们要向什么挑战？（五边形）你能猜想它是多少度吗？请你选择一种方法，证实你的猜想。
总结：看来数学的方法有很多，但是有的方法有局限性，有的方法只适合三角形和四边形，量角有误差，拼角法有的会超过360度，而第三种看起来最简便。我们称之为“优化法”
列出算式：180*3=540度（学生不仅在计算度数上有了经验，而且在计算方法上也有了经验）
利用这种最优的方法，同桌同学互相说一说，四边形和五边形各画了几条线段，分割成几个三角形,怎样求内角和？（设计意图是让学生对探究过程进行归纳整理，为进一步有序的研究其他图形指明研究方向。）
现在我们就来看一看其他图形是不是也有这样的规律？
3、六边形、七边形内角和
小组合作，自己完成探究过程，填写表格。
多边形的边数（条）
4
5
6
7
······
n
画出的线段条数（条）
1
三角形个数（个）
2
多边形内角和
180*2=360
学生汇报，总结画出的线段数和三角形个数之间联系。
三、归纳总结，形成规律---注重字母表达式的推理
通过大家的研究，找到了规律，请问10边形，能画几条线段，分成几个三角形？
90边形？100边形？n边形呢？（老师说我们研究三角形的个数，怎么去找边数的呢？学生说分割出的三角形的个数跟边数有关。那一千边形形，n边形呢?n-2得到的是什么?得到分成的三角形的个数。）
四、课堂总结，拓展延伸---注重数学思想方法的形成
一、开讲生趣
俗话说：“良好的开端是成功的一半”。一堂课的开头虽然只有短短几分钟，但它却往往影响一堂课的成败。因此，教师必须根据教学内容和学生实际，精心设计每一节课的开头导语，用别出心裁的导语来激发学生的学习兴趣，让学生主动地投入学习。如“三角形内角和”的引入部分，我先要求学生拿出自己预先准备的三个不同的三角形（直角、锐角和钝角三角形），各自用量角器量出每个三角形中三个角的度数，然后分别请几个学生报出不同三角形的两个角的度数，我当即说出第三个角的度数。一开始，有几位同学还不服气，认为可能是巧合，又举例说了几个，都被我一一猜对了，这时学生都感到惊奇，教师的答案怎么和他们量出的答案会一致的。“探个究竟”的兴趣因此油然而生。
二、授中激趣
开讲生趣仅作为导入新课的“引子”，那成功之路，至多只行了一半。还需要在讲授新课中适时地激发学生的兴趣，恰到好处地诱导，充分挖掘知识的内在魅力，以好奇心为先导，引发学生强烈的求知欲。比如上例新授部分，在板书课题后，接着又让全班学生动手做一个实验：分别把各自手里的三个三角形(锐角、钝角、直角三角形）的三个角剪下，再分别把每个三角形的三个角拼在一起，并言之有趣地激励学生：看谁最先发现其中的“奥秘”；看谁能争取到向大家作“实验成功的报告”。这时，学生心中激起了层层思考的涟漪，课堂气氛既紧张又活跃，发言争先恐后。还有的学生通过把正方形的纸沿对角线对折，变成两个完全一样的三角形，因为正方形有4个直角，是360 °，所以每个三角形的内角和是180°好方法。显然，此时不但学生对三角形内角和是180°的性质有了感性的基础，而且教师对这一性质的讲解也已到了“心有灵犀一点通”的最佳时刻。
三、设疑引趣
学起于思，思源于疑。“疑”是学生学习数学知识中启动思维的起点。在数学教学中，作为教师要善于提出具有引发学生思考的问题，使学生见疑生趣，产生有趣解疑的求知欲和求成心。
比如“三角形内角和”在新授结束后
师：（出示一个大三角形）它的内角和是多少度？
生：180 °。
师：（出示一个很小的三角形 ）它的内角和是多少度？
生：180 °。
师：把大三角形平均分成两份。它的（指均分后的一个小三角形）内角和是多少度？（生有的答90 °，有的180 °。）
师：哪个对？为什么？
生：180°，因为它还是一个三角形。
师：每个小三角形的度数是180°，那么这样的两个小三角形拼成一个大三角形，内角和是多少度？
这时学生的答案又出现了180°和360°两种。
师：究竟谁对呢？
学生个个脸上露出疑问，经过一翻激烈的讨论探究后，学生开始举手回答。
生1：180 °，因为两个三角形拼在一起，就变成了一个三角形了，每个三角形的内角和总是180 °。
生2 ：我发现两个小三角形拼成一个大三角形，拼接在一起的两条边上的两个角没有了，就比原来两个三角形少180 °，所以大三角形的内角和还是180°，不是360°。
师：表扬：你真聪明。演示 ：
这里教师通过提出两个具有思考性的问题，层层设疑，使学生探究知识的兴趣波澜起伏，时刻处在紧张而又兴奋的学习状态中。
四、练中有趣
练习是巩固所学知识，形成技能技巧的必要途径，是教学的一个重要环境。但也往往被呆板的练习形式、乏味的练习内容，把在学习新知识中激发出来的学习兴趣，而无情淹没，使学生愉快的心情、振奋的精神受到严重的扼杀和抑制。因此课堂练习要设计得精彩有趣，教学中教师根据所学内容，设计不同形式的练习。
1、练习形式要注意层次性。
设计不同类型、不同层次的练习题，从模仿性的基础练习到提示的变式练习再到拓展性的思考练习，降低习题的坡度，照顾不同层次的学生，使学生始终保持高昂的学习热情。比如“三角形内角和”中在运用规律解题时， 先已知两角求第三角；再已知直角三角形的一锐角求另一角，感知直角三角形的两锐角之和是90°；最后已知三角形的一角，且另两角相等，求另两角的度数，或已知三角形三个角的度数均相等，求三角形的三个角的度数。以上设计，通过有层次的练习，不断掀起学生认知活动的高潮，学生学起来饶有兴趣，没有枯燥乏味之感。
2、练习形式要注意科学性和趣味性。
布鲁纳说过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣。”教学时可适当选编一些学生喜闻乐见的、有点情节又贴进学生生活经验以及日常生活中应用较广泛的题目，通过少量的趣题和多种形式的题目，使学生变知之为乐知。比如，本课在完成基本题后，让学生在自己的本子上画出一个三角形，要求其中两个内角都是直角。在学生画来画去都无从下手时，个个手抓脑袋，冥思苦想。这时教师说出“画不出来”的理由，学生们恍然大悟。
五、课尾留趣
一节课的前半节，是学生接受知识的最佳时刻，但一到后半节，学生注意力容易分散，这时设计一些有趣的数学活动、游戏，不仅可以使大脑得到适当休息，又能吸引学生的注意力，达到“课业结束趣犹在”的效果。
在本课结束时，我设计了一道抢答题。
揭示： 把左图截去一部分，（每次只截一次）要使剩下图形的内角和是180°，有几种截法？”
学生原以为截法只有几种，到后来知道截法可以有无数种，感到是“一大发现”。但更使他们感到“一大发现”的是尽管截法有无数种，但剩下的图形的种类只有一种，因为内角和是180°的图形只能是三角形。这样练习，使学生在探索中不断体验到成功的乐趣和喜悦。
六、“评”中增趣
这里的“评”是指教师对学生答问或作业的口头或书面评价。数学材料本身因其感情色彩较少，难以引起学生的直接兴趣。如果数学教师能在教学语言、语速、语调和语气上风趣一些，幽默一些，对学生的答问、作业的评价上恰当地赋予一点情感味，那么，学生在学习数学过程中可增添妙趣，乐学而不疲。
关键词：小学数学 兴趣教学 学习积极性 教学质量
都说兴趣是最好的老师，学习兴趣除了可以作为推动学生自主学习的的内部动机，还可以成为帮助学生获得能力的关键要素。在整个小学阶段，课堂上调动学生的学习兴趣尤为重要。就以小学数学教学为例，常年的教学实践证明，如果学生对学习数学充满了兴趣，那么他们在课堂上就会格外的认真，在学习中就会格外的活跃，在做作业时也格外的愉快。所以在小学数学教学过程中我们要有意识的培养学生学习的兴趣，把握时机，因势利导的创造良好的教学氛围，激发学生的学习兴趣。下面我就如何在数学课堂中提升学生的兴趣做几点简单探讨。
一、精心设计课堂导入，引发学生的共鸣
在课堂教学的过程，良好的开端是成功的一半。而作为一节课来说，良好的开端也就是精心的导入教学设计。导入的精彩与否，以及导入是否符合学生心理特点，能够充分调动他们的积极性，将会直接影响到这节课学生学习的效果。虽然说一堂课的导入只有短短几分钟的时间，但它在学生的学习过程中却起到了激发学生兴趣，提高学生探索欲望的作用。为此，在小学数学教学课堂中教师要以学生实际情况为依据，精心设计每一堂课的开端。通过自己别出心裁的岛屿来激发学生的求知欲和探索欲，增强学生学习的兴趣。曾经有一位教师在讲授《三角形的内角和》这部分知识时，为了调动学生的兴趣，这位老师做了这样一个导入：首先让学生们拿出事先准备好的钝角、直角和锐角三个不同的三角形，然后在用自己手中的量角器一次量出不同三角形的三个角各自的大小，然后让同学们考一考老师，随便说出自己所量三角形的两个角的度数，老师回答第三个角的度数。很多同学都非常积极的参与到考老师的活动中来，结果每一次的问题都没有难住老师。这一下学生们就觉得奇怪极了，老师怎么那么厉害，每一次都能回答正确。在学生充满了好奇和疑问的情况下这一位老师随即在课件上打出了“探个究竟”，引导学生门进入了三角形内角和的探讨中。在这节课上，由于这位教师良好的导入，激发了学生的探索欲，所以在探求知识寻找答案的过程中学生的注意力都高度集中，认真的聆听者老师的分析，所以一堂课下来学习效率异常的明显。
二、鼓励学生参与课堂教学，激发学生学习的动力
课堂教学是一个动态的过程，及时教师之前有教学设计，每一个教学程序也是严格按照教学规律一一制定。但是在课堂上作为学习主体的学生，却常常会让教师感到出其不意。特别是对于年龄较小的小学生而言，教师在教学过程中更会遇到各种各样的突况。由于小学生想象力最为丰富，而且对任何新鲜的事物都会充满好奇，所以在教学过程中难免会出现部分学生问出，或者是表现出在教学设计之外的新问题。对于这些问题，教师不仅不应该压制，相反的还应该对其合理利用。这一方面是学生主体地位得到保证的体现，另一方面也可以鼓励学生大胆的提问，增强课堂民主的同时增强学生的自信心。比如说，再一次学习了三角形的内角和等于180°这一知识点后，再一次做练习的过程中，我分别展示的不同方位，不同大小的共计五组三角形，让学生判断他们的内角和是多少，从而总结出三角形的内角和与他们的大小和方位没有关系，都是180°。在此基础上，我随即让学生思考了这样一道题：一个大三角形，被分成了两个小三角形，请问这两个三角形的内角和分别是多少？这时有的同学答是180°，有的同学答是90°。由于刚总结过三角形的内角和不受三角形的大小影响，但却有同学还是犯了错误，对此，我认为这是学生们逻辑思维还不够严谨所造成的。所以，我又耐心的问他们，大三角形被分成了两个小的三角形，是这两个小的三角形是不是三角形？同学们都说是。我又接着说，那只要是三角形他的内角和都应该是多少？同学们都回答是180°。所以说被分出来的这来那个三角形各自的内角和也是180°。为此我在设问，假如两个内角和都是180°的三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是多少？这时所有同学整齐的回答我是180°。从这个例子我们不难发现，有问题并不可怕，有时课堂中的问题恰好是一项重要的资源。教师要好好加以利用，以促进学生对知识的掌握，同时增强学生学习的兴趣。
三、优化作业设计，由枯燥变兴趣
练习的目的是为了巩固所学知识，帮助学生通过掌握知识形成技能。联系也是教学环节的一部分。但是，在教学实践中我们却发现，很多教师给学生出的练习题，很多都较为呆板，更多的是属于简单的重复，机械的掌握。对于这样的练习学生通常过不了多长时间就会遗忘。这不仅扼杀了学生的学习兴趣，而且不利于激发学生的创造力和思维的发展。所以在教学中我们一定要注重设计有质、有效的练习题，让学生在获得知识的同时提升能力，培养学生学习的兴趣。比如说设计不同类型不同层次的练习题。这样不仅照顾到了不同学习层次的学生，而且还可以让学生始终保持高昂的学习和探究热情。又比如说设计一些利于激发学生兴趣的练习。比如说把练习题设计成课堂当中的抢答题，由于小学生好胜心都比较强，而且很渴望受到老师的关注和表扬。所以把练习体设计为课堂强大题，不急可以激发学生的好胜心和求知欲，还可以调动学生的思维，引导他们积极的思考，认真的学习。同时在抢答过程中对学生进行及时的表扬和鼓励，如对回答正确的学生说“你真棒，你真厉害，真聪明等”，而对没有回答正确的学生，也鼓励他们继续努力。比如“下次肯定会更好，就差一点了等等”。这些简单的用语，用到学生学习和练习过程中，所起到的作用不仅是情感上的补偿，更是心理上的调整，这对于帮助他们在学习数学的过程中形成不断探索的精神至关重要。所以，教师一定要改变呆板、机械的练习方式，化无趣为有趣，积极调动学生的学习热情，培养学生乐学、好学的好习惯。
参考文献：
一、开讲生趣
“良好的开端是成功的一半”。一堂课的开头虽然只有短短几分钟,但它却往往影响整堂课的效果。因此,教师必须根据教学内容和小学生实际,精心设计每一节课开头的导语,用别出心裁的导语来激发小学生的学习兴趣,让小学生主动地投入学习。如“三角形内角和”的引入部分,我先要求小学生拿出自己预先准备的三个不同的三角形(直角、锐角和钝角三角形),各自用量角器量出每个三角形中三个角的度数,然后分别请几个小学生报出不同三角形的两个角的度数,我当即说出第三个角的度数。一开始,有几位学生还不服气,认为可能是巧合,又举了几个例子,都被我一一猜对了,这时学生都感到惊奇:老师的答案怎么和量出的一致?“探个究竟”的兴趣油然而生。
二、授中激趣
开讲生趣只是导入新课的“引子”,如果仅仅停留于此,那成功之路至多只行了一半。教师还需要在讲授新课中适时地激发学生的兴趣,恰到好处地诱导,充分挖掘知识的内在魅力,以好奇心为先导,引发学生强烈的求知欲。比如,本课的新授部分,在板书课题后,我让全班学生动手做一个实验:分别把各自手里的三个三角形(锐角、钝角、直角三角形)的三个角剪下,再分别把每个三角形的三个角拼在一起,并激励学生:看谁最先发现其中的“奥秘”;看谁能向大家作“实验成功的报告”。这时,学生心中激起了层层思考的涟漪,课堂气氛既紧张又活跃,争先恐后地发言。还有学生通过把正方形的纸沿对角线对折,变成两个完全一样的三角形,因为正方形有4个直角,是360°,所以每个三角形的内角和是180°。显然,此时不但学生对三角形内角和是180°的性质有了感性认识,而且教师对这一性质的讲解也已到了“心有灵犀一点通”的最佳时刻。
三、设疑引趣
学起于思,思源于疑。“疑”是学生学习数学知识中启动思维的起点。在小学数学教学中,教师要善于提出引发小学生思考的问题,使学生见疑生趣,产生有趣解疑的求知欲和成就感。比如“三角形内角和”一课在新授结束后,我进行了如设疑。
师:(出示一个大三角形)它的内角和是多少?
生:180°。
师:(出示一个很小的三角形)它的内角和是多少?
生:180°。
师:把大三角形平均分成两份。它的(指均分后的一个小三角形)内角和是多少?(有的答90°,有的答180°。)
师:哪个对?为什么?
生:180°,因为它还是一个三角形。
师:每个小三角形的内角和是180°,那么这样的两个小三角形拼成一个大三角形,内角和是多少?
这时学生的答案又出现了180°和360°两种。
师:究竟谁对呢?
学生个个脸上露出疑问,经过一番激烈的讨论探究后,开始举手回答。
生1:180°,因为两个三角形拼在一起,就变成了一个三角形了,每个三角形的内角和总是180°。
生2:我发现两个小三角形拼成一个大三角形,拼接在一起的两条边上的两个角没有了,就比原来两个三角形少180°,所以大三角形的内角和还是180°,不是360°。
师:你真聪明!(演示。)
这里我通过提出两个思考题,层层设疑,使学生探究知识的兴趣波澜起伏,时刻处在紧张而又兴奋的学习状态中。
四、练中有趣
练习是巩固所学知识,形成技能技巧的必要途径,是教学的一个重要环节。但有时候呆板的练习形式、乏味的练习内容,往往把学生在学习新知识中激发出来的兴趣无情地淹没,学生愉快的心情、振奋的精神受到严重的扼杀和抑制。因此课堂练习要设计得形式多样,精彩有趣。
1.练习形式要注意层次性
教师应设计不同类型、不同层次的练习题,从模仿性的基础练习到提示性的变式练习再到拓展性的思考练习,降低习题的坡度,照顾不同层次的学生,使学生始终保持高昂的学习热情。比如“三角形内角和”中在运用规律解题时,先已知两角求第三角;再已知直角三角形的一锐角求另一角,感知直角三角形的两锐角之和是90°;最后已知三角形的一角,且另两角相等,求另两角的度数,或已知三角形三个角的度数均相等,求三角形的三个角的度数。以上设计,通过有层次的练习,不断掀起学生认知活动的高潮,使学生学起来饶有兴趣,没有枯燥乏味之感。
2.练习形式要注意科学性和趣味性。
布鲁纳曾说:“学习的最好刺激,是对所学材料的兴趣。”教学时,教师可适当选编一些小学生喜闻乐见的、有一定情节又贴近小学生生活经验、日常生活中应用较广泛的题目,通过少量的趣题和多种形式的题目,使学生乐学乐知。比如,本课在完成基本题后,我让学生在自己的本子上画出一个三角形,要求其中两个内角都是直角。学生画来画去都无从下手,个个冥思苦想,抓耳挠腮。这时我再讲解“画不出来”的理由,学生才恍然大悟。
五、课尾留趣
一节课的前半节,是小学生接受知识的最佳时刻。后半节,小学生注意力容易分散。这时教师设计一些有趣的数学活动,不仅可以使学生的大脑得到适当休息,而且能吸引他们的注意力,达到“课业结束趣犹在”的效果。
在本课结束时,我设计了一道抢答题。
揭示:“把图片截去一部分,(每次只截一次)要使剩下图形的内角和是180°,有几种截法?”学生原以为只有几种截法,到后来才知道截法可以有无数种,感到是“一大发现”。但更使他们感到“一大发现”的是:剩下的图形的种类只有一种,因为内角和是180°的图形只能是三角形。这样的练习使学生在探索中不断体验到成功的乐趣和喜悦。
六、“评”中增趣
这里的“评”是指教师对学生回答和作业的口头评价、书面评价。数学材料本身因其感彩较少,难以引起小学生的直接兴趣。如果数学教师能在教学语言、语速、语调和语气上风趣一些,幽默一些,在学生的回答、作业的评价上恰当地赋予一点情味,那么,小学生在学习数学过程中可增添妙趣,乐学而不疲。
【关键词】勾股定理；文献资料；教学设计；实验操作
在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.
1常见教学设计
查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.
1.1以证明定理为主的教学设计
章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.
课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼图的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼图的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.
分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.
《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究发现定理为主的教学设计
特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.
课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用图形面积（割补法）来分析和解决问题.
分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.
但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.
1.3以实验操作来发现定理的教学设计
苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.
课例3测量法[6]：任党华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼图法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.
课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦图开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼图法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.
分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画图、测量过程中无法保证图形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.
2勾股定理教学中需要突破的难点
通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计
上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.
3.1情境入
在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？
3.2探究发现
（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系
直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）
（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形图1
如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画图分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上图（图1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.
（3）几何画板验证猜想的结论
（4）不完全归纳法得出勾股定理
3.3定理证明与介绍
证明过程略.（图形割补见图2，证明思路见上面分析）
本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.
综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.
参考文献
[1]章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：14-19.
[2]刘东升.基于HPM视角重构“勾股定理”起始课[J].教育研究与评论：课堂观察版（南京），2016（1）：45-48.
[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[4]卜以楼.基于四能的“勾股定理”教学创新设计[J].中学数学教学参考（中旬），2016（7）：11-14.
[5]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.
[6]任党华.勾股定理（第一课时）[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：12-13.
《解三角形》这一章节在以前教材（以下称老教材）是第一册下第五章《平面向量》里第二个版块“解斜三角形”这是继第四章《三角函数》，第五章第一版块“平面向量”之后的一块教学内容其中9正弦定理，余弦定理；10解斜三角形的应用举例；实习作业“解斜三角形应用举例”，这里面补充了一块阅读材料“人们早期怎样测量地球的半径”这三部分内容完全隶属于解斜三角形，在教材139页至11页，总计13页结合之前的向量还有一个小结与复习参考题，这些内容被安排在高一下学期最后一章学习现行教材的《解三角形》是放在人民教育出版社必修（以下称新教材）第一章《解三角形》的形式呈现其中11正弦定理和余弦定理（包括探究与发现：解三角形的进一步讨论）；12应用举例（包括阅读与思考：海伦和秦九韶）；13实习作业；小结；复习参考题在教材1页至24页，总计24页因此，从编写及内容上讲，新教材在这部分编写上篇幅有所增加按教材的编写意图应该是按照必修1，必修2，必修3，必修4，必修顺序进行教学，也就是讲这部分内容应放在必修的最后一册书，应放在学生在高中二年级时才学习但从目前实施来看，绝大部分教师均按照必修1，必修4，接下来必修的顺序在进行教学，所以这部分内容还在继向量、三角后的一个版块，与老教材的顺序基本一致，均按以前代数的学习方式逐步推进
下面我们就这一块内容进行对比分析新老教材的区别与联系
1正弦定理、余弦定理
11这一节老教材是以初中学习了直角三角形引申出如何解斜三角形，这一点与新教材中的“探究”基本类似，用以引导学生找到三角形中边角的量化关系而新教材是以我国古代嫦娥奔月的神话故事、1671年两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离，导出我们应该如何测量距离，导出包括海上岛屿距离、底部不可到达的建筑物高度、飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度、航行的轮船的航速和航向这样四个问题来引入我们的研究内容从引入来分析，新教材更贴近生活，更容易让学生进入状态，更能激发学生学习的正能量，开拓学生的探究意识，让学生知道为什么要学习这部分内容，学习了有什么用处，学好了能解决一些什么问题，引入上新教材更体现了新课改的理念：数学的生活化，生活的数学化
12正弦定理的证明，老教材是以向量的形式给出的，这一点应该是基于上一版块内容为平面向量，借以让学生用刚学完的知识解决现有问题新教材则是以三角形中等高为中介得到，这是编写者可能更趋于几何化（高中数学选修教材设置了几何选讲）新老教材均先在直角三角形中说明，后在锐角三角形中证明，老教材将钝角三角形进行了引申说明，而新教材则作为探究而且试问学生是否可以用其他方法证明正弦定理，这里新教材更体现了学生学数学，而不完全是老师教数学
13正弦定理给出后，老教材直接给出他的应用：能解决两类三角形问题而新教材则给出了一个思考，让学生思考正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题，然后再给出，而且这里也给出了解三角形的概念
14例题的呈现上，老教材给出了三个例题，均为正弦定理的应用，由于没有提出解三角形的概念，所以例1、例2均求解三角形中的一个元素，而例3涉及分类讨论，涉及三角形解的个数分类讨论而新教材只有两个例题，均为解三角形，其中例2也涉及分类讨论，老教材在此对三角形解的个数情形进行了总结，而新教材则出现在第8页探究与发现“解三角形的进一步讨论”
1对于余弦定理，新老教材均采用了问题引入，均给出了向量的证明方法，老教材采用AC=AB+BC，新教材采用AB=CB-CA新教材还让学生思考如何用坐标证明余弦定理以及其他的方法定理的证明在新教材中有所突出，从高考也可看出，例如2011年陕西卷理科18题就要求学生证明余弦定理老教材给出余弦定理后即特殊化到勾股定理，进而直接指出余弦定理可解决的问题新教材则让学生思考勾股定理与余弦定理的关系，探究余弦定理可解决的三角形问题例题设置上，新老教材均有两个例题，难度与梯度相当，但新教材第7页给学生提供了一个选择性问题：在解三角形的过程中，求一个角有时既可用余弦定理也可用正弦定理，两种方法有什么利弊，应如何选取还给出了一个思考，让学生总结解三角形问题类型，分别如何求解；求解三解形时，是否必须已知一边
16作业设置上，老教材正余弦定理一共设置了4个练习题而新教材分开各设置了两个练习题虽然数量、难度相当但从教学角度讲，新教材更适用一些，节奏感、层次性更强一些对于习题来讲，老教材设置了9道题目，新教材分为A、B组，其中A组4个题目，B组2个题目老教材习题相对于新教材难度要大一些，应用性强一些，而新教材更精炼，更简洁一些
2解三角形的应用
21在解三角形的应用上，新老教材的差异极大，首先从篇幅上讲，老教材只用了3页，而新教材用了10页老教材用了两个例题分析如何将实际的距离问题转化为解三角形，在练习题中练习1让学生计算了一个高度问题，练习2以及习题、10均为计算距离或高度，这一点处理很浅显，相对新教材深入不够
22新教材首先引出正余弦定理在实际测量中的应用，并分成测量距离，测量高度，测量角度等问题的一些应用其中例1、例2为距离测量，例1采用给出实际数据解决实际问题，例2则考察更为灵活，让学生设计一种解决问题的方案这种类型题目以前的教材、教辅均很少见，这里应该是一个突破以往的数学问题往往模式很固定，即给出一些数据，要求学生用所学知识解答出一些数据而这里需要的是一种方案，答案可能不唯一，只要能够解决问题即可这对学生的创新思维是一个极大的考验（2009年宁夏、海南卷理科17题与此题类似）距离问题新教材设置了2个例题，其中练习1与老教材习题1材料模型一样，练习2与老教材例1完全一样这也应该体现了新教材的改变是有老教材作铺垫，只是编排更合理一些新教材在测量高度问题上设置了3个例题，3个练习题，其中有数据计算，有方案设计还有证明对于测量距离与方向问题，新教材设置了例6与一个练习题从这些设计上看，新教材更贴近生活，设计层次性更强，应用性更广
23新教材在应用上还单独增加了三角计算（面积问题）及三角恒等证明其中计算两个例题，并推广证明了三角形的高和面积公式，例9设置了应用正余弦定理的三角恒等证明，练习中增设了第3题把三角形两边投影到另一边上的公式证明老教材中习题9第4题要求学生自己推证三角形的面积公式，而新教材则以公式给出，并多处应用可见新课程改革对这些内容的加强新教材中应用的习题A组前11个题目全部为应用题，12至14以及B组所有题目均为三角证明，其中多处用到正余弦定理与面积公式，而且涉及海伦公式，中线长度等平面几何问题，难度较大，学生处理比较困难这部分与几何选讲衔接很好，更能训练学生的几何思维能力
3阅读材料
老教材在149页设置了一个实习作业：解三角形在测量中的应用让学生设计测量有障碍物相隔两点距离或底部不能到达物体的高度等测量问题，让学生结合实际，使用测量工具，选择测量问题，设计测量的具体方案，以小组合作形式，最后运用所学数学知识写出实习报告或小论文，总结实习体会这一出发点其实很好，能够提升学生的动手能力，提升学生书写数学作文的能力，但大多数学校可能由于种种原因均未做这一项工作，所以这个实习作业的实际操作性不太强老教材还在11页设置了一份阅读材料：人们早期怎样测量地球的半径？介绍了三角网法，介绍了弧长公式，介绍了数学家皮卡尔，还给出了如何测量的方法，从之前的教学观察，这一部分内容趣味性强，应用性强，很受学生欢迎新教材在此做了强化，教材中出现了两处阅读材料，其中第8页的探索与发现：解三角形的进一步讨论，首先提出了一个问题，发现错误，找出错因，最后解决问题，给出总结这相对于老教材直接给出结论要来得更自然一些，更顺理成章一些，同时也引导学生发现问题，如何分析问题，如何解决问题，最后发现结论以及如何应用新教材第二处是第21页阅读与思考：海伦与秦九韶这里介绍了海伦公式，介绍了一些外国数学家及他们的著作，并介绍了我国数学家秦九韶的“三斜求积”公式，让学生感受这些数学家的伟大发明与他们勇于创新的科学精神体现了新课程中的数学即是一种文化，通过一些数学史来熏陶学生，让学生能在数学的海洋中更进一步
4小结与复习参考题的设置对比
老教材在小结上罗列出了知识点，并配套设置了例题而新教材只用了不到1页的篇幅小结，主要罗列了知识结构框图，回顾与反思，让学生自己总结本章节所学知识，锻炼学生自我总结，自我反思的学习能力，在小结上新教材更突出了新课标的理念在复习参考题的设置上，老教材由于与向量在同一章节，设置解三角形的题目较少，而新教材则设置了A、B组共计10个题目，主要为应用题目和探究题目，可见新教材在作业设置上更趋于挖掘学生的探究、创新能力
另外，从页面设置来讲，新教材较老教材设置页面更大一些，图片，符号，颜色更全面一些，专业术语还有英文注释，例如解三角形（solving triangles）、正弦定理（law of sines）等，这些都更利于学生阅读内容设计上更具有个性化，更能满足不同层次的师生教学的需求，提供给老师，学生更多的自由思考空间数学是有用的、是自然的、是清楚的学数学要靠自己摸索自己的学习方法，学数学是能提高学习者能力的新课程的这些理念在教材的编写上展现的淋漓尽致
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