【关键词】：变换问题 函数图象 三角函数 解题方法 图象变换 典型例题
三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映，是研究三角函数的性质的基础。而三角函数的图象的特征和性质，又是通过函数的图象变换反映出来的，因此掌握这一函数图象的变换关系及灵活运用，是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时，三角函数的图象变换也是历年高考中的常考内容。
下面浅谈三角函数的图象变换。对于这一函数的图象变换，课本上首先分别探索了、ω、A对图象的影响，即得到下面三种基本变换：
1、相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当
2、周期变换：把的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0
3、振幅变换：把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0
然后在此基础上，归纳总结出由正弦曲线得到函数的图象的变换过程：
课本对于这一过程的归纳总结，虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，说明了图象的变换过程，但是学生在学习理解上却存在一定的困难，有相当部分的学生全靠死记硬背，形成思维定势。如果改变图象的变换顺序，即先进行周期变换，再进行相位变换，则容易产生错误。如对于的图象变换，在由变换到后，有些学生错误地认为：只需再将其图象向左或向右平移||个单位，而正确的图象变换应该是向左或向右平移个单位，即函数变换为。相位φ变换实质上就是将函数的图象向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说。这样就避免了容易发生的错误，有助于分析和解决问题。请看下面的例题。
例1、要得到的图象，只需将函数的图象( )个单位长度
（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移
分析：因为，由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动，移动单位为，即有，于是选（D）。
变式：要得到的图象，只需将的图象( )个单位长度
（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移
分析：因为，即，所以选（C）。
评注：进行图象变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。
例2、已知函数 ( )的图象如图1所示，那么( )
（A） （B）
（C） （D）
分析：由图象可知：又,
所以，于是选（C）。
评注：①此题牵涉到三角函数的性质、图象及其变换，要解决它需要综合应用这些知识；
②数形结合是数学中重要的思想方法，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。
例3、为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
（A）向左平移 （B）向左平移 （C）向右平移 （D）向右平移
解： 因为，又题中变换与图象变换相逆，因此方向应向右，平移单位为：，所以应选（D）。
变式：将的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的2倍，得到的曲线与相同，则是( )
（A） （B）
（C） （D）
解：将图象上的每个点的纵坐标不变，而横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，再将此图象向左平移个单位得到
，即，选（C）。
评注：图象变换的过程是可以互逆的。例题3及其变式的设计有助于培养学生的逆向思维能力，开阔学生的视野，做到举一反三，加深对知识的理解。
总之，为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图象变换，我们在设计相关题组时，可以对自变量x进行变化，可以对函数的解析式进行变化，还可以对变换过程的顺序进行变化。三角函数图象的周期、振幅、相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容。对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图象，哪是新函数的图象，再根据三角函数的图象变换规律，很快就可得到解决。
参考文献：
熊道军．三角函数的图象变换
一、思辨中指导方法，培养解题的独创性
为了提高学生的思辨能力，教师要培养学生思维的独创性.教师在数学教学中要注重方法的指导，鼓励学生创新，让学生通过创新表现出智慧；通过联想、观察、类比、寻求最简洁的方法，形成自己的解题策略和模式.学生掌握了学习方法会在探究中主动地进行思辨，学生会找出知识之间的关系，归纳出本质性的联系，并且通过逻辑表达来进行陈诉和交流，实现学生潜能的发挥.通过学生不断地对学习方法和学习思路的探究，学生的创新能力也会得到开发，促进学生思辨能力的提高.
则满足f（x）≤2的x的取值范围是什么？在思考中学生会认识到解决分段函数问题的中的原则是分段解决，设计到分段函数的不等式问题，要注意分段函数在不同区间上解析式的应用，同时注意其定义域对x的范围的限制.分两段分别列出不等式组，两个不等式组解集的并集即为所求的结果.学生的思考使学生有了自己的思路，找到了解决问题的方法，同时在辨析中有的学生认识到了不能忽视分段函数各段的定义域对不等式解集的影响而直接求解，造成失误.也不能忽视分段函数的整体性，人为地割裂各段造成失误.学生之间的思辨使学生全面地分析和探究了问题，促进学生参与到数学学习活动中，在思辨中提高学习能力.
二、思辨中发散思维，培养思维的灵活性
教师在数学教学中往往通过例题对学生进行指导，让学生掌握知识.可是教师教给学生的方法知识是其中的一种，其实问题是固定的，方法是多种多样的.教师要指导学生灵活运用各种方法去解决问题并且总结解决问题的方法规律.或者是引导学生改变原来的思考方向，进行发散思维、变式教学，让学生可以朝着多角度和多方面去思考，能够做到一题多解、一题多变.当学生能够灵活掌握各种方法后，教师要帮助学生从中选优，进行比较鉴别，选择最好、最快的方式去解决问题.
例如学习了“简单的三角恒等变换”后，学生能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.通过学生对于知识的探究和思辨，学生的思维会发散，对于规律的认识也会逐渐全面，使学生能够在理解的基础上进行思考和探索.在思辨中学生会总结出常用的三角恒等变换技巧：角变换时要观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角；函数名称变换时要观察比较题设与结论之间，等号两端函数名称差异，化异命为同名；次数变换时常用方式使升幂或降幂，主要是二倍角余弦公式及其逆向使用.思辨帮助学生形成对于数学规律的认识，促进学生灵活地掌握知识，在解题过程中使用的得心应手.
三、思辨中参与过程，培养学习的实践性
在职高数学教学中，教师要把课堂还给学生，让学生通过先做的方式来形成自己的解题方法和思路，之后教师再对学生进行指导和指教，促进学生在思辨中掌握解题方法.通过学生的实践，学生会发现自己存在不足的问题.“做”让学生的思维运转起来了，学生的思辨会更具有逻辑性.之后教师的讲解让学生有针对性地倾听，促进学生对于课堂关注度的提高.学生形成了自己的认识后，完整地解决了问题，教师可以邀请个别学生进行展示和讲解，让全班学生都了解他的思路和方法.这样有利于教师帮助学生进行纠错，并且恰当地对学生进行评价，使学生接下来的学习可以有的放矢.
【关键词】正弦型曲线 五点法 教学探讨
【中图分类号】G718.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0178-02＼
一、正弦型曲线在中职数学课的地位
正弦型曲线是全国中等职业技术学校通用教材《数学？电子电工类》（第五版）第一章1.3正弦型曲线与正弦量其中部分内容。作为函数，它是已学过的正弦函数及其诱导公式的后继内容，也是三角函数的基本内容，因此，本节在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
正弦型曲线是在学生掌握了三角函数的定义、诱导公式、五点作图的基础上的一节新授课，是学生对所学内容的巩固以及五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用，是一节函数图象探究的重要范例，也是提高学生识图能力、画图能力、数形结合思想等的一次锻炼。通过本节课要求学生熟练掌握五点作图和三种图象变换。
另外，正弦型曲线是代数与几何的有机结合，又为电工专业课中正弦交流电电压、电流波形图的学习打下基础，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁，同时在日常生活中应用广泛，如简谐运动、机械波等。因此，本节课的学习十分重要。而怎样的教学能让学生真正掌握本节课的知识？本人就这个问题进行探索研究，积累了一些做法，收到了积极效果。
二、正弦型曲线的教学策略
（一）理清重点。本节课的学习目标是熟悉用“五点法”作正弦型函数的图像、了解函数的图像可由正弦曲线经过三种变换得到。
函数及其图像历来是学生的弱项，尤其是三角函数。“五点法”作图作为描绘函数图像最基本、最重要、最具操作性的方法，是每个学生必须掌握的基本技能，是学生能否成功得出图形变换规律的关键所在。因此“五点法”作图应为教学重点之一，目标是让学生理解和掌握作图的要点，并能够画简单函数的图像。其次是正弦型曲线的画法及其变换关系。用五点法画出函数图像，并得到图像规律后，应运用多媒体课件或学生课堂演练对得到的规律进行考察和检验，并加以练习，指出“五点法”和“图形变换法” 之间在画图上的联系与区别，体会图形变换的奥妙，才能达到本次课的教学目标。
（二）适当简化。首先，明确教学对象是一年级的中职生，教学时间为第一学期。学生的基本情况是只在初中粗略学过正余弦函数及其图像性质，能画出函数草图的寥寥无几，了解“五点法”作图的几乎为零。对于一般画图步骤：列表―描点―连线，许多学生感到茫然。针对这种情况，除了要补充必要的基础知识外，教学中还要适当简化问题，让学生有充裕的时间循序渐进掌握知识。例如，从初中正弦函数的画法（如图1），观察图像得到特殊“五点”便是简化问题的体现。又如从正弦曲线获得“五个特征点”时，学生不难得出此五点分别是一个周期内的“起点、最高点、中点、最低点和终点”，但要获得一般正弦型曲线y=Asin（ωx+φ）五点的一般坐标
，0，
+
，A，
+
，0，
+
，-A，
+T，0，还需要将问题简化。这里涉及两点内容：起点是否在原点、五点与周期之间的关系。因此，可以先简化问题，将正弦型曲线的起点设定为原点（即y=Asin（ωx），学生则容易根据正弦函数的五点坐标得出此时五个特征点分别为0，0，
，A，
，0，
，-A，T，0，并总结方法，巩固练习之后再学习起点不在原点的正弦型曲线。这种化繁为简，步步为营的方法不仅学生易于接受和掌握，同时可以发挥学生的主观能动性，让学生动脑、动手，从探究中获得知识。
（三）整合知识。
1根据需要整合课本前后知识。正弦型曲线的教学可将后续即将学到的正弦量三要素，以及周期、频率和相位提前讲解。这样正弦型曲线的解析式呈现在学生的面前就不仅仅是字母与数字，学生能在理解函数解析式的情况下研究各个变量对其图像的影响，明确目的，做到有意义学习。尤其是对于解析式中周期T的公式求法，将有利于学生理解正弦型曲线的周期性，以及根据解析式准确求出五点的坐标。
2根据需要整合专业课程知识。数学因其知识的抽象性、应用的广泛性才从专业课中分离出来，与专业课程相辅相成，共同发展。但实际教学中仍要主动考虑专业需求，结合专业内容整合教学，扩大专业学科向数学的渗透，填补教材中知识的短缺。本节课教学可以引入电工电子技术基础中的各种电路模型、基尔霍夫定律、正弦交流电、三相交流电（如图2）等，这样既能使原本零碎夹杂在专业课本中的数学知识，归入到数学体系中，又能对原本教学内容进行扩充和加深。这种要求强调把知识作为一种工具、媒介和方法融入到教学的各个层面中，通过多种学科的知识互动，培养学生的学习观念和综合实践能力，促进师生合作，实现以学生为主体的课堂理念。
（四）“数形分家”。 课本根据y=Asin（ωx+φ）的三个参数A、ω、φ、按照列表―描点―连线―得出规律的思路设置了三个探究。这无疑是一个巨大的挑战，学生如若没有牢固的作图基础，根据不同条件画图都将是一个难题，更别说在一次课中就经历三次完整的数形结合循环：公式图形规律，尤其是程度处于中下水准的学生，更是难于操作，课后也记不住。
因此，本次课的教学可以采用将代数与几何暂时分离的方法，第一节课的教学主要是根据原点是否在起点分开求解两种正弦型曲线的五点坐标公式，并让学生用公式求解给定正弦型函数的“五点”坐标以巩固知识，并不画图。第二节课则让学生根据上节课所求得的“五点”坐标严格按照描点―连线的步骤画图，并研究三种图像规律。这样的教学将原先三段式教学降为两段式教学，既可以让学生的知识结构系统化，同时也能让学生深刻体会“以数解形” （即借助于数的精确性来阐明形的某些属性）和“以形助数” （即借助图像的直观阐明数之间某种关系）的数学思想，体会到数形结合的魅力。
三、结语
本节内容学生要掌握“五点法”作图、理解并三个参数对函数图象的影响，方法不唯一，知识密度大，理解掌握起来相对困难。因此，教师在教学过程中要能精读教材、钻研教材和处理好教材，根据学生的具体特点，运用恰当的方法精心教学，并不断反思总结，慢慢积累经验，渐渐把握规律，化难为易，逐渐优化教学效果，提高教学质量，让学生实现全面身心发展。
参考文献：
[1]陈智明，易振兴.关于正弦型曲线的教学探讨[J].《数学通报》，1998年02期
1.概念理解不透彻
数学概念理论是学生解决三角函数问题的理论依据，蕴含着丰富的数学思想。由于三角函数的数学概念较为抽象，学生对其理解不透彻。比如在sin（2x+10π），我们可以用诱导公式得出原式等于sin2x，这是直接运用了诱导公式计算出来的：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin（2x+360?）=sin2x。学生如果对诱导公式理解不到位，这道题就很有可能答不出来。还有很多学生对函数图像不熟悉，造成sinx和cosx图像混淆，周期不熟悉，在对后期图形变化时观察不足，分析不准确，这些都会造成学生在数学考试中一些简单的选择填空得不到分。长此以往，学生对学习三角函数会产生厌倦感，失去学习兴趣。
2.学生综合型学习知识较差
三角函数是高中数学中应用范围最广的知识点，它和其他知识点应用在一起的可能性极大，一般考试中主要还是与其他知识点综合起来考查学生。例如，某兴趣小组想测量一座楼CD的高度，先在A点测得楼顶C的仰角为30度，然后沿AD前行10米，到达B点，在B点测得楼顶C的仰角为60度，请根据测量的数据计算楼高CD。
以上问题是将实际问题与函数知识相结合，一些学生往往想不到要用三角函数来解决，知识迁移能力不足，综合学习知识能力较差。
3.三角函数公式变形记忆较差
由于三角函数公式较多，学生在记忆过程中容易记混或记不牢固，在后期做题过程中有些复杂的公式经过变形可以简单化，一些学生记不住公式导致做题步骤繁多，并且还容易出现计算错误。例如，在求函数y=sin2x+√3cos2x的最大值、最小值及周期时，可以进行相应的化简y=sin2x+√3cos2x=2（1/2sin2x+√3/2cos2x）=2（cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x）=2sin（2x+π/3）函数的周期T=2π/2=π，公式经过合理化简后解题更加简便。
二、提高三角函数教学质量的措施
1.丰富学生的解题技巧
在学习三角函数的过程中，由于三角函数自身存在灵活性，学生在解答问题时需要进行相关的简便解答。其实，三角函数的固定题型分为几种，教师可以对每类数学题进行相关的经验总结和指导，使学生在解答过程中把握解题规律，熟悉解题技巧，从而在后期的学习中更加快速学习。
例如，在学习角转换过程中sin20?cos70?+sin10?sin50?，计算这个式子的值，可以转换成角来计算，具体步骤如下：
sin20?cos70?+sin10?sin50?=（1/2）[sin90?+sin（-50）?]+（1/2）（cos40?-cos60?）=（1/2）（1-sin50?+sin50?-1/2）=（1/2）（1/2）=1/4
通过数字和角之间的相互转换，学生在做这类题型的时候就有了解题思路，丰富了学生的解题技巧，激发了学生学习数学的积极性，促进教师教学目标的完成。
2.强化学生的画图意识
三角函数一般是高中一年级的知识点，低年级学生虽然有一定的知识储备，但是对抽象化的数学概念理解依旧不足，因此，教师可以采用图像法加强学生对知识点的记忆。三角函数涉及的知识较多，如性质、对称性等，单纯靠记忆很难记忆准确。教师可以将抽象的三角函数概念具体化，帮助学生进行理解，提高学生的学习效率。
例如，在求三角函数y=sin（π/3-2x）的单调递增区间时，除了运用传统的公式法y=sin（π/3-2x）=-sin（2x-π/3），令2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，求得kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12。
故该题的增区间是[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，学生还可以利用图像的平移变换来计算。通过增强学生的画图意识，拓宽学生的做题思路，让学生将知识点与图像结合起来，更有利于解答问题。
3.将三角函数知识融入教学过程
三角函数的知识点贯穿于整个高中数学学习过程中，所以教师应该将该知识点放到整体教学过程中，学生在学习其他知识的同时也能够对三角函数知识点进行复习与巩固。教师要创新教学方式，根据学生的学习规律来制订教学计划。
近几年全国各省市高考试题中，有关三角函数的内容平均有20多分，约占总分的15%.试题包括一道考查基础知识的选择题或填空题和一道考查综合能力的解答题.解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题.本文着重分析高考题和模拟题中有关三角函数的各类解答题，主要剖析命题切入点，围绕解三角函数解答题的方法思路，总结一些规律，供读者参考.
一、重视对三角函数定义的考查
例1如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（Ⅰ）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求sin(α+β)的值；
（Ⅱ）若|AB|=32，求OA・OB的值.
【分析】本题第（Ⅰ）问直接考查三角函数的定义，根据定义求得α，β的正弦、余弦值.之后通过两角和的正弦公式展开，代入就可以求出结果.而第（Ⅱ）问求OA・OB的值的时候，除了下面解析中的定义法以外，也可以通过余弦定理求解.
【解】（Ⅰ）根据三角函数的定义知，
cosα=35，sinβ=1213.
α的终边在第一象限，sinα=45.
β的终边在第二象限，cosβ=-513.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=45×(-513)+35×1213=1665.
（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，
|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA・OB
=2-2OA・OB，2-2OA・OB=94，
OA・OB=-18.
【点评】三角函数定义对学生而言既熟悉又陌生，熟悉是因为有锐角三角函数定义的基础，理解不难；陌生是因为学过以后用得比较少，见面次数少了自然陌生.本题应用三角函数定义容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生从解三角形入手，则会使本题变难，从而走不少弯路.
二、三角求值注意角的范围限制
例2（2013年湖南卷）已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；
（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
【分析】本题主要考查简单三角求值以及三角不等式求解，求解此题的关键是利用好降幂公式、辅助角公式等，对已知函数关系式进行先化简，之后再根据三角函数图象或三角函数线的变化趋势去求解.
【解】（Ⅰ）因为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，
所以f(α)=3sinα=335，
从而sinα=35，α∈(0，π2).
因为sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.
（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32・sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.
【点评】本题不难，但是考生在由sinα=35求得cosα=45时，千万要注意α∈(0，π2)，否则余弦应该有正、负两个取值了.此外，就是三角函数的相关公式必须熟练掌握.
三、辅助角公式要灵活应用
例3（2013年天津卷）已知函数f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求f(x)在区间［0，π2］上的最大值和最小值.
【分析】本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及辅助角公式.还包括三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，需要考生熟练掌握相关公式和基本的运算求解能力.
【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x・cosπ4-2cos2x・sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).
所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）因为x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，则sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，当2x-π4=π2，即x=3π8时，f(x)的最大值为22；当2x-π4=-π4，即x=0时，f(x)的最小值为-2.
【点评】所谓辅助角公式，其实就是两角和与差的正、余弦公式的逆用.显而易见，逆用公式比正用公式在理解上有困难，所以建议读者在做这类题的时候，不要怕麻烦，要尽量将步骤写全.如本题化简过程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x・cosπ4-cos2x・sinπ4)=22sin(2x-π4).这样，化简自然不会失分.
四、会用换元法求二次函数型最值
例4已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
（Ⅰ）求f(π3)的值；
（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.
【分析】本题利用换元思想，引入参数，利用一元二次函数性质，根据一元二次函数的图象，即可求得f(x)的最值.
【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.
（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.
因为cosx∈［-1，1］，所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=23时，f(x)取最小值-73.
【点评】其实，比如求函数f(x)=sinx・cosx+sinx+cosx的值域，我们也可以用换元法，求二次函数值域得结论.令sinx+cosx=t，则sinx・cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在换元的过程中，千万注意变量的取值范围在变化前后的等价性，本例中就是t∈［-2，2］.
五、图象问题考查形式多样
例5（2013年上海卷）已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0.
（Ⅰ）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意的a∈R，求y=g(x)在区间［a,a+10π］上零点个数的所有可能值.
【分析】本题第（Ⅰ）问判断函数的奇偶性，考生习惯上马上入手判定F(x)与F(-x)以及-F(x)的关系.但是，当说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数的时候，我们只需要有一个反例就够了.而第（Ⅱ）问考查函数图象的平移伸缩变化，是考生极易出错的地方，主要原因是没有抓住关键――不论平移与伸缩顺序如何，想要判断水平方向平移的单位数，关键是看自变量x的变化，当自变量由x变化到x+φ，函数图象向左（φ>0）或向右（φ
【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)
=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).
F（-π4）=0,F（π4）=22,
F（-π4）≠F（π4），F（-π4）≠-F（π4）.
函数f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函数也不是偶函数.
（Ⅱ）当ω=2时，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，
2x+π3=kπ-(-1)k・π6，k∈Z，
即x=kπ2-(-1)k・π12-π6，k∈Z.
区间［a,a+10π］的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其他区间仍是2个零点.故当a=kπ2-(-1)k・π12-π6,k∈Z时，21个，否则20个.
【点评】函数图象问题包括图象变换（通常以选择题形式出现），上述试题是一个很不错的例子，通过函数图象的平移、伸缩变换求函数解析式.
六、与向量结合问题常考常新
例6（2013年辽宁卷）设向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.
（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=a・b，求f（x）的最大值.
【分析】本题注意到向量的坐标表示，解决起来不是很困难.但是在考试的时候，考生容易忘记数量积a・b的坐标表示，而只是记得定义a・b=|a|・|b|・cosθ，从而使得本题第（Ⅱ）问解决起来比较困难.
【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.
又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，从而sinx=12，所以x=π6.
（Ⅱ）f（x）=a・b=3sinx・cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，则当x=π3时，sin(2x-π6)有最大值为1，所以f（x）的最大值为32.
【点评】向量与三角函数等代数知识相结合考查是近年高考的热点题型，其主要特点是用向量的形式给出条件，然后要求解决有关函数、三角、数列等问题.在解题时，有两方面可以考虑，一是把向量问题转化为代数问题，然后由代数知识解题；二是构造适当的向量，使问题目标向量化，然后通过向量运算来解题.
七、解三角形问题要注意挖掘隐含条件
例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)・cosB=0.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围.
【分析】本题注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用两角和的余弦公式展开，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）问求b的取值范围，则需要注意到余弦定理的选择，以及通过二次函数求b2的取值范围，从而求出b的取值范围.注意，如果只是求b的最小值，还可以选择均值定理.
【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，
即有sinAsinB-3sinAcosB=0.
因为sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.
又cosB≠0，所以tanB=3.
又0
（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1，cosB=12，
有b2=3(a-12)2+14.又0
【点评】三角形中的三角函数关系是历年高考重点考查的内容，以三角形为主要依托，以正、余弦定理为知识框架，结合三角函数、平面向量等内容进行综合考查.在三角形中，正、余弦定理将边和角有机地结合起来，实现了边角互化，从而使三角函数与几何建立了联系，为解三角形提供了理论依据.
八、与导数结合问题新颖
例8（2013年北京卷）已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围.
【分析】本题第（Ⅰ）问考查直线与曲线相切的问题，只要注意相切的本质――切点处曲线的斜率等于切线的斜率以及切点既在直线上也在曲线上，就可以求出a与b的值.本题第（Ⅱ）问设置得简单大气，但是对考生数学思维能力要求非常高.大多数考生判断出来函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，且f(0)=1.于是马上下结论：若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，则必须b>1.但是，却因没有说明当x+∞时，f(x)+∞的，不能得满分.
【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得
f′(x)=x(2+cosx).
(Ⅰ)因为曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.
（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.
当x变化时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1
所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函数f(x)在区间(-∞，0)和(0，+∞)上均单调，所以，当b>1时，曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.
《函数的奇偶性》是高中人教版必修一第一章第三节的内容，教材从学生熟悉的两个特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性比较系统地介绍了函数的奇偶性。
【学情分析】
1.高一学生在初中已经学过轴对称及中心对称图形，但主要处在感性认知阶段，理性思维片面，缺乏深刻性。
2.从学生的思维特点看，学生很难从前面所学的函数的单调性联系到图形的对称性所反映的函数的奇偶性，这对学生的思维是一个突破，所以让学生利用对图像的直观感受，在学生的主动参与中引导学生多思、多说、多练，使得对问题的认知得到深化。
3.让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验，所以让学生独立去观察、动手计算、归纳猜想，使学生自主参与知识的发生、发展及形成过程。
【教学目标】
1.从数与形两个角度引导学生理解奇函数、偶函数的概念。
2.学会利用定义判断奇偶性。
3.渗透数形结合和从特殊到一般的数学思想，培养学生观察、归纳、抽象的能力。
【教学重点】
函数奇偶性概念的建立过程，即通过几何直观地把函数图像的对称性用代数形式来描述。
重点确定的理由：学生通过观察函数图像的对称性，产生定量刻画描述的倾向，即通过图像抽象出用解析式描述函数的奇偶性，解决重点的关键是数形结合、归纳抽象。
【教学难点】
函数奇偶性概念的形成及奇偶函数定义域的对称性。
难点确定的理由：奇偶性概念中蕴含着“具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称”，学生理解的难点是定义域关于原点对称，所以问题主要集中在：如何帮助学生理解定义域的对称性。
【教学过程】
一、提出问题，启发思考
问题一：在所学过的函数图像中，哪些是轴对称图形、哪些是中心对称图形？
预设：二次函数的图像是轴对称图形，反比例函数的图像是中心对称图形，学生到黑板上画出函数的图像并写出解析式。
问题二：华罗庚说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微。”“形”上的对称在“数”上表现出了怎样的规律？要寻找规律一般怎样做？
预设：从特殊到抽象，从具体到一般，先猜想再证明。继续追问：是不是任何图像关于y轴对称的函数都有关于原点对称的规律呢？能不能结合图像给出说明？
设计意图：
1.奇偶性思维的起点就是两种对称――轴对称与中心对称，教学设计要贴近学生的思维，让思维的发生发展更加自然。
2.学生对形的感知比较直观、整体，对数的感知相对比较抽象。数具体表现在坐标，从本质上讲就是研究横坐标变化带来的纵坐标的变化。
二、步步深入，形成概念
1.从数值角度去研究图像的特征，这种特征体现出自变量与函数值之间的何种规律？
2.是不是定义域内任意两个相反数都有这个规律？如何用数学符号来描述这个规律？
3.具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
引导学生观察图像对称与函数值关系并将其具体化，再用符号表示出来。在这个过程中，使学生从图形语言到文字语言，再到符号语言去认识奇偶性，实现从形到数的转化。另外，对任意性的理解，通过设计问题，从而达到步步深入、突破难点、突出重点的目的。
问题三：若一个函数图像关于原点对称，我们就说这个函数是奇函数，若关于y轴对称，就说这个函数是偶函数。也可以说若一个函数f（x）对定义域内任意的x都有f（-x）=-f（x），就说这个函数是奇函数，若满足f（-x）=f（x），就说这个函数是偶函数，那么我应该怎样去定义奇函数、偶函数呢？
三、巩固练习、深化概念
例1.f（x）=x2，x∈（-3，3）是奇函数还是偶函数？
若将定义域改为（-2，0）呢？
如果函数f（x）=x2是定义在（1-m，2m）上的偶函数，你能求出m的值吗？
例2.判断下列函数是否为奇函数或偶函数？
（1）f（x）=x2-1
（2）f（x）=x2（-1≤x
（上接第175页）（3）f（x）=（x-1）2
奇函数、偶函数是怎样定义的？在“式”上有什么规律？在“形”上有什么规律？
从“形”的规律到“数”的规律的发现过程中运用了哪些思想方法？
例3.判断函数奇偶性有哪些方法？用定义判断奇偶性时首先要关注什么？
小结是一节课的提炼与升华，重在知识网络的建构、方法的总结、重难点和易错点的提醒以及数学思想方法的提炼。这节课从研究对象来看从数到形，是数与形的完美结合；从思维方式来看，从验证、归纳、猜想到演绎，是一次思维的历练。在小结中不仅要关注结论性的知识，还要体验、感悟蕴含在知识之中的数学思想方法。
【设计意图】
本节从一般轴对称和中心对称到特殊对称，从“形”的规律到“式”的规律，思维发生自然，在探索“式”的规律，其难点不是发现规律，而是“式”的规律的表现形式――f（x），在规律的探索过程中给学生发现的时间、空间，放手让其尝试、归纳、猜想，经历发现的过程，最后用演绎证明猜想的正确性，培养学生“大胆猜想，严谨求证”的精神。
关键词：初中 数学 几何画板 强化 掌握
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1674-2117（2014）10-0133-01
1 争做几何画板的“应用者”，远离“开发者”的困扰
有些初中数学教师在学习几何画板的过程中，好高骛远，尤其是看到一些大师级的优秀作品，更是热血沸腾，也幻想着开发一些这样的“神作”。但教师应明确学习几何画板是作为应用者，是以此来辅助数学教学，促进学生掌握数形关系和几何规律，提高课堂教学效果的，并不是定位于“开发者”。
2 强化数学教学实践，快速掌握几何画板操作技巧
2.1 学会点、线、圆基本绘制图形方法
几何画板是以点、线、圆为基础元素，按照某种几何关系进行绘图，再进行相应的变换、测算、动画等。这是几何画板的基础操作部分，需要数学教师打好坚实的绘图基础。教师可在讲解图形的基本认识、相交线与平行线、三角形时，充分利用几何画板功能，绘制出规范的几何图形呈现给学生，尤其是探究相应绘制图形的几何定理或规律时，数学教师要有效利用几何画板的功能，约束好相应点线面的关系，规范作图，不可马虎应付。提倡数学教师在可能的情况每节课都用几何画板细心临摹教材上的图形，总结各种基本图形的绘制方法和技巧，这样有利于大幅提升几何画板操作的基本功，为后期复杂图形的绘制和变换打下扎实基础。
2.2 掌握应用构造、变换绘制复杂作图技巧
对构造菜单和变换菜单的学习，可实现复杂图形的绘制，而是一些复杂曲线的绘制，需要综合运用数学思维和知识能力，才能巧妙地绘制出来。例如，绘制一个矩形，就应用到平行线和垂线的数学知识；绘制一个椭圆形就需要构造轨迹满足“平面内，到两个定点的距离之和等于定长的点的集合”条件；绘制函数系、曲线系等，这都需要数学教师强化教学实践，转化数学思维，通过几何画板把所要讲解的数量关系和几何规律表现出来，让学生去学习探究、讨论总结，从而掌握数学知识。
又如，讲解全等三角形、对称中心图形等数学知识时，都可以通过几何画板的变换菜单实现复杂动态演示效果，通过这些样例，可大大提升几何画板变换操作技能，如旋转对象、平移对象、缩放对象、反射对象等。尤其是几何画板中复杂的迭代和自定义变换功能，数学教师仍然可以通过教材中的相关数学拓展知识或实际问题解答来得到充分学习、练习、提高。只要数学教师用心挖掘数学课本教材中的几何画板演示资源，每个例题、习题、定理、图形、作业都可以成为提高几何画板操作技能的素材。
2.3 熟练函数图像绘图技巧
几何画板的强大坐标系和函数绘图功能，为探究一次函数、反比例函数、三角函数、二次函数等函数图像规律和性质，提供了强有力的支撑平台。例如，y=ax^2+bx+c这个函数图像要是手动描点作图是比较困难的，但通过几何画板的简单操作就可快速画出函数图像，并通过这个函数图像得到它的定义域、值域，函数性质等。通过参数、计算可以动态控制a、b、c生成动态值，还可创建函数系更进一步对比观察函数性质等，通过这些数学知识点的讲解与运用，相信相关的几何画板操作，也得心应手了。
2.4 精通动态生成性、交互性的几何画板作品
几何画板带有参数、计算、操作类按钮、跟踪等动态性、交互，可创建复杂的辅助教学课件。例如，在讲四边形时，数学教师可轻松绘制出三角形，从三角形入手进一步研究四边形性质，那如果拓展到五边形、六边形呢？这就需要绘制出一个带有参数和操作按钮控制的正N多边形的复杂图形，通过这样一个综合样例的操作练习，可提高初中数学教师应用几何画板分析、解决数学问题能力，进一步把运用几何画板处理数学问题，探索几何的奥秘变成一种教学艺术的享受。
2.5 熟练利用自定义工具，拓展设计应用技巧
经过多年中国板友的开发与积累，几何画板的最新版本汇集了一大批实用的样例和主定义工具，初中数学教师可有效利用这些自定义工具，拓展应用设计，减少开发时间周期和精力成本。例如，要绘制正十二面体，在立体几何的自定义工具列表里就有绘制菜单选项，我们直接选择就可以绘制出任意正十二面体，非常方便快捷。在精力和时间允许的情况下，也可以打开自定义工具的源文件，研究其实现原理和细节，可以拓展功能，积累经验，打造自己个性化的自定义工具。
3 拓展课外探索，强化工具应用技巧
几何画板是数学学习的终身工具，不仅限于数学教学课堂内应用，还可拓展至课前备课、课外拓展、习题作业、竞赛题型解答、考点分析等。例如，可结合每年中考几何证明题，创建几何证明题库；可创建初中函数图像库，对比初中所有函数性质和图像等。教师通过大量的实践积累，在技能飞速增长的同时，不仅可以汇集大量个性化的几何画板辅助课件，形成独具特色的资源库，同时，也为学生自主探究学习提供了平台，可谓一举两得。
综上所述，初中数学教师通过结合自身数学教学实践，转化成几何画板的数学思维，加强几何画板实践练习，从而提高几何画板数学设计思想和发散思维水平，可快速提高几何画板操作能力，熟练应用几何画板提供的数学教学环境，巧妙运用丰富方便的数形创造功能，高效提高初中数学课堂教学质量。
（山东省邹城市太平中学，山东 邹城 273500）
参考文献：
[1]罗凌燕.对几何画板在初中数学教学应用的探讨[A].教育技术应用与整合研究论文，2005.
2021年高三数学知识点总结有哪些?高三数学一直是学习的难点。对于高考生来说，总结高三的知识点非常重要。共同阅读2021年高三数学知识点总结，请您阅读!
高三数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3.注意下列性质：
(3)德摩根定律：
4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
6.命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗?映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?
(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)
8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
10.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?
12.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
13.反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
14.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?)
15.如何利用导数判断函数的单调性?
值是( )
A.0B.1C.2D.3
a的最大值为3)
16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论：
(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.你熟悉周期函数的定义吗?
函数，T是一个周期。)
如：
18.你掌握常用的图象变换了吗?
注意如下翻折变换：
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
应用：①三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程
②求闭区间[m，n]上的最值。
③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质! (注意底数的限定!)
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20.你在基本运算上常出现错误吗?
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
22.掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)
如求下列函数的最值：
23.你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
(x，y)作图象。
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗?
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式：
图象?
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
奇、偶指k取奇、偶数。
A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)
具体方法：
(2)名的变换：化弦或化切
(3)次数的变换：升、降幂公式
(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化，而解斜三角形?
(应用：已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34.不等式的性质有哪些?
答案：C
35.利用均值不等式：
值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论：
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。
(移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。)
38.用穿轴法解高次不等式奇穿，偶切，从最大根的右上方开始
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)
证明：
(按不等号方向放缩)
42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题，或问题)
43.等差数列的'定义与性质
0的二次函数)
项，即：
44.等比数列的定义与性质
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如：(1)求差(商)法
解：
[练习]
(2)叠乘法
解：
(3)等差型递推公式
[练习]
(4)等比型递推公式
[练习]
(5)倒数法
47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解：
[练习]
(2)错位相减法：
(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
[练习]
48.你知道储蓄、贷款问题吗?
零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足
p贷款数，r利率，n还款期数
49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
(2)排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一
(3)组合：从n个不同元素中任取m(mn)个元素并组成一组，叫做从n个不
50.解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A.24B.15C.12D.10
解析：可分成两类：
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，有10种。
共有5+10=15(种)情况
51.二项式定理
性质：
(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件)：A与B不能同时发生叫做A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件)：
(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53.对某一事件概率的求法：
分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，n=103
而至少有2件次品为恰有2次品和三件都是次品
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析：一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。
54.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;
系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55.对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
56.你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(7)向量的加、减法如图：
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
的一组基底。
(9)向量的坐标表示
表示。
57.平面向量的数量积
数量积的几何意义：
(2)数量积的运算法则
58.线段的定比分点
.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
高中数学最易混淆知识点归纳1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况
3.你会用补集的思想解决有关问题吗?
4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?
5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.
9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法
11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?
14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?
(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论
15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?
18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.
19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?
20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?
21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.
22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.
23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a
24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?
25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?
27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。
)
28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。
29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?
30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?
31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)
33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?
36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：
(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2(x+2)+4-3，即y=2x+5.
(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x+2)-(y+3)+4=0，即y=2x+5.
(3)点的平移公式：点P(x,y)按向量平移到点P'(x',y')，则x=x'+hy'=y+k.
37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)
38.形如的周期都是，但的周期为。
关键词：区间概念；重要性；措施；方法
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）51-0081-03
一、基本概念
（一）区间的定义
初等代数定义为一个数集。指包含在特定的两个实数之间的所有数，可能同时包含这两个数。区间是一种数的表现形式。在高等数学中定义为分配给对象（如表）的任何连续块叫区间，区间也叫拓展。因为当它用完已经分配的区间后，还有新的记录插入，就必须在分配的新区间延伸拓展一些块。
（二）区间的分类
区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。在界值上分为：①开区间，例如：{x|a
（三）区间的运算
区间计算是数值分析上计算含误差的工具，其运算法则如下：
1.加法法则：[a，b]+[a，d]=[a+c，b+d]。
2.减法法则：[a，b]-[c，d]=[a-c，b-d]。
3.乘法法则：[a，b]×[c，d]=[min（ac，ad，bc，bd），max（ac，ad，bc，bd）]。
4.除法法则：[a，b]÷[c，d]=[min（■，■，■，■），max（■，■，■，■）]。
加法乘法符合交换律，结合律，子分配律，集X（Y+Z）是 XY+XZ的子集，在几何上用图论反映为微分流形，映射变换。
二、区间概念的重要性
1.区间概念的覆盖面广，在高中数学代数上包括定义域值域表示法、不等式解集表示法、单调区间、零点区间、极值区间、收敛区间、连续区间等等；在几何上有二面角范围、向量夹角范围、三角函数线范围及微分中值定理等等。因为外延广，影响数学体系的知识迁移，影响数学的衔接与交汇，必须循序渐进。
2.区间的演绎繁多，区间是确定性与不确性、连续与间断、可测与不可测、收敛与发散的矛盾统一体，影响函数的连续性、可微性、收敛性、单调性、奇偶性。其融严谨性、确定性、概括性于一体，是初等数学与高等数学的奠基石，在数学教学中要充分揭示概念内涵与外延，综合把握运算规律。
3.区间的运用范围广，区间数学在化学酸碱性界定上应用多。在国防炸弹半径设计上，精确制导上更是应该首要研究的。在汽车工程应用中运用广泛，在中注中也需着重考虑，要多做研究性课题。
三、区间概念在高中数学教学中的矛盾
区间概念拓展是一种系统程序，是一种深奥的过程，当前高中区间概念在数学中普遍存在如下四种矛盾：
1.不能处理区间概念的数与形的结合。如：点P∈{（x，y，z）|x2+y2=1，0≤z≤1}，求P点轨迹图形的表面积，学生受空间想象力的制约，很难作出几何图形。
2.不能严谨区分开区间与闭区间的异同。如：y=a|x|与y=x+a总有两个交点，求a的范围，常常使用闭区间表示。
3.不能理解对称区间的图象性质。如：f（x）=mx2+nx+1在 x∈[m+2，m+4]上为偶函数，求f（x）的值域。
4.不能灵活解决区间建模问题。
四、弄通区间概念的措施
区间虽然是一种简单的数集，明确的线段、射线、矩形域等，但因其外延广、应用广，学生很难系统地掌握概念，笔者综合新课程内容谈几点教法。
1.结合区间概念确定参数范围。如[2m，m+1]=[-1，1]，求m范围，理解区间特定排序规律。
2.结合函数奇偶性在对称区间存在的前提，提高学生数形结合能力。例如闭区间[a，a+2]的偶函数y=ax2+2x+a，求函数值域。通过此题深化奇偶函数中区间对称性的认识，同时加深对函数介值定理的理解。（函数介值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，m与M分别是函数f（x）在闭区间[a，b]的最小值与最大值，g是m与M之间任意数（即m≤g≤M），则在闭区间[a，b]至少存在点C，使f（c）=g。）
3.结合函数在特定区间有意义的提前求函数定义域。例如求y=■的定义域。综合不等式条件，综合根式函数性质、对数函数性质，确定定义域为（■，1]，在运算中求区间。又如已知函数f（x）定义域为[-1，1]，求f（2x）定义域。通过换元变换，求得复合函数定义域为[-■，■]，加深对定义域的运算理解，在具体例题中抽象出区间的内涵。
4.通过求值域提高区间问题计算能力。如求函数y=■值域，通过函数原始概念，采用判别式法，变式为：yx2+y=x2+x+1，判别式非负，得值域为[■，■]，又如设函数 f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]最小值为g（t），求g（t）表达式，使学生提高分类解题的能力。
5.结合函数在区间的单调性，求单调区间。例如求函数y=x2-2|x|-3的单调区间，通过二次函数图象再现，使学生在推理、作图中求得增区间为[-1，0]，[1，+∞）。
6.结合函数在区间上的周期性，加强区间与周期的内在逻辑联系的理解。例如：定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k），（k∈Z）且当x∈（0，1）时，f（x）=■，求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）的解析式，证明f（x）在（0，1）上为减函数，探悉周期为2，利用周期性及奇函数对称规律求得周期函数表达式，通过周期性揭示区间的周期规律。
7.结合区间的封闭性提高学生逻辑思维。（1）结合区间的分类严谨性，提高学生思维的判断性、概括性。例如：已知不等式x2-ax-8≥0与x2-2ax+b
（2）结合区间的连续性，对称不等式规律，确定参数，把握运算规律，提高分析能力。例如：二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（-1）=0，且对任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈[0，2]时，f（x）≤■，求f（1）。通过恒成立问题，利用夹逼定理，确定参数，提高学生综合运算能力。
（3）通过零点定理，确定方程根存在的范围。（引理：零点定理，若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，且f（a）f（b）
A.？摇（1，2） ？摇B.（2，3）？摇 ？摇C.（1，■） ？摇？摇D.（e，+∞）
解析：f（1）=-2
通过零点定理，理解方程根的分布，从而求得方程的近似解，使学生加深对二分法的理解。
（4）结合区间的连续性，分清左连续与右连续及可导与可微。定义：设函数在以a为左端点的区间有定义，■f（x）=f（a）=f（a+0），则称函数f（x）在a右连续。
例f（x）=■ x≠4A x=4函数f（x）能连续开拓，求A。
解得A=8，通过区间在连续性上的间断点，确定参数，分清区间的左右连续特征。
五、总结
区间既是一种符号，更是一种深奥的数学语言，在使用上有严格的区分度，在解题上更有逻辑性，在教学中切实做到严谨性与量力性相结合，运用恰当方法，提高学生分析问题与解决问题的能力，在区间教学中开阔学生知识视野。
参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2008.
[2]陈兴祥.学海导航高一数学[M].海南：海南出版社，2011.
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