问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和问题的解，当然数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力。当代心理学理论认为：人的思维结构包括目标系统、材料系统、操作系统、产品系统和监控系统五大成份。其中，监控系统处于支配地位，对其它四个系统起着定向、控制和协调作用。这种监控系统也即元认知，它的发展水平直接制约着思维其它方面的发展，也影响着数学问题解决的质量和效率；同时，学生的元认知也通过数学问题解决得以发展。因此，对数学问题解决中的元认知进行研究就显得尤为必要。
二、元认知在数学问题解决中的作用
1．元认知能修正数学问题解决的目标
数学问题解决具有明确的目标指向性。目标是问题解决者主观经验的知觉，它既是问题解决的出发点，也是问题解决的归宿，它影响和制约着问题解决的进程。因为问题解决者在自拟目标的影响下，将自己正在进行的认知活动作为意识的对象，不断发挥主动性和自觉性对问题解决的进程进行积极的、自觉的监视。
一旦进程与目标不符，而又相信自己的进程时，则将怀疑其目标，对目标必将修改或放弃，以确定新的目标。对目标的修正必须由元认知来进行，通过元认知体验，在元认知知识的基础上，问题解决者要监控其解题计划，制订切实可行的目标结构，致使数学问题解决得以顺利进行。元认知对目标所起的作用是通过定向、调节和控制功能表现出来的。
2．元认知能激活和改组数学问题解决的策略数学问题解决具有明显的策略性。策略是在思维模式的作用下反应出来的，它影响着数学问题解决的进程和质量。问题解决者在解题过程中通过三种方式来操作策略。①激活策略，即以目标的期望为出发点，将材料系统放入知识背景，在操作系统的作用下激活认知结构，选择解题策略；②制订策略，即在元认知知识的基础上，根据材料系统在认知结构中的相似性，寻求数学认知结构中的“相似块”，制订解题策略；③改组策略，即通过对问题解决进程的反馈，问题解决者要进行自我评价，对进程的评价实质上也就是对问题解决策略的评价，一旦对自己的目标确信无疑而又达不到或不能顺利达到目标时，则将怀疑其策略，有必要对策略进行改组。问题解决者在操作策略时，实际上均受元认知的指示和指导。
即通过元认知体验，在元认知知识的基础上检验回顾解题方法，调控解题策略，最终逼近问题目标状态。调控策略的指标是通过策略的可行性、简捷性、有效性反应出来的。
3．元认知能够强化解题者在数学问题解决中的主体意识解题者能否自我激活是关系到问题解决系统能否优化的先决条件。由于数学问题通常有一定的障碍性，这就要求解题者必须发挥主体作用，排除障碍，激发问题解决的欲望。而元认知在问题解决中自始至终存在着内反馈的调节，即通过元认知体验来调动积极性和探究性，因此，元认知能积极监控、调节自身学习活动的思维过程，并逐步强化解题者对问题解决的主体意识。元认知主要通过三种方式来强化解题者的主体意识。①通过元认知知识的导引作用，使解题者能主动审清题意，揭示问题矛盾之所在，使其能主动搜索解题策略；②通过元认知体验的自我启发作用，调动非智力因素的参与，使其能积极超越障碍；③通过元认知的调控作用，来刺激解题者思维模式深层结构的内部运行机制，并通过对解题过程进行自我控制，自我评价，使思维活动成为一种有目的性、可控性的组织活动，这在很大程度上强化了解题者的主体意识，导致问题得以最快、最好的解决。
三、在数学教学中，通过数学问题解决，对学生进行元认知开发的策略
在数学教学中，教师必须强化学生解题的主体意识，使学生有机会去锻炼自己能主动确定解题目标，分析解题任务的能力。使其元认知能力在学生的目标分析和任务调控中得到很好地开发。为此，笔者认为，在数学教学中必须注意以下策略：
1．目标激励和目标强化在数学教学中，教师应当强化学生的目标意识，用目标去激励学生解题的自主性。
在数学问题解决中，首先应当让其明确问题目标，即明确应该达到什么终结状态，然后使学生明确：为了达到问题目标，自己应该做些什么，如果做不到，那么就会失败。这样，通过目标的激励和目标强化，学生就能自觉地确定解题目标，订出解题计划，设计解题策略，调节解题进程。也即有利于学生元认知能力的培养和开发。笔者认为，要对学生进行目标激励和目标强化，必须注意这样几点：①引导学生建构对具体数学问题解决的目标体系，建构目标体系应遵循“小步距”和层次性原则，即将问题解决分成有序的若干阶段，通过对若干阶段的目标构建以及目标实现，一步一步地逼近整个数学问题的解决，使之对数学问题的解决能循序渐进，以便及时通过反馈来调控解题步骤或策略，做到随时失败随时补救，以免功夫白费；②引导学生根据任务或目标状态主动选择有效手段，并使学生意识到，任务或目标不同，采取的手段或策略就不同，让学生学会能主动根据数学问题解决的阶段性去分别选择适宜的手段，致使任务或目标能顺利地完成或达到；③引导学生善于自我评价目标体系，总结解题的经验教训，以便充分利用反馈信息调节以后的解题手段和策略。
2.创设思维场情景，活化问题解决的思维活动所谓创设思维场情景，是指教师必须为学生的思维创造一种良好的内外条件。
其中包括学生所处的内环境（知识经验）和外环境（问题情境），以及内外环境相互作用产生的思维渴求和能力水平。在数学教学中，强调创设思维场情景实际上也就是强调了思维的活跃性、延伸性和发散性；强调了数学问题解决中学生对问题解决路径的搜索性和调控性。因为，问题解决始于问题情境，问题情境的内化则是思维场情景，思维场情景能引领学生解题方向，活化思维活动，有助于发现问题的隐蔽关系，突破解题障碍；更有助于对问题解决进程的反馈和调节。因此，通过创设思维场情景可以激发学生思维的灵活性和迁移性，从而使学生的元认知能力在这种情景中得到有效开发。创设思维场情景的有效策略是创设问题情境。因而，数学教学也就应当是创设问题情境的教学。具体地说，在教学中必须注意这样几点：①创设“小步距”问题情境，注意问题情境的有序性。即创设问题情境要有层次性、分阶段、有步骤地进行，采劝小步距”策略，使之一步一步地逼近整个问题情境的创设；②创设“变式”和“矛盾式”问题情境，注意问题情境的发散性。即创设的问题情景要变式综合，灵活应用，随时揭示矛盾，随时引导学生解决矛盾，让问题情境中充满着矛盾，促使学生主动思维，主动反馈；③创设“精而有效”的问题情境，注意问题情境的策略性。即创设的问题情境应当讲求效益，切忌“泛”而“杂”，应注重其策略性，这有助于学生对策略性知识和手段的掌握；④创设“启发性”问题情境，注意问题情境的延伸性。即通过创设问题情境，使课堂真正地活起来，活跃学生思维，激发学生自求解决问题的积极性、自觉性，强化学生学习的内驱力与动机。
3．构建知识网络，实现认知结构的整体优化
在数学教学中，教师必须沟通教材中知识的内在联系，使知识系统化、深刻化。从不同角度加深对概念的理解，并使新旧知识逐步形成紧密的锁链，比较以“求其异”、“求其同”，形成知识网络，进而从不同角度和方面去激活思维的灵活性、独创性和批判性，发展学生的元认知能力。为此，教师在教学中应遵循“整体----部分----整体”的方法，重视正迁移能力的培养，防止负迁移的干扰。
以较少的道理说明尽可能多的数学现象，减轻教学负担，实现认知结构的整体优化。为此教学中应注重：①认识每单元知识系统的整体结构，理清知识要素间的纵横联系，尤其是隐藏在教材中的概念原理间、字词句段章间的联系规律，分清知识的主干与分支（层次结构）；②启发学生归纳、概括、比较解决问题的方法，学会一题多解和一法多用，达到触类旁通、举一反三；③引导学生独立地建立与发展认知结构，对知识要素比较其“同中之异”、“异中之同”，并积极主动地进行思维。
4．注重教学的及时反馈
关键字：化学教学；问题解决学习；元分析；问题表征
文章编号： 1005–6629(2012)6–0020–04 中图分类号： G633.8 文献标识码： B
从认知心理学家的观点来看，问题解决就是认知操作的一个过程。正如安德森所描述的，问题解决是任何指向目标的认知操作程序[1]。纽厄尔与西蒙从问题的特性出发,将问题解决过程划分为三个主要部分：当前状态、目标状态、从当前状态向目标状态转化所需的一系列操作[2]。由于问题解决过程受许多因素影响，对问题解决的描述和界定也不断丰富。问题解决常被理解为是一种能力、一种教学过程、一个教学目的、一个认知过程、一个创造性活动、一种教学模式、一种教学方式、一种心理活动[3]。
问题解决学习，也称基于问题的学习（problembased learning，PBL）。这种学习方式以问题解决过程为载体，学习者需要学习怎样解决问题，获得解决问题的能力。因此，在问题解决学习过程中，学生需要在特定的学习情境中，解决“真实”的问题，经历解决问题的过程[4]。从这个意义上讲，化学教学中的问题解决学习应是以化学学科的学习作为问题解决的背景，学生探索问题的学与教的过程。
在我国的理科教育的研究中，从学科学习的角度探索问题解决学习是研究的热点之一。在这些研究中，人们对“问题解决学习”的探索，包括在概念的使用和理解、问题解决学习的研究方法和问题解决学习的理论基础等多方面都存在差异。另外，作为理科新课程的主要目标之一，问题解决能力的培养也是一个亟待探究的议题。本研究试图从当前化学教育领域中问题解决学习的研究现状出发，明确问题解决研究的特征，以及可能存在的问题，以进一步深入探索问题解决学习。
1 研究过程
1.1 研究对象
本研究以《化学教学》期刊中关于问题解决学习的论文为研究对象。利用问题、问题解决等关键词筛选近十年所有论文（2000-2010），获得67篇相关论文。
1.2 元分析思路
本研究的元分析进程主要依据认知心理学中对问题解决的一些基本概念，同时兼顾化学教学的学科特征，对论文进行分析和解构。本研究的分析模型由“问题提出和表征”、“问题解决”两个单元组成（见图1）。
图1 本研究的元分析模型
在真实的基于问题解决的学与教的过程中，对于“问题”意义的辨别是尤为重要的。为了明确化学教学中真实的“问题”，本研究将从以下两个方面进行分析：（1）提问者的身份。教师和学生所提出的问题，由于他们所处的问题情境以及话语方式都存在差异，导致“问题”在学习过程中具有不同的意义。（2）问题的表征方式。既考虑学科存在的特性，也考虑不同的问题表征所导致的学生学习状态的变化。问题的有效表征与学生的学习水平[5]、认知方式等都存在着相关。
本研究的分析模型中还包括对“问题解决”模式的确认。要让学生顺利地解决一个问题，就要选择正确的教学策略。同时，不同的心理模型无疑会决定不同的问题解决过程，心理模型往往出现在问题解决过程之前，指导着问题解决的进行。
1.3 统计比较
以元分析微观数据为基础，采用Excel 2003对所得数据进行统计分析，探索化学教学过程中问题解决学习的理论和实践研究的状况，并思考进一步改进的方向。
2 整体分析
对本研究中所收集的全部文献进行整体分析，结果显示有关问题解决学习的文章或内容呈总体上升趋势。特别是在2008年达到峰值，占总量的20.9 %（如表1）。这一现象初步表明，随着新课程的推行，作为理科新课程重要目标的问题解决能力培养得到了更多重视。
表1 各年有关问题解决学习的论文篇数
进一步的分析可以发现，2000至2010年间问题解决学习的研究重点在于问题情境创设、问题解决过程、学习过程和教学策略等方面（如图2）。有关问题情境创设的论文占所有论文的比例为14.19 %，问题解决和学习过程的论文都占16.63 %，教学策略的论文占14.19 %。该结果表明本研究模型中各个主要因素或组成部分都是目前问题解决学习研究关注的焦点，特别是问题情境创设的研究受到了更多的关注。
从文献的总体数据分析来看，大多数研究集中在化学问题解决学习的教学环节中。尽管对问题本身特性的研究以及学习者问题的认知特性等方面还不是很多，但人们也正将目光转向这些方向。为了进一步了解化学教育领域中这类研究的更深层次的特征，本研究在问题的定义和表征以及解决问题的过程两个方面进行了更深入、更具体的分析和探索。
3 问题的定义和表征分析
在问题解决学习过程中，明确“问题”的构成是其首要任务。在本研究所分析的文献中，对问题的定义和表征体现在三个方面：
第一，提出问题者及其问题的特点。根据认知心理学家的观点，问题解决起始于一个问题的表述或已知的初始状态[6]。在实际的学科教学中，教师和学生提出问题的差异在一定程度上决定了问题的起始状态。目前，在理科领域的问题解决学习中的问题强调其真实性[4]。为此，在学习过程中学生提出的问题更能够促成有效的问题解决学习或教学。
然而，传统课堂教学的大班授课制度以及教师的主导地位都限制了学生提问的可能性以及提问的质量。实际上，绝大多数的化学课堂还是以教师提问为主。本研究所选取论文中，有49篇以教师作为问题提出的主导者，有12篇以学生为主导者，有3篇认为应该学生和老师共同讨论，还有2篇未提到提问者。其中，以教师作为问题提出的主导者的研究表明，教师设计问题时要考虑学生认知水平、激发学生兴趣、配合相应的问题情境，目前大多数研究者都比较重视学生对教师设计问题的重要作用。
第二，问题提出的学科情境对问题表征的影响。在教师问题呈现的过程中，问题所处的情境是一个很重要的部分。这里的问题情境是指问题对应的学科情境。创设问题情境是问题解决学习的必要途径，能让学生感受到问题的存在,并进入解决问题的思考状态[7]。涉及问题情境创设的22篇文献主要从四个方面描述：（1）创设问题情境的作用；（2）问题情境的素材；（3）创设问题情境需要满足的条件；（4）创设问题情境的方式。从各自所占比例（见图3）来看，有关创设问题情境需要满足的条件和创设问题情境的方式的研究还较少，需要给予更多的重视。
第三，教师提问的话语方式。教师提问的话语方式也会直接影响学生接受和转换信息的有效性，促使学生对问题进行不同层级的表征。教师的提问方式包括话语内容的科学性以及问题呈现方式的合理性。由于教师对于问题解决理论理解的局限性，目前几乎没有研究涉及这个方面。
4 解决问题过程
学生对问题进行了有效表征，可谓在问题解决学习过程中有了一个好的开始。接下来，就要面临问题解决学习的主体部分——解决问题。问题解决的过程具有复杂性，步骤的不同直接影响着问题能否顺利解决。 在所选论文中，17.39 %的论文要求学生通过设计实验来解决问题，表明目前教师让学生解决问题的方法依然以实验为主，体现了化学的学科特征。17.39%的论文要求学生在解决问题过程中构建自己的知识体系，表明知识体系仍然占据重要地位（如表2）。然而，在解决问题的过程中，对学生元认知的控制以及运用合适思维方式的重视程度还较低。
表2 问题解决学习过程的各个步骤所占的篇数
在问题解决学习的教学过程中，教学策略指导着具体过程[8]，它的作用主要是指导学生如何顺利地解决问题，从而更好地进行教学。在所选取论文中研究的教学策略中主要有以下两类：第一类是指出问题解决的主要过程，即提问、解决、反馈。第二类是用具体的化学习题来解释问题解决过程中可以运用的策略，其中类比、分解、逆推、探究、程序、整体、模型、推理信息、反思这十个策略[9]是比较具代表性的。选取的论文普遍比较重视教授学生和新手教师如何解题，多为教师的经验总结。把问题解决学习过程视为解决练习的过程，而不是教学过程。这与真实的问题解决学习中的启发式教学策略还有较大的区别。
此外，解决问题过程中学习者的心理模型也决定着问题解决。人的心理机制非常复杂，内部因素和外部因素都会对其产生影响[3]。所选取的文章中多数强调学习者的内部思维过程，约有44 %关于思维的文章认为问题解决学习过程中需要学生具有创造性思维。但在理科教学中，学生心理机能的科学性以及外部因素对问题解决的影响也不可忽视。
5 研究结论反思
基于先前分析，可以总结出当前研究的一些特点：第一，问题解决研究的受重视程度正逐步提高，研究重点主要集中于问题情境创设、问题解决过程、学习过程和教学策略等方面。第二，问题主要以教师设计为主，重视问题情境的创设。第三，问题解决过程体现化学学科特征，重视知识体系的构建。
当然，这些研究仍然存在一定局限性，需要后续研究突破。具体表现为：
首先，在化学教学中，大多数的研究者对问题以及问题解决的本质和特性没有给予很准确的定义，有关问题解决学习的理论比较缺乏（如表3），有55.22 %的论文没有明确的理论基础，依据认知心理学和建构主义理论的论文相对较多。看来，研究者所理解的问题解决学习可能还有所偏差。
表3 2000-2010各年论文的理论基础
其次，研究方法不够科学，极少有研究用较为可靠的科学方法来进行研究（如表4）。多数文章都运用了所谓的案例法，表现为在实践中发现规律，利用经验解释问题。归纳出的结果仅为经验之谈，科学性不够，缺乏可迁移性。
表4 2000-2010各年论文的研究方法
最后，关于问题表征、教师的提问话语方式、问题解决心理模式的研究还较少。在结合目前认知领域的研究成果方面还嫌不足，多数停留在教学活动的表面。在问题解决过程、教学策略、教学模式方面的研究较为经验化和应试化，依靠并强化记忆和算法的教与学模式仍然盛行，高水平思维技能找不到生长的土壤[3]，启发式的教学难觅踪影。绝大多数的研究依旧把问题解决的策略简化为做题方式，这与真实的问题解决学相径庭。同时，在自我监控和元认知方面的研究颇为欠缺。
总之，化学学科中问题解决学习研究已不是一个新生事物，但仍然处于萌芽阶段，需要进一步的深入探索。
参考文献：
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[2]张琳瑜.促进问题解决学习CLEs理论研究与实践―以上海世界外国语中学七年级地理课为例[D].上海：上海师范大学，2008.5.
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[4]M.P.德里斯科尔著.王小明译.学习心理学，华东师范大学出版社，2006：340.
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关键词： 高等数学 案例式教学 数学软件
一、引言
高等数学是高等学校的基础学科，高等数学的学习不仅为后继数学和专业课程的学习奠定必要的理论基础，而且培养了学生的抽象思维、逻辑推理能力，并且在培养学生综合利用所学知识分析问题、解决问题的能力，自主学习能力，以及创新意识和创新能力上都具有非常重要的作用。但是一方面由于高等数学学科本身理论性较强，要求学生有严密的逻辑推理能力和很强的运算能力，一直以来给学生一种抽象、深奥的感觉，使得学生害怕学习高等数学。另一方面，学生在学习高等数学的过程中，缺乏运用高等数学解决实际问题的环境，这使他们认为高等数学是脱离实际的，学不好高等数学对他们以后的工作、生活没有任何影响。从而让很多学生失去了对高等数学的学习兴趣。
为了提高学生学习高等数学的学习兴趣，很多专家学者做了大量研究，并且提出了很多教学方式方法。案例式教学法就是其中之一。案例式教学是指在课堂教学中，以实际案例为媒介，将理论教学与实际相结合，培养学生运用理论知识解决实际问题的能力，从而引发学生学习兴趣，并且满足学生身心发展的需求。案例式教学起源于美国哈佛大学情景案例教学课，在经济教学中取得了巨大的成功。在高等数学教学中运用案例式教学法，通过解决实际问题，将抽象的数学理论转化为具体的实际问题，让学生不再觉得数学深奥难懂，克服害怕数学的心理障碍，并且在解决实际问题的过程中，让学生领会到数学理论知识的作用，提高学生的学习兴趣，并培养学生解决实际问题的能力。这样，不仅提高了学生的学习兴趣，而且提高了教师的授课效率。
二、案例式教学理论
案例式教学法应以学生为中心的教学理念为指导。无论是在课前准备教学，课中课堂教学，还是课后巩固练习，都应以满足学生的学习需求和培养学生的思考问题、解决问题的能力为目标。
课前对案例的选取，首先应充分了解学生的学习状况，选取的案例应符合学生学习状况，能被学生接受和认同。其次，应熟悉教材内容，案例的选取应和本节课学习的内容有较好的关联，能体现本次课的教学目标，并且在解决案例过程中能用到本节课所学习的理论知识。再次，案例的选取应和学生所学专业知识相关联，增强学生的认同感。同时也应提醒学生预习课本，了解相关的概念。
上课时，第一步：引导学生理解案例，并提出具有针对性、引导性的问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。第二步：给学生讲解案例中涉及的数学概念及相关理论知识，引导学生将实际问题转换为数学问题。第三步：让学生以小组为单位，互相讨论，在所学到的理论知识的基础上提出问题的解决办法;并让小组之间相互评价解决办法的优劣。在该过程中，教师应恰当引导学生讨论问题的方向，鼓励学生提出解决问题的办法，并尝试解决问题。第四步：在学生相互评价之后，教师应对学生所提出的解题思路和方法做出点评，进行归纳、总结，并给出合理的解决办法。第五步：对案例进行推广，列举类似案例，分析案例解决思路，类比找出共同点，给学生归纳一般化解决类似案例的思路和方法。
课后，给学生提出类似的案例问题，巩固课堂上所学到的理论知识和思想方法。另外，为了提高学生动手能力，引起学生课下研究问题的兴趣，可以让学生借助数学软件Matlab、Mathmatica等辅助计算解决问题。
这样，不仅让学生学会了数学理论知识，而且能灵活用数学知识解决实际问题，从而将理论和实际结合起来，完善课堂教学的实践内容，为学生以后走向工作岗位提供了锻炼机会。
三、具体案例实施
极值和最值，选用案例：一日，走在漓江边上，看着江水滚滚而过，突然想到一个问题：江水的流速是岸边的快还是江中间的快呢？
组织学生测量，得到一组数据：附件1。
建立模型：通过数据拟合得：v=-0.0091x2+1.3603x-0.1839，其中x是到岸边的距离，是水流速度。
问题的转化：要说明水流速度最快的位置，这个问题可以转化为求一元函数的最值问题，进而转化为求一元函数的极值。
引入新知识的讲解：一元函数的极值问题：极值点，驻点，极值点与驻点的关系，求驻点的理论，判断驻点是否为极值点的方法。
给学生进行分组，让他们组内互相讨论，提出解决问题的思路和方法，并小组之间相互评价解决问题的思路和方法，直观感受各自思路方法的优劣。
做点评和归纳总结：对学生提出的解决办法做出评价，综合整理，给出该问题的解决办法。通过函数的导数等于零求出驻点x=75.13151，并判定在此处有极大值v=50.91173。可以得出结论：在河中央，水流速度最快。建议学生利用数学软件辅助计算，解决问题，同时提供数学软件的计算方法（附件2）作为参考。
案例模型的推广：经济学中销售量多少时利润最高，工程中用料最省等实际问题都可以转化为数学中的极值问题进行解决。
课后留给学生思考问题：在经济学中，利润和销量及销售价格有关系，并且销量与销售价格也是有关联，假设一件物品，拥有人数最少为零，拥有人数最多为人人拥有，试探究当拥有量为多少时，利润最高？
这样解决实际生活中的问题，不仅提高了学生的学习兴趣，而且培养了他们实际解决问题的能力。
四、结语
案例式教学时在传统的高等数学教学过程中加入了实际问题的考虑。它不仅能更好地激发学生的学习兴趣，而且能培养学生运用数学解决问题的能力，将数学和他们的专业知识紧密结合在一起，让学生意识到数学在专业课程中的重要作用。通过对实际问题的处理，学生不仅掌握了数学上的解题、计算，而且学会了如何运用数学知识。最后，介绍Matlab等专业数学软件是为了让学生能更方便快捷地解决实际问题，从繁琐的数学计算中解脱出来，让数学更好地为其专业服务。
参考文献：
[1]郑金洲.案例教学指南[M].上海：华东师范大学出版社，2000.1.
[2]张民杰.案例教学法――理论与实务[M].兰州：甘肃文化出版社，2005.9.
[3]郭德红.案例教学：历史、本质和发展趋势[J].高等理科教育，2008（1）：22-24.
[4]段复建.微积分[M].北京：科学出版社，2013.7.
特别感谢桂林理工大学博文管理学院教育教学研究与改革项目（编号为JYJG2013001）及项目负责人何宝珠老师的支持！
附件1：河流测速示意图：
测量数据：
附件2：课堂案例的Matlab计算方法：
clc;clear all
v=xlsread（？qtestdata.xls？q）;
v=v？q;
n=length（v）;
d=0：2：2*n-1;
plot（d，v，？q*？q）
v1=polyfit（d，v，2）;
v2=polyval（v1，d）;
hold;
plot（d，v2）
syms x;
y=v1（1）*x^2+v1（2）*x+v1（3）;
dy=diff（y，x，1）;
x0=solve（dy）;
x0=double（x0）;
ddy=diff（y，x，2）;
ddy_x0=subs（ddy，x，x0）;
if ddy_x0>0
fprintf（？qx=%d.水流最慢：%d？q，x0，subs（y，x，x0））;
elseif ddy_x0<0
fprintf（？qx=%d.水流最快%d？q，x0，subs（y，x，x0））;
如何在课堂教学中培养学生的创新素质是数学课上真正成功的关键，心。数学教学的核心问题是要培养学生发现问题，并想通过自己的能力解决数学问题，培养学生通过独立思考，独立思考，独立解决问题，激发和培养学生的思维能力。在现实生活中，也可以更多，更好的发现问题，以便提取相应的数学问题，这是这项研究的目的。发现问题的能力，尽快培养一个潜在的意识，可以解释为“探索问题的意识，”可以解释为“找到新的东西”的教学和学习过程的能力，是培养创造力的基本途径。发现问题和解决方案应体现的数学思想方法。学生在数学思维的过程中才能真正得到创造性的数学表达式，但也显示了真正的数学教学，数学教育，真正的目的的魅力。
要完成知识的传播，培养学生的思维能力，教学过程是教师的教学设计，如何培养创造性思维，如何成功的教学数学课。面对高中数学教学中，可以从以下几个方面进行。
一、更新教育观念 结构在课堂上，教师应始终坚持以学生为主体，以教师为主导的教学原则，以优化教学效果。
二、要提高教学解决问题的朗诵艺术 在高中数学的审查，因为解决问题的数额较大，甚至要求教师解决问题的活动，举办了生动，有趣，让学生体会到数学的美，陌生和魅力，为辛勤劳动的享受为了成为有效预防精神疲劳，保持解决问题的“好胃口。”我们希望学生从“要我学”变成“我要学”，课堂上要想方设法调动学生学习的积极性，创设情境，激发热情。
三、严谨的治学态度和幽默的教学方法来吸引学生 现在学生的个性很明显，因为他们往往喜欢某位教师，像他这一代类远离。因此，作为教师，我们可以抓住学生的心理特点，捕捉他们的心。整洁写在黑板上，简洁的语言，独特的思维方式，巧妙地引导，非凡的耐心，等，可引起休克学生的心灵。
四、及时关注和了解学习情况 教学的本质，使学生受益，从良好的教学是为了促进更好地学习，让学生学会学习是教学的根本目的。锻炼的课堂，当我们向学生介绍一些微妙的灵丹妙药，尤其是当某些下巴的妙解，有些学生了解表面，但是当他真的失去了他们实际问题的解决找到意识，无从下手。教师在备课谈的设计是非常微妙的问题，无缝的表面，可以完成一个完美的教学，结果这是真的吗？事实上，没有人会失败的经验，教师如果失败，在一些隐蔽自己的思维过程，最有意义，最有启发性的剥夺，学生好评的教师，高超的解决问题的能力，也真正回暖？
五、与同事沟通，教学反思 寻找同事沟通，同事之间和讲座，相当于找到了我们自己的一面镜子，发现自己的长处和短处，扬长避短，你可能会说，与对方很大的进步。作为高中教师相同，相似，面临着类似的知识和能力，因此更容易找到共同的需要，解决教学问题，展开交换彼此良好的效果水平的学生进行教学，因为教学和学习环境。
六、教师要坚持学习，完善自我 符合时代的要求，我们所要做的高中数学教师继续学习，养精蓄锐，自我完善。例如：在学习理论与数学教育，在专业领域的进一步研究，阅读数学教学理论。这将使我们能够更加理性看待自己的教学经验和其他，在更大程度上进行有效的教学决策，以更好地教给学生的目的;也只有这样，才能成为一个合格的人民教师。
关键词： 数学思想方法 高中数学 函数章节 应用策略
在高中数学函数教学中运用数学思想方法，有助于学生构建完善的知识体系，提高学生解决问题的能力。文中根据高中数学教学例题，对高中数学函数教学过程中渗透分类讨论、化归、数形结合等思想，不断提高学生的数学思维能力，为日后学习复杂的知识奠定坚实的基础。
一、数学思想方法的涵义及其重要意义
数学思想方法是指针对某一数学问题的分析及探索过程，形成最佳的解决问题的思想，也为准确、客观分析、解决数学问题提供合理、操作性强的方法。函数是高中数学的主要内容，也是考试的重点。高中数学学习过程中遇到函数的题目，复习时必须有针对性地了解高考常见命题和要点，重点进行复习，做到心中有数。将数学思想方法当做数学基础知识也是新课标提出的，新课标规定在教学过程中，要重视渗透数学思想方法。高中数学函数教学中应用数学思想方法是推进全面素质教育的重要手段。目前，从历年高考的试题来看，高考考试的重点是查看学生对所学知识的灵活应用及准确性。数学科目考查的关键点是学生数学思想方法及解题能力。因此，高中函数教学中应用数学思想方法发挥着重要作用。
二、高中数学函数章节中应用数学思想方法的策略
（一）函数与方程思想的应用
函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间却存在着密切联系，方程f（x）=0的根就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。通过方程进行研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决。反之，许多函数问题也可以用方程的方法解决。
解析：这是一道较典型的函数与方程例题，老师根据数学思想的要求传授学生解题方法，也可以依据这一道例题对其他相关例题的解题方法进行概括性讲授，确保学生遇到这类题目可以快速、准确地找出解题方法。
本例题构造出函数g（x），再借助函数零点的判定定理解题非常容易。这道例题展现出函数与方程的数学思想，实际解题时我们一般会构造一个比较熟悉的模式，从而将不熟悉的问题转化为所熟悉的问题进行思考、解答。另外，我们还可以利用函数的图像和性质，用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，对拓展学生学习的深度和广度具有重要意义。
（二）数形结合思想的应用
数形结合作为数学解题中比较常见的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
解析：数形结合思想是数学教学的重要思想之一，主要包括“以形助数、以数辅形”这两方面的内容，求解几何问题也是研究数形结合的重要手段。同时，在求解方程解的个数及函数零点问题中也能应用。以形助数和以数辅形可以让繁杂的问题变得更直观、形象，增强数学问题的严谨性和规范性。因此，某些问题从数量关系观察无法入手解题时，如果将数量关系转变为图形，运用图形的性质规律更直观地描述数量之间的关系，从而将复杂的问题变得简单。因此，对部分抽象的函数题目，数学教师应正确引导学生运用数形结合的思想方法，使得解题思路峰回路转，变得清晰、简单。
（三）化归思想的应用
化归思想是指将抽象、复杂的数学问题转化成简单、熟知、直观的数学问题，提高解决问题的速度和准确性。函数章节中多数问题的解决都离不开化归思想的应用，其中化归思想是分析、解决问题的基本思想，从而提高学生的数学思维能力。
解析：这一例题解决过程将x0展现出化归的数学思想。化归是一种最基础、最重要的数学思想方法，高中数学老师必须熟悉化归思想，有意识地利用化归思想解决相关的数学问题，并将这种思想渗透到学生的思想意识中，有利于增强学生解决数学问题的应变能力，提高学生的数学思维能力。
（四）分类讨论思想的应用
分类讨论思想就是依据数学对象本质属性的共同点与不同点，把竖向对象划分成多个种类实施求解的一种数学思想。高中数学函数章节教学中使用分类讨论思想方法，有利于学生形成缜密、严谨的思维模式，养成良好的数学品质。解决数学函数问题时，如果无法从整体角度入手解决问题，就可以从局部层面解决多个子问题，从而有效解决整体问题。
分类讨论就是对部分数学问题，当所给出的对象不能展开统一研究时，必须依据数学对象本质属性的特点，把问题对象划分为多个类别，随之逐类展开讨论和研究，从而有效解决问题。高中数学函数教学中，经常根据函数性质、定理、公式的限制展开分类讨论，问题内的变量或包含需要讨论的参数时，必须实施分类讨论。高中数学教学中，必须循序渐进地渗透分类思想，在潜移默化的情况下提高学生数学思维能力和解决问题的能力。
解析：本例题可以借助二次函数图像解决，展现出分类讨论的思想，讨论对称轴x=a与区间[0，2]的位置关系。对复杂的问题进行分类和整合时，分类标准与增设的已知条件相等，完成有效的增设，把大问题转换成小问题，优化解题思路，降低解决问题的难度。分类讨论教学方法要求将各类情况各种结果考虑其中，依次研究各类情况下可能出现的结果。求解不等式、函数和导数是考查分类讨论思想的难点，为确保突出重点，日常教学中必须对学生渗透分类讨论思想方法。
三、结语
高中数学函数章节是整个数学教学的重要部分，对其日后学习高等函数发挥着重要作用。高中数学函数知识涵盖多种数学思想方法，数学思想方法是解决数学问题的钥匙和重要工具，因此数学老师必须对函数实施合理教学，让学生更全面地掌握数学思想方法，从而提高学生的综合思维能力。
参考文献：
关键词：数学建模；《图论》；应用
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）37-0065-03
一、数学建模的基本概念和思想
数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微地观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。
数学建模所利用的方法基本上是方程、分析、统计、运筹、图论等常用数学工具，多数都要用到计算机进行数值计算和做图，有时还用到计算机模拟。因此，在大学《图论》课程教学活动中，教师如果能随时随处将数学建模思想和方法引入到教学内容中，使学生了解《图论》的相关概念、定理产生的历史背景，让学生在学习《图论》时，体会到图论知识与现实问题联系的紧密性以及应用的广泛性，这样才有利于激发学生的学习兴趣，帮助学生对图论知识的理解与吸收。
二、《图论》中的数学建模思想
自18世纪欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究以来，图论得到了深入而广泛的发展，已成为一门应用数学课程，在自然科学、社会科学、机械工程中均有重要的意义。由于《图论》课程概念多、公式复杂、定理难证明和难理解等特点，在一定程度上造成教学难，证明抽象度高，学生难以理解。学生不能真正理解图论思想，更谈不上灵活运用图论知识来解决各种实际问题，从而使学生感到《图论》的学习非常困难与枯燥。虽然《图论》课程中概念、定理比较多，初学者不易掌握，但是图论的概念和定理大多是从实际问题中抽象出来的，所以在教学中注重介绍各种概念和理论的实际背景，引导学生学习图论思想，探究图论的发展规律，从而将更好地帮助学生理解和掌握这些概念和理论。如何从实际问题中抽象出图论的相关理论，数学建模正是联系数学理论与实际的一座桥梁，是数学应用于科学和社会的一个很好的途径，是解决实际问题的强有力的工具。在图论某些定理证明的教学过程中可以适当地融入数学建模的思想与方法，把定理的结论看作一个特定的模型，需要去建立它。于是，当把定理的条件看作是模型的假设，可根据预先设置的问题情景，引导学生发现定理的结论，从而定理证明的方法也随之显现。
例1.设G=（V，E）为任意无向图，V={v1，v2，...，vn}，|E|=m，证明所有顶点的度数和等于2m，并且奇点个数为偶数。
证明该结论之前，首先任意选取若干个学生，让他们随机互相握手，并记下每个人的握手次数和每两人之间握手的次数，由此可得每个人握手次数总和是每两人之间握手次数的2倍，以及握过奇数次手的人数一定是偶数。互动之后介绍该定理称之为握手定理，从互动过程中可以建立定理结论的模型，并且证明的思路也就显而易见了。
三、数学建模提高学生学习《图论》的兴趣和应用意识
由于教学课时的限制，将数学建模的思想方法融入《图论》课程教学时，不能专门地让学生学习建模，只能通过一些简单的模型给学生介绍数学建模的思想及方法。《图论》是现代数学的一个重要分支，在自然科学、社会科学、机械工程中有重要的意义，其求解思想渗透到自然学科的各个领域。图论中的图是由若干个给定的顶点及若干条连接两个顶点的边所构成的图形。这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系：用顶点代表事物，用连接两个顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。这种图提供了一个很自然的数据结构，可以对自然科学和社会科学领域中的许多问题进行恰当的描述或建模。因此，可以通过设计一些与《图论》课程相关的课外建模活动，选择符合学生实际并贴近生活的一些图论问题，启迪学生的论文查阅意识和能力，指导学生阅读相关论文，最后以解题报告或小论文的形式提交他们的结果。
例2.有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。表1中打“√”的是各运动员报名参加的比赛项目。如何安排六个项目的比赛顺序，使得每名运动员都不连续地参加两项比赛。
求解该问题时，可以先选取六名同学模拟一下实际问题，使学生理解该问题的实际背景，根据实际模拟情况，找出一种符合要求的比赛安排。再引导学生探究该问题与图论的联系，确定该问题的图论模型，从而帮助学生寻找解决该问题的答案。在该问题中，若把比赛项目作为研究对象，用点表示，如果两个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的点之间连一条线。如图1：在该图中只要找出一个点的序列，使依次排列的两个点不相邻，即能做到每名运动员不会连续地参加两项比赛。例如A、C、B、F、E、D就是满足要求的一种安排方法。
通过课内外的数学建模思想及方法的渗透，有助于激发学生的创造性思维，唤醒学生进行创造性工作的意识，因为建模本身就是一项创造性思维活动，它不仅有一定的理论性，还有较强的实践性。结合课外数学建模活动的开展，增强学生应用数学的意识，运用所学的图论知识去参与解决实际问题的全过程。训练学生运用图论知识建立数学模型，解决实际问题的技能和技巧，是培养学生应用数学知识解决实际问题的重要途径。同时使学生体会到图论知识与现实问题联系的紧密性以及应用的广泛性，从而激发学生研究数学建模的兴趣，提高他们运用图论知识解决实际问题的能力，充分感受到图论的生机与活力，也进一步深入体会到了学习《图论》的重要性。在建模过程中也充分调动了学生应用图论知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，学生充满了把图论知识和方法应用到实际问题之中去的渴望，使学生对以往数学课程教学中常见的枯燥、难懂、脱离实际的感受得到切实的改变，从而使《图论》课程的教学效果得到了明显提高。
四、结语
《图论》是一门既有趣又有较大难度的课程。传统的以概念、定理为主的教学模式使学生在学习《图论》的过程中感到非常困难与枯燥，很难调动学生学习的积极性，也无法体现该门课程的应用性。在《图论》课程教学中融入数学建模的思想和方法，提高了学生学习《图论》的兴趣。通过数学建模的方法，理论与实际相结合，使得枯燥的图论问题变得通俗易懂，既增强了学生的新奇感，激发了学生的求知欲，又能从中受到启迪，充分调动了学生主动地参与意识和自觉学习的积极性，极大地提高了学生的学习效率，培养了学生应用数学的意识。
参考文献：
[1]王树禾.图论[M].北京：科学出版社，2004.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
关键词：管理类研究生 支持向量机 决策实验教学
自泰勒提出科学管理理论以来，管理学正式确立了其新兴科学的重要地位。以运筹学、统计学、博弈论、进化计算、神经网络、机器学习、证据理论等为代表的数学方法广泛应用到管理建模与管理实践中，组成现代管理方法与技术的管理方法论。
在这些实际问题中，对复杂数据的分类问题及复杂函数估计问题的分析是解决这类问题的重要方面。近几年，学者在复杂数据分类及复杂函数估计问题解决方面作出了重大的贡献，其中支持向量机是近几年解决此类科学问题的重要工具。
支持向量机的理论基础是统计学习理论，主要用于分类及模式识别问题。目前支持向量（回归）机已应用在外贸出口预测、电力负荷预测、农产品的消费市场需求动态预测、投资组合风险预测等方面。由于复杂的函数估计问题和复杂的数据分类问题在经管类研究生研究的问题中普遍存在，因此将支持向量机作为实验工具，培养经管类研究生解决这一类问题的动手能力和研究能力具有重要的现实意义。
一、我校管理类研究生教育现状
目前，我校提出了建设“教学科研型大学”的目标。在这一目标的指引下，如何培养学生的科研能力及创新能力是这一课题的重要问题之一。目前，我校拥有3个博士点、4个一级学科硕士点、27个二级学科硕士点，在校全日制硕士、博士研究生数量超过1000人。随着我校发展，博士点、硕士点、研究生数量稳步上升。研究生逐渐成为一支不可忽略的科研生力军。因此，培育和发展我校研究生的论文写作能力，是加强我校科研能力建设的重要途径之一。
管理学院作为我校培养经济管理人才的学院之一，近年来加大了对学生科研创新能力的培养力度，对经济管理研究生的培养进行了调研，并提出了很多教学改进方法。在这些管理问题中，复杂的分类问题和多元数据非线性回归问题是其中的重要方面，很多决策、预测、评价等问题均可以抽象为以上两种科学问题。支持向量机是近几年用于解决该类问题的一种较流行的工具。因此，本实验教改的实验教案可以为经管类学生深入学习支持向量机及帮助其了解非线性预测方法具有一定的现实意义。经过前期理论知识积累和现场实践经验的总结，对支持向量机应用于实验教学环节进行有益的探索，并从理论与实践角度为培养研究生的研究能力和动手能力提供实验材料。
二、实验设计方法
对于综合设计性实验项目的研究与设计，主要采取了以下课题研究方法：
（1）调查分析法：根据对课题的理解与规划，以各种交流沟通方式对主讲教师进行访谈，有针对性地调查实验教学的基本情况，进而整理与分析现今实验教学环节存在的问题、原因，并在此基础上找到解决问题的思路。此外，对外采用各类调研方式，如学校互联网主页浏览、走访等方式，对其他兄弟院校的实验教学理念和成功经验进行调研与总结。
（2）文献资料法：课题组利用我校教学、科研资源，特别是我校图书馆的图书资源及各类电子网络资源，其中包括维普数据库、CNKI博硕论文全文数据库、超星数字图书馆、EBSCO数据库、Sciendirect、SpringLink数据库等网络数据资料，检索与课题研究问题相关的专著和论文，了解本领域课题研究的最新进展情况，总结、归纳出最新的、具有代表性的实验案例及实验方案。
三、针对专业的实验课题选择
在实验课题的选择上，首先要考虑研究生的不同专业领域和研究方向，其主要来源主要从以下几个方面考虑：
1.人力资源管理方向。针对研究方向偏向于人力资源管理的学生。本项目选取了企业人力资源的预测问题作为其中的一个实验，通过该实验使得此类学生能够建立起支持向量机解决工商管理领域中的一些问题的思路。
2.交通管理类学生。研究方向偏向于交通管理类的学生其研究的领域主要偏向于解决交通管理中的一些实际问题，如交通流量预测。因此，在实验选择中选取交通流量预测问题作为其中的一个实验，通过该实验使得此类学生能够建立起支持向量机解决交通管理领域中的一些问题的思路。
3.管理科学与工程类学生。对于研究方向偏向于管理科学与工程类的学生在实验选择中选取了项目终止决策问题作为其中的两个实验，通过该实验使得此类学生能够建立起支持向量机解决管理决策领域中的一些问题的思路。
4.经济类学生。经济类学生对时间序列地研究要求较高，本项目选取了多维时间序列的外贸出口量预测验，通过该实验使得此类学生建立支持向量机解决多元非线性时间序列领域中的一些问题的思路。
5.信息管理类学生。信息管理类学生较多地研究管理信息系统及决策支持系统，因此本项目选取物业税税基批量评估作为实验项目，该实验实际上是通过支持向量机构建一种专家系统。通过该实验帮助信息管理类学生建立如何利用机器学习方法构建专家系统。
四、问题与对策
在实际实验教学实践过程中，遇到如下问题：（1）我院研究生的研究方向较多，本项目中设计的实验项目无法覆盖到所有研究方向的学生。（2）现有解决分类问题和多元非线性问题的工具较多，本项目设计的实验仅考虑支持向量机一种，对于更高层次的研究要求，例如，对其他模型的比较、模型的鲁棒性、模型的效率等方面有待进一步深入。
针对以上不足，提出如下改进措施：（1）进一步对该实验教学系统的应用领域进行有针对性的扩充和完善，搜集和整理相关资料，本研究设计的6个实验项目在今后的教学实践中还需要进一步的修改和完善。（2）在对模型的比较和更深入的研究方面，学院可进一步开展其他类似工具的教学。对数学基础较好的同学开设一些深度较高的课程，例如神经网络、复杂系统建模、随机过程等，引导他们做更深入的研究。
因为所选取的科研课题是紧密联系实际生活和工作岗位的，所以研究生在以后研究工作中初步建立起解决分类问题和非线性多元回归问题的基础，在遇到此类问题的时候能够立即有一定的解决思路，能够较快地进入研究角色，缩短解决问题的路径和难度。
五、结语
本文针对管理类研究生迫切需要增加非线性回归、分类等分析能力提升的问题，提出一系列支持向量机预测与决策实验教学教改方案。通过实践发现，该方案提升了研究生的分析能力，为他们进一步的研究和打下了基础。
参考文献：
[1]Wisniewski R. Selected Aspects of the Use of Artificial Neural Networks for the Mass Appraisal of Real Estates in Poland[J]. Argumenta oeconomica. 2008，21（2）：125-152.
关键词：数学思想；数学方法；实际应用
中图分类号 O13-4；G642
引言
常常有人觉得学数学知识是无用的，日常生活所需要用的单纯的数学知识虽然有，但和汉语语言比起来少之又少，其实那是他不知道数学学习的核心是什么？数学学习就是学习数学的思想和方法，就像近代数学教学的专家米山国藏老师所说的，纵然有一天，我们把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法将会铭刻在我们的头脑里，长久的活跃在我们现在和未来的日常生活之中。
数学是一门基础学科，留心一下，你会发现它之所以是“基础”，是因为它在我们的生活中随处可见，大到天文地理，小到市场买菜。尤其是一些数学思想方法的应用，如分类讨论思想、数形结合思想等等。
数学思想是指从某些具体的数学认识过程中提升的正确观点，在后继认识活动中被反复应用和证实，带有普遍意义和相对稳定的特征。也就是说，数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学方法是处理数学问题过程中所采用的各种手段、途径和方式。因此数学思想不同于数学方法。尽管人们常把数学思想与数学方法合为一体，称之为“数学思想方法”，这不过是二者关系密切，有时不易区分开来。事实上，方法是实现思想的手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现。严格说来，思想是理论性的；方法是实践性的，是理论用于实践的中介，方法要以思想为依据，在思想理论的指导下实施。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系，一般说来，讲数学思想方法时若强调的是指导思想，则指数学思想；强调的是操作过程，则指数学方法；当二者得兼、难于区分时就不作区分，统称为“数学思想方法”。实际上，通常谈及思想时也蕴含着相应的方法，谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.本文主要列举一些常见的数学思想方法：转换思想；分类讨论思想；数形结合思想；类比思想，并讨论这些数学思想方法在现实生活中的实际应用。
一、转换思想
转换思想又称转化或化归思想，是一种把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求的原问题解答的数学思想。也是
反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。
阿普顿是美国普林斯顿大学数学系毕业的高材生，对没有大学文凭的爱迪生有点瞧不起。有一次，爱迪生让他测算一只梨形灯泡的容积。他拿起灯泡，测出了它的直径高度，然后加以计算。但是灯泡不具有规则形状：它像球形，又不像球形；像圆柱体，又不像圆柱体。计算很复杂。即使是近似处理也很繁琐。他画了草图，在好几张白纸上写满了密密麻麻的数据算式，也没有算出来。爱迪生等了很长时间，也不见阿普顿报告结果。他走过来一看，便忍不住笑出了声，“你还是换种方法吧！”只见爱迪生取来一杯水，轻轻地往阿普顿刚才反复测算的灯泡里倒满了水，然后把水倒进量筒，几秒种就测出了水的体积，当然也就算出了灯泡的容积。这时羞红了脸的阿普顿傻呆呆地站在一旁，恨不得找条地缝钻下去。这个故事中爱迪生将灯泡的体积转化成水的体积，正是用到了转化思想。
再如，一个人考试不好伤心，我们要让他开心起来。问题首先转换成让他的学习成绩提高，再转换成改变他的学习方法。这样问题就逐一解决了。通过影子测量大树高度，我国古代曹冲称象的故事，都是转化思想的一个体现。
匈牙利著名数学家路莎.彼得曾经说过这样一句话：“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转变成能够得到解决的问题。”转化思想的重要性由此可见。所以只要我们用心观察，善于思考，不仅能灵活的运用转化思想解决有关的实际问题，说不定还能有伟大的发现。
二、分类讨论思想
由于研究对象不同，影响了研究问题的结果，从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想。分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决。
分类讨论思想在生活中经常用到，比如，在工作中，假设你所在的公司本月销售业绩下降，怎样改变这种现状，用分类讨论的方法，将公司经营的各个部门环节分解（生产、销售、售后、成本、销售价格、费用等等），再逐个讨论，找出问题的根本后加以解决。 生活中，比如你跟家人闹了点矛盾，你可以分解为（观念、角度、主客观思想、事件原因等等很多），然后去慢慢化解。
分类讨论是解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题的方法，这时需要把问题划分为几种可能性，然后针对每一种出现的可能性给出不同的解答。一个常见的问题“一张桌子砍掉一个角后还有几个角？”这个问题的答案可以很多，因为问题描述的不清楚。要解决这个问题，我们先要假设一下，这个桌子是圆形的还是方形的或者是五边形的，那你就可以分情况讨论了，情况一：圆形的；情况二：多边形的；情况三：不确定形状的；然后针对每一种情况给出解答。假设这个桌子是第二种情况，我们还要讨论“砍掉一个角”究竟是如何砍的，砍法不同，留下的桌子的角数也不同，比如，正方形的桌子，砍掉一个角就有可能出现三个角，四个角，五个角三种可能性。考虑问题要全面，针对不同的情况给出不同的解决方法，这里用到了分类讨论。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
三、数形结合思想
数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，实现抽象概念形象化。同时，通过对图形的认识、数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形性质问题进行讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系问题来研究。
随着数学科学的发展，数形结合思想在人类的日常生活中有着非常广泛的应用，由于我们能够对几何形体进行度量，所以数形结合思想一个经常、且直接的用途在于家具设计。各种材料如何选取、搭配、组合在一起使用才更合理，各种线性材料的购置的量，可通过测量其长度来决定，借助它我们可以衡量和把握家具的外观形式，从而达到；房子装修中，各种表面，如地面、墙面的装饰材料，要测量计算面积确定用料多少；各种容器的制作，不论其形状如何，都要通过计算其体积来了解容器能装多少东西。再如做蛋糕的厨师要估量各种形状的蛋糕中每种配料的适当体积，这样才能保证所制的产品既不使材料不够用，又恰好做出所需成品物理学、化学、建筑学、矿物学等领域，经常要计算各种物体的质量，在计算质量时必须先计算其体积的大小。都要用到数形结合的思想。
举世闻名的完美建筑古希腊帕提依神庙，建筑师们发现由于高和宽的比是0.618，按照这样的比例进行建筑设计，建筑物会更加壮观舒适。古希腊维纳斯女塑像故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，演奏出的音调更为和谐和悦耳。甚至生活中写字台的桌面、墙上的挂历、信封、舞台报幕员站立的位置等为了达到最佳效果都取黄金分割比，这也是数形结合思想的重要体现。
运用数形结合思想解决实际问题可以使问题变得更加简洁明了，同时大大拓展了我们的解题思路，而且还能体现数学之美。
四、类比思想
类比法就是根据两种不同的数学对象之间在某方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为基础的一种从特殊到一般的推理方法。这是一种或然性推理，其结论是否正确还需要经过严格的证明；这种推理和归纳一样，属于合情推理。
类比法在导游员对游客介绍眼前景物时用的较多，如：导游员在实际讲解中，针对不同国家的游客，可将北京的王府井大街比作日本东京的银座、美国纽约的第五大街、法国巴黎的香榭丽舍大街；把上海的城隍庙比作日本东京的浅草；参观苏州时，可将其比作“东方威尼斯”（马可波罗将苏州称为“东方威尼斯”）；讲到梁山伯与祝英台或《白蛇传》中的许仙和白娘子的故事时，可将其比作中国的罗密欧与朱丽叶。再如：介绍说故宫建成于明永乐十八年，外国游客听了效果不会好，因为一般不会有几个外国游客知道这究竟是哪一年。 但是若介绍说在哥伦布发现新大陆前 72年，莎士比亚诞生前144年，中国人就建成了面前的宏伟建筑群。这种类比介绍不仅便于外国游客记住故宫的修建年代，留下深刻印象，还会使外国游客产生中国人了不起、中华文明历史悠久的感觉。
类比法就是以熟喻生，达到类比旁通的手法。导游员用游客熟悉的事物与眼前的景物相比较，定会使游客感到亲切和便于理解，达到事半功倍的效果。使用类比法，切忌作不相宜的比较，否则会惹游客耻笑。
又比如我们在给初中学生讲解有关正午太阳高度和日影的朝向问题，学生就很难理解，如果将太阳比作成路灯，就达到了一定的简单化作用，离路灯近看灯角度就大，影子就短，人影在灯光的反方向，再参照太阳直射点运动的规律，学生理解这个问题就不是那么难了。
利用类比推理与联想，可开阔思路，启迪思维，起到由此及彼、触类旁通的作用。如果能从生产实践中挖掘出特定的生活经验，在数学课中引入类比数学思想方法，那么学生会因为感性知识的丰富而促进对数学思想方法的理解，从而大大降低学习难度，增强学生学习数学的积极性。
五、结束语
在我们解决日常生活、学习、工作中的各种实际问题的过程，体现了应用数学知识解决问题的基本策略。它不仅包括数、式的运算，还包括推理、分析、判断、选择、估算、统计、绘制图表、数据分析、及空间与图形、优化方案等诸多方面。如设计活动方案过程中考虑的乘车路线的选择、时间安排、人员分配、资金运用等，都蕴涵着丰富的数学思想和方法，这些都离不开数学在日常生活中的应用。它在提高人的推理能力、抽象能力、想像能力和创造能力等方面有着独特的作用。数学思想方法又是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言已经成为现代文明的重要组成部分，是我们生活、劳动和学习必不可少的具， 因此，我们在数学教学中也要注意使学生树立正确的数学应用观，教学中，也要把数学思想方法渗透于教学的各个环节之中，生活无处不推理，无处不类比，不猜想，无处不在运用着数学思想，让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法，形成科学的思维习惯，并具有自觉、主动地应用数学思想方法的意识。（让他们在成长的过程中，形成数学思想方法，产生数学生活能力，能够运用数学的思想方法，数学的能力在这个社会中生存。）
总之，数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代社会的文明。它对人不但具有即时价值，更具有延时价值 ，使人受益终身。
参考文献
[1]吴炯圻，林培榕.数学思想方法：创新与应用能力的培养（第2版）[M].厦门：厦门大学出版社，2009.
[2]朱文芳.数形结合思想在生活中的应用[J].福建教育，2003（07B）.
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[6]李继超.浅谈数学思想方法在数学教学中的渗透[J].数学教学研究，2010（10）.
作者简介：张红梅（1979—），女，陕西宝鸡人，安庆师范学院数学与计算科学学院， 讲师，硕士。研究方向：高等数学，偏微分方程数值解。
项目简介：安庆师范学院校青年科研基金项目（批准号：KJ201108），安徽省教育厅教研项目（2012jyxm364）。
关键词：案例教学；新疆；少数民族学生；食品营养学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）32-0067-02
食品营养学（food nutrition）主要研究食物、营养与人体生长发育和健康的关系，以及提高食品营养价值的措施[1]，主要研究人体营养规律及其改善措施的科学，内容包括营养学基础，各类食物的营养价值、不同人群营养、营养与疾病、社区营养等；具有很强的科学性、社会性和应用性，与国计民生的关系密切，它对于居民改善营养、预防疾病、增强体质、提高健康水平等方面有重要意义。本课程的教学不仅要让学生掌握食品营养学的基础理论知识以及实际的应用能力，还要深入理解食物、营养与人体健康的关系，更重要的是让学生具备较强的自主学习能力、独立分析能力、解决问题的能力，并合理利用食物资源，改善人民营养。
新疆是我国少数民族主要聚居地之一，根据全国第六次人口普查数据显示，新疆少数民族人口数量为12985821人，占全疆总人口的59.52%。由于新疆民族地区经济发展水平相对较低，教育水平相对落后，尤其是偏远地区受教育条件的限制，师资力量匮乏，教学水平不高，导致少数民族学生的基础文化知识薄弱，另外，汉语的熟练程度也是影响他们学习适应的重要因素。所以新疆少数民族学生有强烈的求知欲，但基础相对薄弱，语言不够熟练，文化背景差异等是新疆少数民族大学生普遍存在的特点[3]。新疆少数民族的饮食文化资源，积淀厚重、种类多样、特色鲜明，是我国饮食文化体系中不可或缺的组成部分，如何将食品营养学基础知识与新疆少数民族饮食文化结合起来，调动起民族学生的积极性，是讲好少数民族学生食品营养学课程的关键所在。
案例教学法（case-based teaching）起源于1920年，由美国哈佛商学院所倡导，是一种以案例为基础的教学法。案例教学法有以下的主要特点。首先，有明确的目的性，目的在于突出经典案例，有针对性地对学生的阅读、分析、讨论等能力进行培养，从而让学生掌握熟练的严密的逻辑思维，以此来提高学生的能力。其次，有客观真实性，客观真实性主要表现在所有的案例讲述都必须是真实的，所以学生结论也需要总结得很真实。第三，较强的综合性。原因有二：一是案例较之一般的举例内涵丰富，二是案例的分析、解决过程也较为复杂。学生在具有扎实的理论知识的同时，还必须要能根据不同环境、情况下迅速作出反应及决策。第四，深刻的启发性。案例教学是一门辩证的学科，其目的在于启发学生自主思索能力，启发学生建立一套科学的、解决问题的思维方式。第五，突出实践性。校园在传播知识的同时，也给予学生接触社会的机会，学生在解决遇到的问题的同时，自然要运用理论来解决实际问题，从而提高能力。教师于教学中扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生积极参与讨论，是一种相当有效的教学模式，即指由教师选出专业实践中的典型案例后，组织学生分析和讨论，提出解决问题策略的教学方法。案例教学法的核心就是注重理论联系实际，通过具体的案例分析来加深学生对理论知识的理解与运用，丰富课堂内涵，激发教、学双方的活力和效率。
案例教学法的基本步骤是：（1）教师提出典型案例，学员查阅相关资料和刊物，搜集信息，积极思索，提出解决问题的初步方案。（2）分配学习讨论小组、讨论地点等。（3）集中讨论，各个小组派出自己的代表，发表本小组对于案例的分析和处理意见，发言之后小组内成员要接受其他小组成员的讯问并做出解释。重点讨论意见比较集中的问题及处理方式，提出合理解决方案。（4）小组总结，总结规律和经验，也可以是获取这种知识和经验的方式。
首先，案例的内容应具有目的性、真实性、典型性，具有可讨论性、启发性。所选案例不但要符合教学目标，而且还应是教师自己能把握、学生易于认同和接受的，最好来源于新疆少数民族生活实际，案例涉及内容相对集中，一般没有唯一或固定的答案，可以引起争论，激发学生多角度，深层次分析解决问题的能力等，如在学习营养与人体健康关系时，可举新疆抓饭的例子，通过分析抓饭的组成与营养来指出新疆少数民族饮食与血脂的关系，进而分析少数民族群众长寿等关系。教学开始前1～2周，把案例布置给学生，并提供相应一些参考书目、文献等，让学生有充裕的时间完成对与案例相关基础知识的了解和掌握，只有在此基础上，学生才能够对案例进行深入的分析，并提出自己的观点。
其次，分配学习小组，根据学生对案例的兴趣大小、汉语熟练程度、查阅文献的能力等分组，如在学习能量或膳食宝塔这一部分内容时，可以将新疆馕作为主食案例，分析目前新疆馕产品品种、生产方式和营养关系等，将学生3～6人分成小组，组内分工明确，分配讨论地点，以小组为单位，围绕案例基本素材，梳理案件背景信息，通过独立思考，组内讨论交流，就案例提出的问题进行分析、讨论和小结，通过兴趣案例培养学生解决问题的思路和方案。
再次，集中讨论，交流案例，如在学习各类食物营养价值时，可以将新疆各民族特色饮食作为教学案例，全班各个民族小组代表发言提出解决问题的思路及方案，其他人员可对其观点提出质疑并得到合理解释。集中讨论是学生参与表达、质疑，澄清理解误区，巩固所学知识的重要机会。在集中讨论时，每个小组都要做到有备而来，既要善于倾听，又要勇于质疑。教师应注重创造良好的交流气氛及环境，并以参与者的身份发言，勿以权威自居。
最后，在充分交流的基础上达成共识。教师对各小组的解决方案做出恰如其分的评价和总结，并及时纠正学生在该问题上的知识误区，补充知识盲点，尤其是指出新疆民族特色饮食的科学性与不足之外，帮助学生分析其深层次原因，将整个知识体系简明扼要地概述清楚，鼓励和赞扬学生提出的新问题、新见解、新观点，激发学生继续对该案例探索的热情。
案例教学的体会：通过案例教学把食品营养学的理论知识与少数民族学生现实生活相结合，使课堂教学变得生动、形象、活泼，把传统的“以教为主”的教学模式转变成“以学生为中心”的启发式思考实践模式，同时将学生被动听课变为主动参与、自然地融入角色，并将自己所学的知识综合、分析、讨论。案例教学法并不是一个固化的教学模式，仍然由教师主导整个教学过程，将学习的主动权还给学生，由学生自己去发现问题、分析问题，并提出解决问题的方案。
参考文献：
[1]孙远明.食品营养学[M].北京：中国农业大学出版社，2010.
[2]马正亮.我国少数民族人口发展状况分析[J].贵州大学学报（社会科学版），2013，2（31）：80-89.
[3]孟琪，张燕飞.新疆高校少数民族学生特点及管理工作探析[J].科技信息，2013，（20）.
[4]张焕新，张伟.案例教学法在《食品营养与卫生》课程教学中的实践[J].科技创新导报，2012，（28）：225.
基金项目：塔里木大学高教研究项目“《食品营养学》课程创新实践教学研究，（TDGJ1312）”，塔里木大学“农产品加工及贮藏工程重点扶持学科”支持。
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