小学数学
四年级下册
《三角形的内角和》教学设计
一、教学背景及学习目标设计
学习内容：《三角形的内角和》是西师版义务教育课程标准实验教科书四年级下册
课程标准:
通过观察、操作，了解三角形内角和是180º。
根据《数学课程标准》的基本理念“数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。”教师应激发学生的积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能。
设计学习目标的依据，主要是学习内容、学习者特征，内容标准。
1、学习内容分析
《三角形的内角和》属于“空间与图形”的知识领域，它是在学生掌握了角的度量，三角形的认识和分类等知识的基础上学习的，也是学生进一步学习的必备知识。本节课着重抓住“验证三角形的内角和是180°”这一主线进行教学，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，主要让学生在情境中产生问题，在“观察—猜测—验证—概括—应用”的学习过程中掌握知识，充分锻炼学生动手动脑及推理、归纳总结的能力，培养学生尝试探索的精神.
2、学习者分析
为了促进目标的达成，课前对学生进行了初步的调查，许多学生已经知道三角形的内角和是180°，但却不知道为什么。新课程强调，有效的学习活动不是单纯的依赖、模仿与记忆，而是一个主动建构的过程。因此，本节课力求通过教师的引导，为学生展现出“活生生”的思维活动过程，让学生在自己的“观察、猜测、验证、应用”的学习过程中掌握知识。
3、学习目标的确定
根据学习任务和学情分析，可对内容标准“三角形的内角和”进行如图分析：
根据以上分解，本节课的学习目标表述如下：
⑴探索并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。
⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的能力。
⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。
5、学习重点
检验三角形的内角和是180°。
6、学习准备
多媒体课件、各种三角形、量角器、。
7、学习方法
采用设置情境进行问题驱动
二、学习评价设计
目标⑴达成的评价方案：通过学生“观察、猜想、验证、概括”，结合电脑演示，归纳三角形的内角和是180°，学会将知识进行有序的整合和提取，通过课堂练习，解决实际问题。
目标⑵达成的评价方案：通过合作交流，小组成果展示汇报的形式，提升学生动手动脑、推理分析、归纳总结的能力。
目标⑶达成的评价方案：通过故事情境穿插、小组讨论表现、师生对话交流、学生推理归纳等形式，感受数学魅力，获得成功体验，产生学习数学的积极情感。
三、学习流程设计
4、一、复习旧知，导入新课。
5、1、复习三角形按角分类的知识。
6、生：说出示三角形按角分的几类。
7、2、观察画面，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形在争吵什么？
8、3、什么是三角形的内角？
9、我们通常所说的角就是三角形的内角。为了便于称呼，我们习惯用∠1、∠2、∠3来表示。
10、什么是三角形的内角和？
11、三角形“三个内角的度数之和”就是三角形的内角和。用一个含有∠1、∠2、∠3的式子来表示应该如何写？∠1+∠2+∠3。
12、【设计意图：由三角形的内角引出三角形的内角和，“∠1+∠2+∠3”的表示形式形象的体现出三内角求和的关系。】
13、4、这么看来，三角形的角里一定藏有什么奥秘，今天这节课啊我们就一起来研究三角形的内角和。（揭题：三角形的内角和）
14、二、自主探索，获取新知
15、三角形的内角和到底是多少？是不是所有的三角形内角和都一样？你能肯定吗？
16、
有的同学确定了，有的同学没有把握。大家意见不统一，我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？ （量一量，把三个内角的度数量出来，再相加得出内角和，板书：量）
17、
量一量、算一算
18、
量一量、算一算不同类型三角形内角和各是多少度？
19、
2、小组合作探究
20、
那我们要对每一种三角形的内角和进行研究，下面小组合作，请
21、
看合作要求（课件出示），哪位同学能声音响亮的读一读？
22、
请同学们按照小组合作要求，开始动手探究吧。
23、
教师巡视，指导测量。
24、
【设计意图：直接测量的方法是学生利用已有的知识，测量出每个角的度数，再用加法求和，加深对三角形内角和的概念的理解，就是三个内角的度数之和。】
25、
3、学生汇报交流。
26、
谁愿意把自己的成果给大家说一说？(每种找两名学生汇报)
27、
师小结：在测量的过程中可能会有误差，所以大家求出的三角形
28、
的内角和在180度左右，不够精准，求三角形内角和就是把三角形的三个角和起来考虑问题，180度的角就是我们以前学过的什么角？有什么方法能把三角形的三个内角合并在一起进行验证？
29、
4、用拼一拼，折一折的方法继续验证。
30、
可以把三个角剪下来拼在一起看是不是平角，如果没有剪刀可以直接撕一撕拼起来。还可以通过折一折的方法把三个内角拼起来。
31、
折一折的方法教师提示：先要找到两条边的中点，用线连接起来，再按这条线折起来。再把另外的两个角折起来就可以了。（板书：拼、折）
32、
小组合作动手探究，学生汇报交流。（每种三角形用两种不同的方法来演示，板书：拼、折）
33、
汇报时先还原原图，再展示验证过程。
34、
【设计意图：新课标注重学生三维目标的培养，在这里，我要求学生用自己的方法进行验证，把知识的学习与情感态度价值观的培养融为一体，无疑有效地培养了学生科学的态度。小组合作是课程改革所倡导的一种学习方式，本节课，我立足于学生的创新意识和实践能力的培养，把学习的时空还给学生，大胆地开展小组合作学习，使学生通过量、折、拼、剪、摆等操作学具活动主动掌握三角形内角和是180°，同时学生的发散思维也能得到有效培养。】
35、
验证猜想
36、
刚才同学们用量、拼、折的方法对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和进行了验证，得出的结论就是：三角形的内角和是180°。（板书这句话）老师为你们的成功学习感到高兴，请你们用自豪的语气齐读：三角形的内角和是180°。
37、
【
设计意图：要引导学生领悟有了猜测还要去验证，这是一种科学的研究问题的方法，是一种求实精神。】
38、
进一步感受
出示两个大小不同的三角形，说出内角和，你发现了什么？（无论三角形的大小形状怎样，它的内角和都是180度。也就是说所有三角形的内角和都是180度。）
39、
解决国王的难题。
回到三种类型的争吵问题，现在可以确定谁说的对？都
不对，应该是一样大
那争吵的问题我们解决了，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和一样大，都是180°。
三、巩固练习，拓展应用
1、“看图，口算未知角的的度数”。（图形题）
2、“在一个三角形中，∠1=140°，∠3=25°，求∠2的度数。”（文字题）
【设计意图：1、2两题都是检测学生对“三角形的内角和是180°”的应用。已知一般三角形两角，求一角的度数。】
3、猜猜三角精灵内角的度数。
等边三角形：一个角也不知道的情况，求三角形的内角。
直角三角形：建议学生选用求直角三角形一锐角度数的最佳方法。
钝角三角形：已知三角形的一个角，求两角的度数。
【设计意图：检测学生对“三角形的内角和是180°”与三角形的特点相结合的应用。】
6、把三角形的一个内角截去，剩下图形的内角和是多少度？
⑴过顶点截取，所剩图形是三角形，内角和是180°；
⑵不过顶点截取，所剩图形是四边形，内角和是360°.
测量法、辅助线法（最优选择）
【设计意图：检测学生对多种截法的思考以及利用“三角形的内角和是180°”推导出任意四边形的内角和】
【设计意图：运用所学知识延伸多边形的内角和。】
五、梳理反思，全课总结
这节课你都学习了哪些内容？
我们通过测量法、剪拼法和折叠法，一起研究和验证了三角形的内角和是180°。方法的收获就是最大的收获，收获了方法，你就收获了一把打开知识大门的金钥匙。
“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道的。”
——毕达哥拉斯（古希腊著名的数学家）
在数学的天地里，在今天的这堂课上，重要的不是我们知道了三角形的内角和是180°，而是我们怎么一步一步研究出来的。
【设计意图：突出过程与方法的重要性。】
六、板书设计
三角形的内角和
猜想：∠1+∠2+∠3=180°？
1
3
2
验证：测量、剪拼、折拼
结论：三角形的内角和是180°.
五、教学反思
《课程标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。探究三角形内角和的过程的时候，我注意鼓励学生通过动手操作、小组合作的方法去量，得到三角形的内角和都在180°左右。
给学生一些权利，让他们自己选择；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；给学生一些问题，让他们自己去探索；给学生一片空间，让他们自己飞翔。“是否所有三角形内角和都是180°?”这个猜想如何验证，这正是小组合作的契机。通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，可以量一量、拼一拼、折一折，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。在测量法中，面对有些小组的学生量出内角和的度数要高于180°或低于180°，学生讨论一下有哪些因素会影响到研究结果的准确性。通过动手操作，为学生创设了解决问题的情境，剪拼法和折拼法以学生动手操作为主线，引导学生建立解决问题的目标意识，形成学习的氛围，给学生更多的自主学习、合作学习的机会，促进学生的主题参与意识。同学们通过自主实践、合作探究完成了本节课的教学任务。
整节课的练习设计，由易到难。在应用“三角形内角和是180°”这一结论时，第一、二层练习是已知三角形两个内角的度数，求另一个角。第三层练习是求特殊三角形内角的度数，真正做到了三角形内角和知识与三角形特点的有机结合。第四层练习是让学生用学过的知识解决四边形、五边形、六边形的内角和，让学生根据计算结果运用已有经验去判断思索。
[关键词] 钻研教材；解读课标；以生为本；有效课堂；全等三角形；案例评析
随着新课改的不断推进，应该说大部分教师能自觉运用新理念指导教学活动，在课堂上能创设具体的教学情境，引导学生亲身参与各种形式的学习活动，运用已有的知识经验主动构建新知，使其得到全面协调发展。但在教学中很多教师处理“老师眼中很简单的数学知识”的教学时，过分草率，不去解读对应课标，不去钻研教材，不为学生着想，简单地“教”，最终教学效果大打折扣。下面是笔者对一位教师教授人教版全等三角形第一课时的教学过程评析。
一、全等图形概念
1.师：（出示两张事先准备好的全等四边形纸片，在学生面前将两张纸片正面慢慢重叠）这两张纸片现在是什么情况？
生齐答：重叠，重合，完全重合……
师：（在学生面前将两张纸片反面慢慢重叠后）这下我们可以真正确定这两张四边形纸片……
生：完全重合。
师：完全重合，也就是说这两张纸片的大小？形状？
生：大小相同，形状相同。
评析：仅凭正面就判断两个图形完全重叠是不全面的，因为存在大纸片在前面把后面小纸片遮盖住的情况。而老师在这个环节并不急于纠正学生的判断，而是通过反面的事实演示再次说明“正反两面都是完全重叠的才是完全重合”。一是多角度观察思考问题，避免思考片面性；二是眼见为实，让学生体验什么是完全重合。
2.教师出示两张事先准备好的全等三角形纸片依照“1”中教学过程，让学生体验“大小相同、形状相同的两个三角形完全重合”。
评析：通过“1”中的经验教训，学生不再仅凭“一面”就轻易判断两个图形完全重合，“多角度思考数学问题”在此得到即时迁移应用。
3.师：（出示事先准备好的大小相近的梯形纸片和矩形纸片）这两个四边形是否会完全重合呢？
生：会。
生：不会。
生：不一定。
师：“会不会”我们可以怎样来证明？
生：把两张纸片重叠一下。
师：很好，用实践来证明是一种很好的方法。（教师慢慢将两张纸片重叠后，将正反两面展示给学生看）
生：这两个四边形不完全重合。
师：尽管它们形状是四边形，但？
生：大小不一样。
评析：学生经历猜想、验证、得出结论。
4.师：分别分组出示大小不同的矩形纸片、大小不同的三角形纸片依照“3”中教学过程，让学生体验“形状相同、大小不一的两个图形不完全重合”。
师：要使两个图形完全重合，必须具备什么条件？
生：形状要相同，大小要相同。
师：我们把这样“形状相同、大小相同”完全重合的两个图形叫做全等图形。
评析：从“能够完全重合”的字面意思上很容易理解什么是全等图形。但因为如此简单，许多教师处理这个环节时，一句话带过。事实上，在学生的眼里，数学世界中的所谓“能够完全重合”到底是什么样的完全重合却并不很清楚。教参明确提出“通过具体例子引出本章研究主题――形状、大小相同的图形，然后让学生通过操作、观察得出形状、大小相同的图形的特征：放在一起能够完全重合，由此引出全等的概念”。教师将这一理念落实，层层体验，让数学知识、过程与方法、思维与能力很好地走进了学生的数学世界中。
二、全等三角形的相关概念
1.师：（将两块一样的三角板重叠在一起）这两块三角板可以说是什么图形？
生：全等图形。
师：我们把“能够完全重合的两个三角形”叫做全等三角形。
评析：由于学生充分体会了全等图形的概念，对于全等三角形的概念自然轻松入门。
2.师：介绍全等三角形的有关概念
①用全等符号“≌”表示两个三角形全等（突出对应顶点要对应书写）；
②全等三角形对应顶点、对应边、对应角。
评析：教师用不同颜色的线条表示不同的对应边、角，降低学生对图形识别的难度，逐步培养学生识图能力；规范学生书写，注重几何语言规范性。
三、经过“平移、翻折、旋转”后的两个三角形是全等三角形
1.师：（将两块完全重合的三角形纸板在黑板上慢慢平移拉开，如图甲）这是图形的什么变换？
生：平移。
师：现在平移前后的ABC和DEF会全等吗？
生：会。
师：请大家把这对全等三角形用符号表示出来。并一一写出对应角、对应边。
（师巡查、辅导、提问、纠正）
2.教师依照“1”中的教学过程分别讲解“翻折、旋转”（如图乙、丙）。
3.师引导学生梳理归纳“甲、乙、丙”。
（1）经过平移、翻折、旋转前后两个图形有什么关系？
（2）如果两个三角形全等，则这两个全等三角形对应的边、角有什么关系？
评析：考虑到学生认知水平，学生初学全等三角形，对“对应顶点、对应角、对应边”快速识别难度往往很大。教师基于此，用来做教具的两个全等三角形纸板的三个角大小区别明显，三边长短明显，大大降低学生识图难度。同时，教师不遗余力，让学生见证“平移、翻折、旋转”前后的两个图形仍然是全等图形，并进一步得出全等三角形的对应边、对应角相等。面向全体，以“基本知识、基本技能为主”，以生为本得到了很好落实。
四、课堂小结
1.师：本节课我们学习的数学新知识是？
生：全等图形、全等三角形。
师：全等的条件是？
生：能够完全重合。
师：或者？
生：形状相同、大小相同。
2.师：全等三角形有什么作用？
生：对应边、对应角相等。
师：常见的图形变换中，有哪些情况是全等的？
生：平移、翻折、旋转。
3.师：在找全等三角形对应边、对应角特别要注意什么？
生：大角对大角、小角对小角、大边对大边、小边对小边。
师：在有重叠或交叉时，还要特别注意什么？
生：对顶角、公共边、公共角等。
教学建议
知识结构
重点、难点分析
相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点．
它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．
它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．
教法建议
1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等
2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答
3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比
（第1课时）
一、教学目标
1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．
3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理1的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
1．三角形中三种主要线段是什么？
2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？
3．什么叫相似比？
［讲解新课］
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽，
，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．
分析示意图：结论∽（欠缺条件）∽（已知）
∽，
BM=MC，
∽，
以上两种情况的证明可由学生完成．
［小结］
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．
难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．
2、教学建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．
教学目标：
1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；
3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．
教学重点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学难点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学活动设计
（一）提出问题
1、提出问题：如图，你能否在ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题：
让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义．
3、解决问题：
例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．
提出以下几个问题进行讨论：
①作圆的关键是什么?
②假设I是所求作的圆，I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?
③这样的点I应在什么位置?
④圆心I确定后半径如何找．
A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．
完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
（二）类比联想，学习新知识．
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2、类比：
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形外接圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三角形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心）
三角形三条角平分线的交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
4、概念理解：
引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”．
（三）应用与反思
例2如图，在ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心．
求∠BOC的度数
分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数．因为O是ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝(∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数．
解：(引导学生分析，写出解题过程)
例3如图，ABC中，E是内心，∠A的平分线和ABC的外接圆相交于点D
求证：DE＝DB
分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4．
从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样
考虑到连结BE．于是得到下述法．
证明：连结BE．
E是ABC的内心
又∠1=∠2
∠1=∠2
∠1+∠3=∠4+∠5
∠BED=∠EBD
DE=DB
练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注意哪些问题?
2．学生回答的基础上，归纳总结：
(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用．
（五）作业
教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题．
探究活动
问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．
（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）；
（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．
提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心：
教学目标：
1、知识目标：
（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
（3）能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
2、能力目标：
（1）通过全等三角形角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力；
（2）通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。
3、情感目标：
（1）通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神；
（2）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。
教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角
教学用具：直尺、微机
教学方法：自学辅导式
教学过程：
1、全等形及全等三角形概念的引入
（1）动画（几何画板）显示：
问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。
（2）学生自己动手
画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把两个三角形放在一起重合。
（3）获取概念
让学生用自己的语言叙述：
全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。
2、全等三角形性质的发现：
（1）电脑动画显示：
问题：对应边、对应角有何关系？
由学生观察动画发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
3、找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用
（1）投影显示题目：
D、AD∥BC，且AD＝BC
分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。
说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角。
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从复杂的图形中分离出来
说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：
然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
说明：利用“运动法”来找
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
求证：AE∥CF
分析：证明直线平行通常用角关系（同位角、内错角等），为此想到三角形全等后的性质――对应角相等
AE∥CF
说明：解此题的关键是找准对应角，可以用平移法。
分析：AB不是全等三角形的对应边，
但它通过对应边转化为AB＝CD，而使AB+CD＝AD－BC
可利用已知的AD与BC求得。
说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。
（2）题目的解决
这些题目给出以后，先要求学生独立思考后回答，其它学生补充完善，并可以提出自己的看法。教师重点指导，师生共同总结：找对应边、对应角通常的几种方法：
投影显示：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
(3)有公共边的，公共边一定是对应边；
(4)有公共角的，角一定是对应角；
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；
两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小的角）是对应边（或对应角）
4、课堂独立练习，巩固提高
此练习，主要加强学生的识图能力，同时，找准全等三角形的对应边、对应角，是以后学好几何的关键。
5、小结：
(1)如何找全等三角形的对应边、对应角（基本方法）
(2)全等三角形的性质
(3)性质的应用
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。
6、布置作业
a.书面作业P55＃2、3、4
b.上交作业（中考题）
思考题：
板书设计：
（一）本节内容在教材中的地位与作用。
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两三角形间最简单、最常见的关系。本节《探索三角形全等的条件》是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的，它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据。因此，本节课的知识具有承上启下的作用。同时，苏科版教材将“边角边”这一识别方法作为五个基本事实之一，说明本节的内容对学生学习几何说理来说具有举足轻重的作用。
（二）教学目标
在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想。同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣。为此，我确立如下教学目标：
（1）经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。
（2）掌握“边角边”这一三角形全等的识别方法，并能利用这些条件判别两个三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
（3）培养学生勇于探索、团结协作的精神。
（三）教材重难点
由于本节课是第一次探索三角形全等的条件，故我确立了以“探究全等三角形的必要条件的个数及探究边角边这一识别方法作为教学的重点，而将其发现过程以及边边角的辨析作为教学的难点。同时，我将采用让学生动手操作、合作探究、媒体演示的方式以及渗透分类讨论的数学思想方法教学来突出重点、突破难点。
（四）教学具准备，教具：相关多媒体课件；学具：剪刀、纸片、直尺。画有相关图片的作业纸。
二、教法选择与学法指导
本节课主要是“边角边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
三、教学流程
（一）创设情景，激发求知欲望
首先，我出示一个实际问题：
问题：皮皮公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必须全等。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等。技术科的毛毛提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个数据固然可以。但为了提高我们的效率，是不是可以找到一个更优化的方法，只量一个数据可以吗？两个呢？……
然后，教师提出问题：毛毛已提出了这么一个设想，同学们是否可以和毛毛一起来攻克这个难题呢？
这样设计的目的是既交代了本节课要研究和学习的主要问题，又能较好地激发学生求知与探索的欲望，同时也为本节课的教学做好了铺垫。
（二）引导活动，揭示知识产生过程
数学教学的本质就是数学活动的教学，为此，本节课我设计了如下的系列活动，旨在让学生通过动手操作、合作探究来揭示“边角边”判定三角形全等这一知识的产生过程。
活动一：让学生通过画图或者举例说明，只量一个数据，即一条边或一个角不能判断两个三角形全等。
活动二：让学生就测量两个数据展开讨论。先让学生分析有几种情况：即边边、边角、角角。再由各小组自行探索。同样可以让学生举反例说明，也可以通过画图说明。
活动三：在两个条件不能判定的基础上，只能再添加一个条件。先让学生讨论分几种情况，教师在启发学生有序思考，避免漏解。如：
边
1
2
3
角
3
2
1
教师提出3个角不能判定两三角形全等，实质我们已经讨论过了。明确今天的任务：讨论两条边一个角是否可以判定两三角形全等。师生再共同探讨两边一角又分为两边一夹角与两边一对角两种情况。
活动四：讨论第一种情况：各小组每人用一张长方形纸剪一个直角三角形（只用直尺和剪刀），怎样才能使各小组内部剪下的直角三角形都全等呢？主要是让学生体验研究问题通常可以先从特殊情况考虑，再延伸到一般情况。
活动五：出示课本上的3幅图，让学生通过观察、进行猜想，再测量或剪下来验证。并说说全等的图形之间有什么共同点。
活动六：小组竞赛：每人画一个三角形，其中一个角是30°，有两条边分别是7cm、5cm，看哪组先完成，并且小组内是全等的。这样既调动了学生的积极性，又便于发现边角边的识别方法。
最后教师再用几何画板演示，学生进行观察、比较后，师生共同分析、归纳出“边角边”这一识别方法。
若有小组画成边边角的形式，则顺势引出下面的探究活动。否则提出：若两个三角形有两条边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形一定全等吗？
活动七：在给出的画有的图上，让学生自主探究（其中另一条边为5cm），看画出的三角形是否一定全等。让学生在给出的图上研究是为了减小探索的麻木性。
教师用几何画板演示，让学生在辨析中再次认识边角边。同时完成课后练习第一题。
（三）例题教学，发挥示范功能
例题教学是课堂教学的一个重要环节，因此，如何充分地发挥好例题的教学功能是十分重要的。为此，我将充分利用好这道例题，培养学生有条理的说理能力，同时，通过对例题的变式与引伸培养学生发散思维能力。
首先，我将出示课本例1，并设计下列系列问题，让学生一步一步地走向“知识获得与应用”的理想彼岸。
问题1：请说说本例已知了哪些条件，还差一个什么条件，怎么办？（让学生学会找隐含条件）。
问题2：你能用“因为……根据……所以……”的表达形式说说本题的说理过程吗？
问题3：ADC可以看成是由ABC经过怎样的图形变换得到的？
在探索完上述3个问题的基础上，对例题作如下的变式与引伸：
ABC与ADC全等了，你又能得到哪些结论？连接BD交AC于O，你能说明BOC与DOC全等吗？若全等，你又能得到哪些结论？
这样设计的目的在于体现“数学教学不仅仅是数学知识的教学，更重要的发展学生数学思维的教学”这一思想。
在例题教学的基础上，为了及时的反馈教学效果，也为提高学生知识应用的水平，达到及时巩固的目的，我设计了如下两个练习：
（1）基础知识应用。完成教材P139练一练2。
（2）已知如图：，请你添加一些适当的条件，再根据SAS的识别方法说明两个三角形全等。对学生进行逆向思维训练，同时让学生发现对顶角这一隐含条件。
（四）课堂小结，建立知识体系。
（1）本节课你有哪些收获：重点是将研究问题的方法进行一次梳理，对边角边的识别方法进行一次回顾。
（2）你还有哪些疑问?
附板书设计:
三角
探索三角形全等的条件
两角一边
探究活动一:两个三角形全等至少要几个条件
一角两边
一个条件行不通两个条件行不通三个条件
三边
探究活动二:全等三角形的识别方法:
特殊------一般
关键词： 初中数学教学 问题案例教学法 学习兴趣 数学思维 理论知识
引言
问题案例教学法是集理论的概括性、生动性和典型性于一体的教学方法。在初中数学教学中，教师要善于发现对概念诠释透彻的典型例子，结合案例提出问题，诱导学生思考，不断开拓思维。若教师能设置出一个“以一敌百”的问题案例引导学生对其不断地挖掘，启发学生的思维能力，案例式教学的目的就达到了。当然，这就需要教师对学生的实际学习情况、学习能力有一定的了解，对教材内容有一定的深究，将这两者结合在一起，设置或选择出一个恰当的问题案例对学生进行学习指导[1]。
1.问题案例设置具有生动性，激发学生的学习兴趣
“兴趣是最好的老师”，不论学知识或者技巧都需要兴趣，有兴趣就能激发学习的主观能动性。新课改下，数学教学需要做适当调整，不再是教师讲概念、理论、例题，而是诱导学生思考，培养学生学习的主动性。在问题案例式教学中，教师要设置出经典的、概括性强的能激发学生学习兴趣的案例。
初二上“全等三角形判定”这一章知识的教学，教材内容与生活实际看似没有任何联系，但通过对教材内容的深入剖析，我们可以发现，全等三角形的内容中有贴近生活的问题案例。如，今天班上小王和小李两位同学去蛋糕店买了一个三角形的蛋糕，两个人想分着吃，怎样才能均等地分为两部分呢？同学们一听到班上同学的名字一定会聚精会神地听讲，这样就把学生的注意力吸引到课堂上了。利用这道题，教师可以引导学生划分两个全等的三角形，然后证明为什么这两个三角形就是全等的，两个三角形全等还有别的证明方法吗？这样就巧妙地将学生的思维带到课堂上，学生的听课效率大大提高了。这样循循善诱，让学生动脑筋、思考，最终理解了证明三角形全等的方法，且遇到证明题时能随用随取。
2.问题案例具有概括性，一题道破理论知识
概括性是问题案例教学法的一大特点。教师在设置或选择案例的时候需要考虑这一特点，只有学生思考了问题案例才能真正了解理论知识，对学习的理论知识才能掌握得更扎实，运用得更灵活。数学题遵循“百变不离其宗”的规律，掌握了核心理念，不管题目怎样变化都能解决[2]。
如，在讲到“轴对称图形”这一内容时，可以用典型的图形、或者物体辅助教学，可以用粉笔、板擦、黑板等具体物体，也可以用常见的字或字母“田”“口”“日”“早”“A”“D”“E”等图案。说到具体的问题案例时，可以先讲解等腰三角形这一部分的内容，运用前面所学习的全等三角形的知识，可以在三角形上作一条中线，平均分成的两个三角形就是所要讲解的轴对称图形。然后教师出示轴对称图形的概念，再回到前面轴对称的具体讲解。有了刚才等腰三角形的案例，再拿出实物让同学们辨一辨，是不是轴对称图形，有几条轴对称。接着就可以让学生发散思维，想一想字母中有哪些是轴对称图形，都有几条轴对称线，与大家分享一下。先提出学生熟悉的等腰三角形，再提出轴对称这一新概念，让学生形成“最近发展区”的学习模式，学生就更容易掌握。
3.问题案例具有综合性，培养学生的数学思维能力
目的在于培养学生的综合思考能力，不仅要学会理论知识，还能应用于具体题型，这也是案例设置中最难突破的关卡。如：已知，在长方形ABCD中，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE ∶ED=9 ∶16，
所以BEC是直角三角形
所以∠BEC是直角
上述案例是典型的综合性案例，看似是一个长方形问题，实则第二小问是一个证明直角三角形的问题。不仅要求学生具备基本的绘图能力，还要有三角形的基本知识，最重要的是能灵活运用勾股定理证明直角三角形。这就锻炼了学生把知识点与实际问题联系起来的能力。
结语
问题案例的形式多种多样，在很多知识点上都可以有恰当的应用，需要教师多下工夫钻研教材。不论什么样的教学方法或学习方法都是为了能更好地启发学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识。在设计问题案例时，教师还应注意题型的难易度和梯度，结合学生的“最近发展区”，根据学生的实际学习情况和教材内容具体分析，这样才能达到事半功倍的效果。
参考文献：
培养学生的发散思维能力是创新教育的需要。作为数学教师应竭力把自己的课堂变成激发学生潜能，提高发散思维能力的场所。
一、创设问题情境，设计开放性题目
设计问题是数学教学中的关键环节之一，问题得以解决则是数学能力的集中体现。我们应精心设计开放性试题，培养学生发散思维。
在学习了《三角形》中全等三角形的判定后，可以设计这样一道开放性题目：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使两个三角形全等。你还可以设计几个方案？方案⑴：若这个角是这两边的夹角方案（边角边）； 方案⑵：若这个角的对边恰好是两边中较小边； 方案⑶：若这个角的对边恰好是这两边中较大边； 方案⑷：若这两边相等； 方案⑸：若这个角是直角；方案⑹：若这个角是钝角；方案⑺：若这两个三角形都是锐角三角形；方案⑧：若这两个三角形都是钝角三角形；方案⑨：若这个角是这两个三角形的公共角，它所对的边为其中一已知边；方案⑩：若这两边中有一边为两个三角形的公共边，另一边为已知角的对边；以这十种方案为条件之一，则这两个三角形全等。
这样的训练可以让学生充分展开想象的翅膀，思维的流畅性得以培养，使学习能力和思维能力得到同步提高。
二、师生共同营造敢想、敢问、敢说的氛围，培养学生的兴趣和热情，促进学生主动探究
在课堂教学中努力激发学生动脑提问的积极性，鼓励学生敢于生疑发问，对开发学生求异思维能力关至关重要。
《一元二次方程》有这样一个问题：
在一块长16米，宽12的矫形荒地上建造一个花园，使花园所占面积为荒地面积的一半。请你给出设计方案。
学生的积极性调动后，可能有以下多种答案： 方案1：矩形中含矩形（此为常规的设计）。 方案2：矩形中“十字形”设计。 方案3：矩矫形中有三角形。 方案4：矩形中有菱形。 方案5：矩形中有圆形。 方案6：矩形中有椭圆形。 方案7：矩形中有月牙形。 方案8：矩形中有扇形。方案9：花园为条形。方案10：花园为梯形。等等。
学生借助数形结合的思想，既体现了数学中的美，又充分地展开了想象，使发散思维得到了张扬。
三、注重一题多解，培养学生的独创性
一题多解可以促进学生思维活动多向化，不局限于单角度，不受一种思路的束缚，对一问题寻求多样化解决，谋求多种可能。通过一题多解，调动学生学习的主动性和积极性；并通过总结比较出较好的解题方法，培养学生思维的灵活性和创造性。
在《一元二次方程》教学时，选择如下一个问题作为一个巩固知识、训练学生思维的复习题：
已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
首先让学生明确两个相等关系：⑴“和”等于8；⑵“积”等于9。接着启发学生思考怎样用、在哪个步骤用这两个关系。然后明确指出本题有多种解法，让学生探讨，合作交流，鼓励学生积极探索。 通过一题多解的训练，让学生动脑、动口、动手，促进了学生的发散思维。
四、注重一题多变、变式训练，培养学生的变通性
根据发散思维的特点，教学是努力挖掘教材的内涵，积极寻找思维的发散点，精心备好每一节课，在课堂上运用变式教学，帮助学生牢固地、灵活地掌握所学的数学系、知识。课堂教学中，把一些题目的条件和结论适当改变得出新题目，由一题变多题，通过演变，可使学生时时处在一种愉快的探究知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和数学素质。
甲、乙两站间的路程为360km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
可将条件变式、条件变式、结论变式、背景变式， 进行一次适当的变式训练，学生就相当于做了一套“思维体操”，它不仅能巩固知识，开阔学生视野，收到举一反三、触类旁通的效果，还能活跃学生思维，提高学生的应变能力。
五、开拓思路，诱发思维的发散性
思维的发散性，表现在思维过程中，不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维方式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。
八年级数学证明（一）时，有这样一道例题：
直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，求证：a∥b
要求学生用所学过的知识用多种方法证明此题。
关键词：导学案；设计；预习；巩固
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0075-02
苏格拉底说“教育不是灌输，而是点燃火焰。”正如教育家吕叔湘说：“学生的学，应当由被动地学向主动地学转化”，初中数学导学有的放矢，为学生学习指明了方向，给学生学习提供了一个导学图，它不仅是学习的起步，一个好的导学案往往也是教学要追求的终极目标。为了让学生主动、高效、扎实地学习，使用导学方案，可以提高学习效率，打造高效课堂。怎样从传统的“灌输”走向“点燃”？
一、设计：学情为基，探索为主
导学案的编写要突出指导思想，应引导学生学习，而不是仅仅做练习通过从易到难，从简单到复杂的分层设置，阶梯式呈现学习内容和有序地学习步骤，引导、鼓励学生由浅入深、逐渐地往前推进，在自主学习、合作探究中发展，培养学生独立思考的能力和团结合作的能力，导学不是灌输，也不是教师强加要求。
如：“平行四边形的性质”导学案设计片断：
1.将两个全等的三角形拼成一个四边形，你拼出了怎么样的四边形？拼好后，和同学们做个交流。
2.你拼出的四边形中的对边都有明确的位置关系吗？说说你为什么？
归纳总结：__________________的四边形叫做平行四边形。
【设计意图】在问题1的引导下，“放”手让学生回答，学生通过原有知识进行想象、动手绘画，直抒己见，把各种情况、各种位置的四边形揭示出来。重视过程，强调学生的主体性。
再如《认识三角形》
1.在纸上画出锐角三角形中BC边上的高。
画法：A.三角板一直角边与ABC的（ ）边重合。
B.移动三角板，另一直角边过ABC的顶点（ ）画出垂线段即可。
2.什么是三角形的高？
三角形的高：从三角形的（ ）向它的（ ）所在直线作（ ），（ ）和（ ）之间的线段叫三角形的高线，简称三角形的高。
3.直角三角形和钝角三角形怎样作BC边上的高呢？
【设计意图】这里设计了三个操作问题，让学生进行练习。通过了解各种三角形的高，知道高都是通过三角板与一边重合，另一边过第三个顶点，画垂线得到，直角三角形和钝角三角形略有区别。在学习过程中学生从开始到结束，自主动手操作、归纳总结，加深了学生对三角形高的理解。学生的主体地位得以体现，学习是非常有效的。
二、预习：预则立，不预则废
《礼记·中庸》说过，预则立，不预则废。没有事先的计划和准备，就不能获得胜利。课前预习实际是学生的自学环节，过去学生之所以不预习，主要有三个原因：第一是学生不会预习，第二个不知道预习什么，第三个教师授课时，根本就考虑预习的事。有时是三个原因都有，有时三者至少居其一。有了导学案，所有的情况，就有了明显的不同，学生的头脑是清醒的，他们的心中知道会什么，不会什么，知道哪里要好好学，哪里可以放一放，心中有蓝图，听课总有数。因此，提前发放导学案，让学生在课前明确学习目标，并在学案的指导下进行自主学习；带着问题看书，找出重点和难点，独立完成导学案中以问题形式呈现的知识点，带着问题进课堂，使学生逐步掌握正确的自学方法，培养学生自主学习的能力。上课前，全批或抽批，将学生在预习中所暴露出的问题整理出来，教师便可以适当调整教学设计，有针对性地进行课堂教学。即使来不及批阅也可由学生汇报问题，课堂指导也有很强的针对性。
三、交流：上下同欲者胜
孙武说：上下同欲者胜。我们在数学教学中通过各种交流体验数学，让学生探索并获得数学知识，更重要的是学生在合作中逐步掌握数学学习的一般规律和方法。教师要以“课程标准”精神为指导，用适当的材料进行创意教学，让学生体验学习的过程，感受成功的喜悦，增强信心，达到学会学习的目的。交流主要可以下几个方面入手：
（一）交流预习成果和问题
各小组在组长的带领下总结预习内容的问题，对于个别没掌握的问题采取兵教兵的方式解决并用双色笔在导学案上进行订正，集体解决不好的问题做出标记收集起来上课时，送到展台上，全班共同解决。通过课前对导学案的反馈，可以让每个学生都有机会当小老师，这不仅仅会提高课堂效率，也能极大限度地促进学生学习数学的积极性。
（二）展示共性疑难问题
将收集起来的疑难以各种题型在班级内展示，展示后要求学生对于自己的疑难问题在导学案上用双色笔重新整理并做出重点标记，同时还要整理知识点、做题方法及规律，学生建立错题集，把导学过程中自己易错题整理到错题本上。
四、巩固：以练代讲堂堂清
巩固练习是教学过程的重要组成部分和环节，是学生学习新知识，运用知识解决问题的重要途径，也是我们的教师教育的重要手段和评价反馈的方法。
如：AD是ABC中BC边上的高，引导学生思维视角变换：
（1）从圆周角的角度探究；
（2）从圆心角的角度思维；
（3）从弦切角的本质思考；
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