关键词： 不定积分原函数初等函数
初等函数在其定义域内是连续的，而任何连续函数的原函数都是存在的，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数，都存在不定积分.函数“积不出”是指不定积分?蘩f（x）dx不是初等函数，即的原函数不是初等函数.
有限形式下初等函数的积分最早是由刘维尔提出并研究的问题.首先证明了，如果一个代数函数的原函数是初等函数，则它的原函数是代数函数，不过他所说的初等函数包括代数函数，接着他把定理推广到一般的初等函数的情况.后来众多数学家如Ostrowski，R.H.Risch，Maxwell Rosenlicht，Ritt等沿Liouville的思想方法进行推广、重新表述、证明，从理论上基本解决了该问题，然而应用这些理论作证明需要用到微分代数的知识，过于复杂，难以为一般教科书所采用.这里仅对这方面理论作综述，限于篇幅不给出证明，尽量多给出“积不出”的函数例子及如何快速判断函数是否“积不出”的一些方法.
一、主要理论
刘维尔第三定理：设f（x），g（x）为x的代数函数，且g（x）不为常数.若?蘩f（x）e■dx是初等函数，则?蘩f（x）e■dx=R（x）e■+C，其中R（x）是x，f（x），g（x）的有理函数，C是常数.
刘维尔第四定理：设f■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）为x的代数函数，且g■（x）-g■（x）≠常数（i≠j）.若函数w（x）=■f■（x）e■的不定积分是初等函数，则?蘩f■（x）e■dx（k=1，2，…，n）也是初等函数.
推论1：设■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）为x的代数函数，且g■（x）-g■（x）≠常数（i≠j）.若w（x）=■f■（x）e■中有一项是积不出函数，则w（x）也是积不出函数.
推论2：设f（x）是有理函数，g（x）是多项式函数，则不定积分?蘩f■（x）e■dx是初等的，则不定积分?蘩f■（x）e■dx是初等的充要?蘩f■（x）e■dx条件是存在有理函数R（x），使R′（x）+g′（x）R（x）=f（x）成立.
上述定理主要用来判定是否能“积出来”，通过欧拉定理，三角函数一些类型也可以通过上述定理解决.以下是现代数学家A.Ostrowski、Ritt用域扩张法代数的表述Liouville定理.
Liouville定理：设K是微分域，f∈K，若存在K的初等扩张域Const（E）=Const（K），g∈K使得Dg=f，则v∈K，u■，…，u■∈K■，c■，…，c■∈Const（K）使得：f=Dv+■c■■（其中Const（k）={a∈K|Da=0}，初等扩张包括代数扩张、对数扩张、指数扩张）.
强Liouville定理：设f是初等函数，K是包括初f等域，C为复数域，那么f的原函数能用初等函数表示出来当且仅当C中存在非零常数c■，…，c■和K中的非零函数g■，…，g■和K中函数h，使得f=■c■■+h′.
推论：设f，g∈C（x）（复数域上x有理函数）且f≠0，g不是常数，若f（x）e■的原函数能用初等函数表示出来，则在C（x）中存在一个有理函数R（x）使R′（x）+g′（x）R（x）=f（x）成立.
替换定理：设f（x）、x=g（t）及它的反函数t=g■（x）都是初等函数，则?蘩f（x）dx是非初等函数当且仅当?蘩f（g（t））g′（t）dt也是非初等函数.
总之，有限形式下的积分理论，经历了从19世纪早期Liouville的创立到Ritt于1948年的总结，特别是Rosenlicht和Risch作出了重要贡献.
二、主要结果
文献［1］利用刘维尔第三定理证明了不定积分?蘩e■dx（b≠0）?蘩■dx（b≠0）?蘩■dx等不是初等函数.由欧拉公式和刘维尔第四定理，不难证明?蘩sinx■dx，?蘩cosx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx也不是初等函数，利用分部积分、变量替换等手段，由它们可得更多“积不出”函数.
1.由?蘩e■dx不是初等函数通过欧拉公式，分部积分变量替换导出来的类型.
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩x■sinx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，（其中m，n∈N■）.
2.通过变量替换，分部积分可以化归成二项微分式的类型.
切比雪夫定理：不定积分?蘩x■（a+bx■）■dx（其中a，b≠0，b，q，r是有理数）是初等函数的充分必要条件是q，■，■+q三个数中至少有一个是整数.
推论：设p，q是有理数，则不定积分?蘩x■（1-x）■dx是初等函数的充分必要条件是p，q，p+q三个数中至少有一个是整数.这类型的积分很多，文献［5］通过切比雪夫定理给出?蘩■dx（m＞2）其中p■（x）=a■x■+a■x■+…+a■x+a■能表成初等函数的充要条件.
3.可以转化成椭圆积分型.
当n≥3时，不定积分?蘩R（x，■）dx一般不是初等函数；当3≤n≤4时称为椭圆积分，文献［4］指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和：
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx
而这些椭圆积分，早在1833年刘维尔就证明了不是初等函数.
?蘩■，?蘩■dθ，?蘩■，?蘩■dθ（|k|＜1），?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，其中p≠q，可化归椭圆积分.
4.其他的一些类型.
?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx（n≠1是初等函数n=1非初等函数），?蘩■dx，?蘩ln（sinx）dx，?蘩ln（cosx）dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩e■tanxdx，?蘩lnlnxdx，?蘩x■e■dx（K=0，1，…，n-2），都不是初等函数.
总之，判断和证明一个函数的不定积分是不是初等函数是一个很复杂的问题，有理函数或通过替换可化为有理函数的是能“积出来”的，无理函数和包含超越函数的不定积分大部分都是非初等函数，目前还没有统一的方法可解决，如下例：?蘩■dx=-■■+c能积出，更换其中一些常数就可能“积不出”.所以简单的被积函数不一定有初等积分，而复杂的被积函数不一定没有初等积分.
参考文献：
［1］张从军.数学分析概要二十讲.安徽大学出版社，2000.
［2］金玉明主编.实用积分表.中国科技大学出版社，2005.
［3］张春苟.不定积分中的“积不出”问题.数学的实践与认识，2009.
关键词： 数学归纳法 学习兴趣 培养策略
1.引言
初中数学教学中要注意对学生各方面能力的培养，比如：独立进行思考的能力、数学归纳能力、思维创新与拓展能力等。其中，值得注意的一点是，数学的归纳与总结能力的掌握对于学生学好初中数学非常关键。优秀的数学归纳与总结能力有利于其今后数学知识的学习及进行一系列的研究。借助数学归纳与总结的能力，初中学生能够相对轻松地掌握与记忆更多初中数学知识，在这个过程中自主思索探讨，还可以培养学生自主思考问题的能力。初中正是培养学生道德品质的重要阶段，在初中数学这门学科的教学中应该渗透素质教育，培养学生综合能力，促进其全面发展。这样才能将初中学生培养成为当今社会所需要的全能型人才，为我国未来的发展作出巨大的贡献。
2.数学归纳法对初中数学教学顺利开展的重要性
无论哪一门学科，要想很好地学习与掌握就必须结合现实生活，初中数学教学更是如此，提高初中数学教学质量的关键，就是要让学生清楚数学在实际生活中的具体应用，此外教学方法也要尽可能地科学合理，学生学习数学不再只是简单地死记硬背，而是借助数学归纳这一方法进行数学知识的推理。在这种教学模式下，学生的独立思考能力显著提高，零零碎碎的知识点可以进行有逻辑顺序的总结归纳，得出解决问题的思路及方法。在难度较大数学题的回答过程中，学生可以将题目进行归纳总结分类，对于一种类型的问题套入一定的解题方法，可以更方便简单地解决问题。因此说数学归纳法对初中生的数学学习有着重要作用，同时也直接影响着学生的发展。
3.如何培养初中学生学习数学归纳法的兴趣
3.1数学归纳法蕴含的教学理念要明确
在初中数学教学中，老师要明确数学归纳总结法的教学观念，在建立教学体系上也要尽量合理，将教学内容结合数学归纳总结法进行教学内容的创新。初中数学老师在开展教学时要自己人为地添加数学归纳总结方面的教学内容，这样有利于学生独立解决问题能力及独立思考问题能力的提高。鉴于现在教材中这部分教学内容的严重缺失，初中数学老师有必要自己人为地添加一些相关的教学内容。值得注意的是，将数学归纳法应用在初中数学教学过程中虽然的确有利于学生学习水平的提高，但初中学生能否很好地运用归纳总结法是值得老师重视的问题，因此老师要制定一些教学评价，考查学生是否掌握并且可以合理使用归纳总结法。
3.2初中生数学归纳法的归纳基础
归纳就是指从部分到整体的一个推理方法，它在初中数学中有着广泛应用，这种思维方法对学生良好逻辑思维的培养有着重要作用，从大量的、普遍的事实中发现一定的规律，并将其合理地归入一个类型，这就是归纳。比如所在人教版初中数学必修一第一单元实数这一章的讲解中，在课堂教学活动开始之前老师可以列举出一系列数字，比如0，1，6，-1，-9，8，等等，让学生将这些数字进行分类，学生自行将这些数字进行分类后，老师再引领学生说出这几类数字的区别，从而引出“正数”“负数”等数学概念。这样的教学方法可以激发学生对初中数学的学习兴趣，并且大大提高初中数学这门学科的教学质量和效率，学生独立思考的能力得到了提高，有利于学生今后更好地步入社会，发展各方面的能力。
3.3数学归纳法推理的理论基础
推理建立在归纳这一基础之上，主要是把通过归纳总结得出的结论作为日后进行推断的参考，这种推理的教学方法在日常生活中很常见。例如，平常生活中我们时常会说“今天我的精神状态不太好，肯定是昨天晚上的时候没有睡好”，这句平常的话中就包含了推理。推理方法对于初中数学的学习与教学至关重要。比如，在勾股定理这一章节的讲解中，老师可以画出几个大小不同的直角三角形，让学生自己归纳各个三角形的边长度的关系，从而推理得出勾股定理。在这样的推理过程中，学生可以更牢固地掌握数学知识，提高初中数学这门学科的课堂教学质量，节省了大量课堂时间。
4.结语
要想提高初中数学这门学科的教学质量，为社会培养出更多全能型人才，需要初中数学老师在教学上进行改变，无论是方法还是内容，都要重点突出初中生这一群体的主体地位，老师的主要工作是引导学生顺利地完成教学工作，将数学归纳总结法融合在数学教学过程中。总而言之，要想提高初中生数学归纳与总结的能力，老师就需要将归纳总结意识渗透于每一节课，从日常生活做起，学习来源于生活，学生在日常生活中要加强自身的归纳总结推理意识，促进自身的发展进步。
参考文献：
[1]卢仰红.让初中数学课堂小结“别样羊红”.科技信息，2011（18）.
[关键词]初中 数学教师 新课程理念 调查
我国基础教育正在开展规模巨大的课程改革。本次数学课程改革体现以学生为主体,教师为主导的建构主义理论的教学模式。“知识技能”目标是“数学思考、解决问题和情感态度”三个过程目标的载体。要求学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。目前,呼伦贝尔市承担基础教育的初中数学教师对新课标理念把握的怎样?数学教学过程中落实得如何?这将直接影响呼伦贝尔市的基础教育数学教学改革的成效。为了解决这一问题,对来自呼伦贝尔市各地区13个旗县(市)的初中数学教师进行了调查研究。
一、调查实施
(一)调查内容
自2002年中华人民共和国教育部颁布《全日制义务教育数学课程标准》以来,广大初中数学教师一直在学习、研究和践行新课程标准的理念。新课程标准强调:数学教育不仅要让学生经历对数学的火热思考,而且应该提高到“数学思想方法”的高度。为了了解呼伦贝尔市初中数学教师对数学思想方法在教学中的落实情况,借助于呼伦贝尔市个地区的初中数学教师来到呼伦贝尔学院参加继续教育的机会,我对参加听课的67名来自教学第一线的初中数学教师进行问卷调查,目的是为了从中发现和解决问题。共计提出三个问题:
1.您在每天的数学教学工作中,经常做数学实验吗?各举出一个数学定量试验和定性试验的例子。
2.您认为祖冲之和刘徽的工作有什么不同?谁的工作更重要?
3.数学教育家波利亚认为数学科学有两个侧面,您是怎样理解的?您以前思考过这个问题吗?
(二)调查方法
采取问卷调查的方式,现场发下67张问卷,要求每位教师独立回答自己的想法和意见。67张问卷及时全部回收。
(三)调查对象
呼伦贝尔市初中数学教师,来自于呼伦贝尔市的13个旗县(市)。样本具有随机性和代表性。被调查的教师为中级职称或高级职称教师。
(四)调查步骤
二、调查结果分析
教师1:(1)做过,但不经常;(2)不知道;(3)以前没有思考过这个问题,通过老师今的讲解懂了部分。
教师2:(1)不做实验;(2)刘辉的重要,教授的方法,祖冲之是成果,对于我们而言,方法更重要;(3)没思考过;
教师3:(1)不做;(2)同样重要;(3)不理解,以前没思考过;
教师4:(1)不做;(2)我认为祖冲之重要;(3)不知道;
教师5:(1)不做;(2)不研究此类问题;(3)理解的不够深入;
教师6:(1)不做数学实验;(2)刘徽的重要,他教的是方法,祖冲之的是成果,方法更重要;(3)没考虑过,没思考过;
……
教师67:(1)做过,用三角形纸膜,撕开求三角形内角和;(2)不知道;(3)我不会。
(一)呼伦贝尔市初中数学教师学习、践行新课标的状况
1.新课标在基本理念部分强调“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。在过程目标部分强调学生探索:“学生要主动参与特定的数学活动,通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系”。但是,调查发现100%初中数学教师对数学实验的概念不理解。
2.新课标的理念强调:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。但是,调查结果表明:43.3%的初中数学教师不知道数学思想和方法的重要性。
3.新课程强调数学教学过程中要培养学生的数学化能力,强调学生的学习是再创造的过程。为此,教材体现了波利亚关于数学科学具有归纳、演绎二重性的思想。但是,调查结果表明:有71.6%的初中数学教师明确表示对这一问题没有思考过,还有22.4%的初中数学教师回答不知道波利亚关于数学科学的两个侧面。
(二)呼伦贝尔市初中数学教师教学改革工作中存在的问题
1.初中数学教师对数学新课程的理念不理解
调查结果表明:有100%的初中数学教师没能举例说明数学的定性和定量试验。其实,数学教学中,在论证定理的正确性之后,常给学生一些满足定理条件的例子,去验证定理。有时也常给学生一些不满足定理条件的反例,从而去强化定理的条件,这些都是定性试验。例如,教学中引导学生发现三角形内角和等于180度这一命题时,常用割补法将三角形进行割补,这就是定量试验。初中数学教师不知道什么是数学实验,那么,必将影响引导学生学习过程中的实验、观察等教学的效果。初中数学教师也就很难理解新课标的理念。
2.初中数学教师不知道数学思想和方法的重要性张奠宙在《数学教育学导论》里强调:数学教师在数学教学工作中,要把数学的学术形态转化为数学的教育形态。认为学生对数学的思考往往来自于个别范例和具体活动;强调火热的思考,应该提高到“数学思想方法”的高度。我们在运用数学是进行德育的过程中,也要强调刘徽的地位,因为他的成就不是一个具体成果,而是一整套的数学思想和数学观念。调查结果表明,初中数学教师不知道数学思想方法的重要性,将制约着课程目标的实现。
3.初中数学教师对数学教材的编写意图理解不够
初中数学教师在教学的过程中,利用这些内容给学生提供观察、思考、归纳的机会或条件。而学生的数学学习是通过观察、思考、归纳得到一个模型,再运用模型去解决相关问题的过程。在这个过程中培养了学生的能力,从而实现了教学目标。但是,调查发现71.6%的初中数学教师回答没有思考过这一问题,这在一定程度上制约着初中数学教学改革的成效。
三、对调查所发现问题的思考
(一)存在的问题及原因分析
1.初中数学教师对数学实验的概念不理解的原因
初中数学教师之所以对数学实验的概念不理解,其主观原因是对数学方法论等相关理论书籍阅读的较少,暴露了中学数学教师教育理论基础的薄弱。初中数学教师们常常讲观察、实验,但是对数学实验的概念不求甚解,教研风气浮躁,仍然忙于对应试教育的常规问题的解答中,对新课程的理念重视不够。客观原因是校本课程的建设中,忽视对基本理论问题的学习,教学研究处于人云亦云的状态,对数学方法论的学习不够。理论的欠缺必然要抑制课程改革的成效。
2.初中数学教师对数学思想方法重视不够的原因
新课程的理念一直强调数学思想和方法的教学,但是调查发现43.3%的初中数学教师不清楚是一个具体的研究成果重要,还是一整套的数学思想方法和观念重要。这说明对新课程的理念的学习不够,受传统的数学观和数学教育观的影响,教学中只重视范例的解答和思考,教育教学研究还没有上升到数学方法论的层面,对数学教育理论的学习程度有待加强。校本课程对数学史的学习和研究的较少。
3.初中数学教师对教材编排体系的归纳演绎二重性重视不够的原因
对教材编排体系的归纳、演绎二重性不了解,原因是中学数学教师对教材的学习、研究不够,对经典的数学教育理论的研读较少。阅读面较窄制约着教师的知识面。例如,绝大多数中学数学教师没有阅读过被誉为二战后的经典著作,波利亚的《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学发现》。这些经典著作中蕴含着丰富的数学教育思想不为初中数学教师所了解,这将为数学课程改革造成巨大损失。也是中学数学教师不能把握教材编排体系的主要原因。
(二)解决问题的对策
1.中学数学教师要认真钻研新课标,切实把握相关的教育理念。涉及到的基本概念要深入研究,涉及的数学教育理论要切实把握,广泛阅读各种教育理论书籍,不断提高自身的理论素质。各中学的教研组活动应该把数学教育理论的学习和研究作为重要内容,通过读书结合实践谈体会,在交流中共同提高。
2.切实把新课标所提倡的数学思想和方法在数学教学工作中落到实处。把一般化、特殊化、归纳法、演绎法、类比等数学思想结合教材所涉及的内容进行研究,在教学中把数学思想方法的目标落实在各教学环节中,教会学生运用数学思想方法解决问题。
3.各级教育行政部门应该责承负责教研的工作人员,筛选出重要的理论书籍推荐给中小学教师阅读。要求初中数学教师经常阅读一些经典的著作,从中汲取数学思想方法,把握教材的编写意图和体系,知道每一部分内容的教学要达到的教学目标。
四、结论
通过本课题的调查研究,发现了制约初中数学教师践行新课标理念的不足之处。正是这些看似小的问题,仔细研究发现它们非常重要。例如,初中数学教师每天都在做数学实验,却不知道这是在数学实验。正是对这些关键概念的不求甚解,制约着初中数学教师对新课标理念的理解和把握。今后,笔者对这一课题将继续深入研究下去。
参考文献:
[1]中华人民共和国教育部制定.全日制九年义务教育数学课程标准(实验稿).北京师范大学出版社,2001,7.
[2]张奠宙,李士,李俊.数学教育学导论.高等教育出版社,2003.
一、为什么要讨论衔接问题
首先,课改以来的教材变化和课程标准的变化使初高中数学知识在具体内容上出现了较大的跨度。初中数学教学内容有较大程度的压缩,而高中数学在教材内容上有所增加,而且有些内容没有衔接,使得学生从初中到高中要跨越很高的台阶,增加了学习的难度。
其次,初高中数学对数学思想方法的教学和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法较少而且要求不高,甚至没有明确地提出思想方法的概念,而高中涉及较多的思想方法,而且要求学生熟练地运用这些思想方法来解决问题。这也对学生提出了更高的要求,使许多学生不能很快适应。
二、哪些具体内容需要衔接
1.初中删去的,高中经常要运用的内容
(1)立方和与立方差公式在初中课程中已删去,而在高中课程的运算中经常用到。
(2)因式分解在初中课程中一般仅限于二次项系数为"1"的分解,对系数不为"1"的涉及不多;初中课程对高次多项式因式分解几乎不做要求,但高中课程中的许多化简求值都要用到这些因式分解。
(3)二次根式部分对分母有理化在初中课程中不做要求,而分子、分母有理化是高中课程中函数、不等式部分常用的运算技巧。
(4)几何部分很多概念(如重心、外心、内心等)和定理(如,平行线分线段比例定理、角平分线性质定理等)初中课程中大都已经删去,而高中课程中要经常涉及这些内容。
2.初中要求低,而高中需要熟练运用的内容
(1)初中课程对二次函数的要求较低,但二次函数却是高中课程中贯穿始终的重要的基础内容,而且对二次函数的图象和性质要进行深入的研究。
(2)二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不做要求,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。
(3)含有参数的函数、方程、不等式,初中不做要求,只作定量研究,而高中课程中这些内容是必须掌握的重点内容。
3.数学思想方法的衔接
(1)初中对分类讨论思想、数形结合思想只是有一些渗透,而高中就要求学生理解并在解题中应用。
(2)配方法、待定系数法、分离常数法、十字相乘法等运算方法和变形技巧,初中做要求,而高中数学中却要求学生熟练掌握。
三、怎样做好衔接工作
1.教学内容的衔接
在高中阶段刚开始的数学教学中,适当放慢教学进度、降低课程难度。新授课的导入,尽量由初中的角度切入,注意新旧对比、前后联系,把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比,使学生明确新旧知识之间的联系与差异,从而顺利地过渡到新知识的学习中。
2.数学思想方法的衔接
关键词： 初中数学 变题方法 变题技术
运用变题方法和技术进行数学教学，是初中数学教学中常用的教学手段，符合初中生的个性特点和成长需求，在素质教育背景下发挥越来越重要的作用，可以有效提升初中生的变通能力和应变能力，激发初中生的求知欲和探索欲。在初中数学课堂中培养初中生的解题能力是数学教学的关键。近年来，数学变题方法和技术研究成为数学教师讨论的热门话题，只有让初中生找到学习数学的新途径，才能提升初中数学教学的有效性。在新课程改革背景下，初中数学教师要摆脱传统应试教育的束缚，积极提高教学效率，创新教学方式，倡导从题目变形中挖掘解题技巧，给初中生提供更多的发展空间，让初中生真正成为课堂教学的主人。本文根据实际初中数学教学经验，探讨初中数学变题方法和技术，为数学同仁提供教学参考。
一、设置一题多解变式训练，培养逆向思维能力
一题多解是快速提升初中生数学学习水平的有效策略，不仅可以激发初中生探究欲望，还可以培养学生逆向思维能力。笔者对一题多解有两种解释：第一，同一个问题用不同方法和途径解决；第二，同一个问题，其结论是多种的和开放的。无论哪种题型，都有利于初中生形成举一反三的能力，满足不同水平学生的求知欲，促进全体初中生共同进步。为了强化学生对初中数学证明题的理解和掌握，我设计了如下证明题：如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CDAB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交CB于F。求证：CE=CF。
方法一：因为∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=180°-90°=90°，又因为CDAB，所以∠CDA=90°，∠CAB+∠ACD=180°-90°=90°，∠B=∠ACD，因为∠CEF==∠ACD+∠CAF，∠CFE=∠B+∠FAB，AF平分∠CAB，所以∠CAF=∠FAB，∠CEF=∠CFE，CE=CF。
方法二：因为∠ACB=90°，所以∠CFA=180°-∠ACB-∠CAF=180°-90°-∠CAF=90°-∠CAF。因为CDAB，所以∠CDA=90°。又因为∠CEF=∠ACD=180°-∠CDA-∠FAB=180°-90°-∠FAB=90°-∠FAB。因为AF平分∠CAB，所以∠CAF=∠FAB，∠CEF=∠CFA，CE=CF。通过对上题的讲解与分析，初中生掌握多种证明题解题方式，逐步总结出适合自己的学习方法，以后遇到同样类型的数学题能快速解答，提高数学解题能力。
二、注重一法多用变题方法，鼓励灵活掌握知识
初中数学具有抽象性和系统性的特点，主要考查初中生的逻辑思维能力和分析推理能力，因此，初中数学教师可以对课堂教学进行延伸或者创新，将一种数学方法应用到多个数学习题解答中，促进初中生更灵活自如地掌握数学知识、运用数学技能。同时遵循初中生认知水平，恰当变换题目条件或者结论，引导学生从不同途径探索解决问题的不同方法。如讲初中数学《一元二次方程》，常用的解法是配方法，配方法是初中数学题中一种重要的恒等变形方法，在因式分解、化简根式、解方程、求函数的极值和解析式等方面都经常应用到。我进行了一法多用训练，旨在提升初中生的解题效率，促进初中生掌握更多的解题技巧。我设计了如下试题：运用配方法解方程x-3x-1=0。初中生经过分析和探究解出：x-3x=1，x-3x+（）=1+（），（x-）=，x-=±，x=，x=；用配方法分解因式x+4x+3。初中生经过讨论和尝试解出：x+4x+3=x+4x+4-1=（x+2）-1=（x+2+1）（x+2-1）=（x+3）（x+1）；用配方法化简根式-。这道题表面看上去比较复杂，其实只要初中生能理清思路，很快就能找出解题方法。-=-==-2。经过长期训练，初中生越来越喜欢数学课，在数学课上积极举手发言，形成“比学赶超”的良好风气。
三、挖掘数形图形变换技巧，锻炼思维的广阔性
为了更好地提升初中生的数学运算能力，我在日常教学中注重挖掘初中生潜力，将数形结合思想和图形变换技巧有效渗透到课堂教学中，从而提升初中生课堂参与度，锻炼初中生思维方式，促进初中生更好地掌握变式题解答策略，避免在考试中不知道从何入手，为中考数学奠定坚实的基础。知识是静态的，思维是活动的，只有初中生掌握丰富的数学知识，解答数学题时才能做到思维活跃。如讲初中数学《勾股定理》时，我先以常见试题引入：若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积？我给初中生进行思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得（3x）+（4x）=20，化简得x=16，直角三角形的面积=×12×16=96。为了激发初中生创新意识，培养举一反三的能力，我设计了三组变题训练：（1）等边三角形的边长为2，求它的面积？（2）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积？（3）若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n？
四、避免随意和盲目的变换，结合学生实际需求
在初中数学教学中，数学教师一方面要加强数学变题方法和技术指导，另一方面要结合初中生的实际需求，选择科学合理的教学方式，避免随意和盲目变换题型，对初中生造成困扰。初中生学习时要加强对数学定义、公式、定理和规则的掌握，认真做好归纳和总结，使解题思路更清晰。如讲初中数学《一次函数》时，实际教学中有一些初中数学教师过于追求创新和变题，忽视初中生的实际水平，出的数学练习题超过初中生理解范围，给初中生学习一次函数带来阻碍。我在课堂教学设计时充分了解学生认知水平，充分了解学生的思维特点，合理设计教学方案，使学生更好地掌握一次函数的知识。为了促使初中生正确掌握学习一次函数的数学思想方法，如数形结合思想、待定系数法等，我进行了变题训练：某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻，费用较省？
参考文献：
[1]关果萍.初中数学习题变式的研究[J]中学生数理化，2013（12）.
关键词：高中数学；初中数学；断层现象；原因分析
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）10-240-01
自从高中使用北师大版的新课程标准实验教科书以后，自己在高中的数学教学中总感觉有一种断层现象，今年专门研究了一下初中数学教与学的过程，发现确实存在着很多断层现象。许多初中学校、高中学校是完全独立的，因此高中老师不了解初中的程课设置和教学特点，对初中新课程改革中，新课标对教学及学生要求的一系列的变化更是不了解，初中老师也不了解高中的课程设置和教学特点。然而在实际教学过程中我们发现学生进入高中阶段后遇到了很多不适应的情况，初高中的教学确实存在着断层现象，下面从知识、能力两方面浅谈一下断层现象及原因。
一、初高中知识、能力方面的断层现象
1、知识方面的断层
（1）在平面几何结论（三角形的内心、外心、重心、垂心概念，内角平分线定理、重心定理、圆幂定理等）上不衔接；（2）用十字相乘求一元二次方程的根不衔接；立方和（差）公式不衔接；（3）二元二次方程组（含一个二元一次方程）不衔接；（4）一元二次不等式求解不衔接；（5）三元一次方程组求解不衔接。
2、能力方面的断层
（1）学生对变量的理解与认识不够；（2）学生的空间想象力不够；（3）学生在书写规范性和准确简明表达解题过程方面不足；（4）学生的多项式计算化简能力不强；（5）学生对分式的计算与化简能力不强。
二、初高中知识、能力方面的断层现象的分析
1、知识分析：代数，几何，概率统计三方面完全删除或降低要求的部分；新增或提高要求的部分
删减或降低部分代数方面1、立方和(差)公式删除；2、因式分解：总体要求大大降低；3、二次根式删除同类二次根式的概念，降低分母有理化要求；4、删除三元一次方程组、二元二次方程组；删除韦达定理，一元二次不等式、分式方程，没有要求可化为一元二次方程的分式方程；5、函数；6、三角函数。这些知识都是进入高中之后的基础和重点，立方差公式、因式分解、方程组都是在高中解题化简中常用的方法，韦达定理就更不用说了，高考中的有关圆锥曲线知识的解题中，80%要用到韦达定理，而这个知识点只能在高中解题的时候重新讲解；不等式，分式方程的解法在高中也是一个重点，这些知识在初中阶段的要求降低，学生进入高中之后的运算能力就显得非常弱。
几何方面1、三角形“四心”中的重心、垂心只做过介绍；大边、大角关系没有要求；2、完全删除平行线分线段成比例定理及逆定理；三角形角平分线定理；比例性质，射影定理没有明确要求；相似三角形的推理证明要求下降；3、圆的相关要求大大降低。
新增或提高部分。
代数方面1、用函数观点统一方程(组)、不等式(组)：非常明确的提出，并作了详细的介绍；突出了函数思想的重要性；2、利用图像法求解方程(组)、不等式(组)：作了介绍，并在一些综合题中有所体现；加强了数形结合的思想；3、用方程(组)、不等式(组)以及函数解决实际问题：要求大大提高，在每部分都进行了较为系统的训练，但不同学生的差异较大、更注重数学应用意识。
这些我个人认为处理的非常好，函数思想，是贯穿初中数学、高中数学、大学数学的一个主线，用函数的观点研究方程（组）、不等式（组），以及高中知识里面的数列等，典型突出了函数思想的重要性。
几何方面（几何方面新增内容为后续高中学习立体几何，三视图等知识打下了很好的基础）
（1）简单多边形的重心；2、视图与投影；3、几何变换，这些内容的新增，为将来学生在高中阶段对立体几何、三视图的学习打下了很好的基础，所以高中学生学习三视图的内容就相对简单。
概率统计(为高中学习概率统计打下基础)
（2）统计观念的培养；2、掌握常用统计图表的绘制，理解其意义；3、理解常用统计量的意义，会计算；4、概率：从初中教材中，学生了解了概率的意义，学生对“频率稳定于概率”有了初步的理解；5、会用列举法求解简单的古典概型问题。这些内容在高中知识里面也是非常重要的，可见初中新增内容与高中教材新增内容在体系上保持了一致性，起到了很好的铺垫作用。
2、数学学习心理上、习惯上的断层分析
【关键词】 几何画板；初中数学；学习能力；作用
如何更好地培养初中学生的自主探究学习能力一直都是学校教学的重点，更是学校实行素质教育的首要任务. 本文主要就是以初中数学教学为论述对象. 目前的新课程明确指出对于数学课程的设计或者实施必须要重视信息技术，紧密地与信息技术相互结合，对于计算机的考虑要非常充分，特别是计算机对数学教学的重要影响. 所以，目前学校积极开发向学生提供丰富的学习资源，并且将现代信息技术作为数学教学与实际相结合的工具，该学习软件主要就是通过改变学生数学的学习方式，帮助学生将全部的精力都放到理论和实际生活相结合当中去，因此，目前的学校都是在积极地将信息技术与课堂教学相互结合. 大部分的学校对积极调动和培养学生的自主探究学习能力已经非常重视了.
一、“几何画板”激发学生学习数学的兴趣
想要提高学习效果，激发学生的学习兴趣是非常重要的，也是学生培养学习能力的重要组成部分. 以前的教学方式，尤其是初中的数学教学是非常枯燥的，主要就是由于教师缺乏对于数学情景的构建，造成数学总是给学生枯燥和抽象的印象. 所以很多学生一想到数学就头疼，对数学敬而远之，甚至是感到惧怕和厌恶. 可以说这样的学习情绪在很大程度上都压抑了学生的学习潜力. 目前的几何画板软件可以很好地解决这一问题，该软件有着一定的动态变化的功能，其中涉及的一流交互功能非常有助于学生的理解，能够以浓缩的形态为学生构建数学情景，加入学生的参与，使得数学枯燥抽象的内容也可以变得相对生动形象，最重要的是可以有助于将以前难懂抽象的概念变得清晰.
二、几何画板软件可以展示知识的形成过程，有助于学生参与知识的探索
目前的几何画板软件不仅可以提供测量和计算的功能，还可以进行度量，比如说初中数学教学内容中涉及线段的长度、弧长、角度和面积等，是可以对测量的结果进行相应的计算的，并且可以很快地将结果显示在屏幕上，这样只要用鼠标点击任意一个对象，发生改变时，相应的几何对象的量就会发生改变，非常有助于学生发现问题、讨论问题. 比如初中数学中涉及的“角平分线”的概念以及性质，就可以让学生操作几何画板，首先构造出∠ABC的平分线BE. 之后就是让学生量出∠ABE和∠CBE的值. 如果是改变角A的大小，就可以观察出值的变化，就可以深刻地理解角平分线的概念. 然后作出角两边的垂线，量出点E到垂足的距离. 如果学生用鼠标在角平分线上任意拖动点E，也是可以观察出度量值的变化，发现出角平分线的性质.
在初中的数学教学过程中积极地利用几何画板可以有助于让学生加入数学的教学过程当中，可以很好地实现学生对知识意义的理解，有助于学生更加深刻地理解数学的抽象知识，有效地化解学生对于初中数学知识难点的理解. 例如，在初中的数学中会涉及平行线分线段成比例定理这个知识点，一直以来它对于初中生来讲都是个知识上的难点，一般教材都是用平行线等分线段定理进行举例说明，在理论上是可以说明它的正确性，但是学生不能深刻地理解，很难达到对定理的掌握，如果用几何画板软件做课件，让学生可以利用电脑自己去度量线段的长，然后计算出线段的比，之后验证线段的比是不是相等，这样一来就可以自己探索出“定理”. 这样的课件可以很好地突出学生学习的主体性和对知识探索观察的兴趣和能力，对于知识可以由一般到特殊、由形象到抽象地逐步掌握，引导学生自己给出证明，这样很难讲清的问题学生自己就解决了.
三、利用几何画板的辅助教学，开拓学生的思维
一般情况下，我们说的发散思维是一种不依据常规，寻求变化，从多方面寻求答案的思维方式，可以说是培养学生创造性思维的重点. 一般来讲，想要发散思维是必须富于联想的，必须要有着宽阔的思路，善于分解和想象，采用变通的思维方法. 一般发散思维的三个基本的特征主要就是流畅性、变通性和独创性. 目前的初中数学教学中对学生思维发散性的训练可以积极地利用几何画板，该软件有助于我们培养学生的发散思维. 比如说ABC和ADE是两个等腰直角三角形，点M是EC中点，要求我们求证BMD是等腰三角形. 如果我们利用几何画板课件，就可以将等腰直角三角形ADE以A点为中心逆时针方向旋转，这样就可以出现系列图形，可以非常有助于学生轻松得出规律. 让学生自主探索就可以激发学生的积极思维，有助于学生创造性思维能力的提高.
【参考文献】
[1]刘学.几何画板在数学教学中的应用[J].教育学报，2009.
【关键词】高等数学；初等数学
一、引言
初等数学知识是学习数学知识的基础，只有学习好了初等数学才能够更好的学习高等数学，所以高等数学是在初等数学基础上的发展与提高.同时考虑到学生接触年龄阶段普遍的思维方式以及接受知识的能力，综合考虑有必要先进行初等数学知识的学习.但是反过来，学习了高等数学以后，可以运用高等数学知识更好地理解和解决初等数学相关知识.
二、高等数学知识在初等数学中的应用实例
不等式的证明是最常见的一种高等数学知识的灵活运用，另外概率法、微积分、齐次线性方程组等高等知识的运用同样使初等数学问题明朗化和简易化.下面简单对其中的几种高等知识运用问题进行实际分析.
1极值问题知识在初等数学中的应用
例1求函数f（x）=x3-3x+3（x>0）的最小值.
解设x0=x-m，则f（x）=（x0+m）3-3（x0+m）+3=x0+3mx20+（3m2-3）x0+3-3m+3m2.
令3m2-3=0，则解得同m等于1和-1，因为x>0，则f（x）=（x-1）3+3（x-1）2+1=（x-1）2（x+2）+1≥1.
所以，当x等于1的时候，函数存在极值，即最小值，最小值为1.
从这个例题中可以看出，运用极值进行问题解答的关键在于把函数展开成一个缺一次项的展开式，在高等数学里可直接使用泰勒级数，但初等数学中就只能采用待定系数法.高等数学的指导意义在于若函数在给定区间内存在极值，则存在使其一阶导数为零的点，因而函数的泰勒级数一定有使一次项系数为零的点存在.而求导的一个初等化方法就是可用待定系数法来达到这一目的.也就是求得使一次项系数为零的常数m.
2利用函数的单调性质证明不等式
利用函数的单调性是一种最常用也是最常见的证明不等式的方法，其有以下几个步骤组成：
（1）对不等式进行变形，使不等号左端或者右端化为f（x）的形式，另外一端等于零（或者等于一个常数），一般来说函数肯定会有一个端点值又或者其数值的正负已经确定；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）根据f（x）的单调性以及端点值，就能够解决不等式的证明问题了.
例2证明当0
证明令f（x）=tanxx，x∈0，π4，则其导数F（x）>0，说明f（x）在0，π4上单调递增，并且可导，那么x=π4时取得最大值，由于x位于分母上不能为零，f（x）那么用无限趋近于零，取得其最小值0.所以当0
通过函数单调性进行不等式的证明关键是构造函数，然后根据其导数函数的符号，有必要的话可以求更高阶导数，其目的是最终确定所构造函数在区间内的单调性，通过求端点值来证明不等式.
3利用向量问题证明不等式
向量的数量积存在性质：a・b=|a|・|b|cosθ≤|a|・|b|.
例3设a，b，c，d∈R+，证明（ab+cd）≤（a2+c2）・（b2+d2）.
证明构造向量m={a，c}，n={b，d}，那么存在
（ab+cd）2=（m・n）2=|m|2|n|2cos2θ≤|m|2|n|2=（a2+c2）（b2+d2）.
4微积分在初等数学中的应用
例4证明当0
证明设y=lnx，它在区间[a，b]满足拉格朗日中值定理的条件，有lnb-lnab-a=1ξ，0
若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解.
三、结语
从例题我们可以看出利用初等数学知识来解答这些问题的话，必然会繁琐无比，而我们通过利用高等数学知识就可以很巧妙地将题解出来，但是这并不意味着可以省略初等教学过程，而直接进行高等数学知识的学习，因为初等数学知识是基础，只有将基础打牢了，才能够更好的学习高等数学知识，才能更灵活地运用高等知识进行解题.同时还需要考虑的是学生不同年龄段的接受知识能力不同，而进行不同程度的教授知识.
【参考文献】
[1]李大华.应用泛函简明教程[M].武汉：华中理工大学出版社，1999.
[2]张贾宇，郭伯祥.数学方法论[M].上海：上海教育出版社，1996.
[3]王健吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版，1996.
关键词：初中；数学教学；运算能力；提升
学生在初中阶段，数学的成绩高低直接取决于运算能力的强弱。数学运算能力的培养需要从多方面着手，学生运算能力的提升也不是短时间内就能够完成的，需要教育工作者在教学过程中进行长时间的正确引导与训练。
一、当前影响初中数学教学运算能力提升的问题
1.初中生对运算与运算能力认识理解不深入
运算是以准确为基础的，很多学生总是习惯于把错误的原因归结于马虎粗心上。但不反省是否是自己对基本运算不够成熟，由此还影响到学生的二级运算能力。比如，在初中数学的试题当中会经常遇到的一类题目，方程（k-1）x2+2x-1=0中k为何值有实数根，初中生经常会因为自己的基础运算能力不足而不能够很好地解出答案。
2.初中生在数理逻辑方面存在的问题
（1）学生短时记忆的错漏
短时记忆错漏在初中生的数学运算中是经常出现的问题，比如，在不等式的求解最后一步，名为系数化为1，但很多学生会忘记转变不等式符号的方向。比如碰到（k-1）x2+2x-1=0这样的题目时，也往往习惯于留一个4+4（k-1）≥0答案。显然是错误的。
（2）学生的思维定式显现出消极影响
思维定式虽然对于知识的迁移有着积极作用，但要是试图学习新知识其消极作用就非常明显了。比如，在初中数学的几何中，勾股定理a2+b2=c2是学生最常见的形式，也是习惯性的形式，而一出现c2-a2=b2的情况，学生往往就很不适应了。出现这种状况的原因就在于平常学生见到的只是勾股定理的一般形式，在教学中虽然对其公式的变形有一定的讲解与强调，但相关的联系却较少，这样没有形成思维定式。而a2+b2=c2的运算和应用因为教学中强调的较多而已成为思维上的定式。
二、数学教学过程中运算能力的提升策略
1.注重初中生的基础教学，提高运算的准确性
在知识的教学过程中，无论哪一学科都应当注重对基础知识与基础技能的教学，一步一个脚印地走稳，夯实每一层基础，重视每一层运算，特别是对那些基础的、简单的、低级的运算更应当重视，加深对基础知识的理解，从而提升运算准确性。当然，在平常的数学基础知识学习中，还首先应当弄清概念、公式与法则之间的区别。在不断联系中巩固所学知识，并在头脑中加深印象。
例如，初中生在学习中极易出现差错的二次根式中，2与是非常容易出现混淆的，而对这一对式子进行简化的基础也是去根号，所以，在复习中就需要对学生强调这两个式子的基础不同：其一，二者a的范围不同；其二，二者表示的含义不同；其三是运算顺序也不同。
2.多途径激发学生的大脑思维
在数学教学中，教育工作者还应当多对学生设计一些启发式的问题，从而激发学生的探究欲望，激活学生的大脑思维，积极进行自主验证。教育应从四个方面着手对学生的思维进行训练，提升学生的思维层次。
（1）精心设计题组，加强灵活运用
在日常教学中要对学生进行有计划的训练，特别是通过提取来对学生的运算能力进行训练。例如，平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，很多学生因为对公式的认识不深，具体应用起来就可能会出现以下的错误：
①（-b+a）（-a-b）=a2-b2
②（-3x）（+3x）=-3x2
在具体的教学内容讲解上，一定要想讲清平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2所代表的含义，这里的a与b不仅仅是指一个数，还可以表示一个式子。左边的两个a表示是同一个数，b与-b表示的是相反的数或式子，而右边则表示的是相同数的平方与相反数的平方的差。
经过细讲之后，可以尝试给学生进行变式练习，如：
①（-b+a）（-a-b）
②（b+a-c）（-a+b-c）
③（+2m）（-2m）
（2）加强推理训练，强化对算法、算例的理解
学生运算能力的提升强化需要借助推理能力训练。推理能力的提升有助于学生运算能力的提升。从本质上说，学生的运算过程即推理过程，从已知条件向正确答案推理。因此，推理正确是运算正确的前提条件。在具体的数学运算中，应当做到步步有理有据，充分运用运算的性质与公式，依靠推理，从而找出正确答案。
（3）加强常规教学训练，培养良好思维
一些初中生初次接触较为深层次的计算，习惯于单向的单层次计算，而不习惯于发散性、多层次的计算。在数学教学中，应当加以重视。针对这些问题进行常规性的教学训练，着重加强运算的定向，对题目中的显见与隐含条件都应当仔细详细全面地分析，对问题的结构特征也应当加以重视，养成瞻前顾后和通观全局的良好思维。
参考文献：
[1]任俊萍.有效提高初中学生数学运算能力的探讨[J].新课程学习，2013（12）：133.
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