【关键词】 反证法；高中数学解题；适用范围；求解实例
我们都知道，反证法是数学中应用较为常见的方法之一，尤其是在高中数学中应用更是广泛. 数学的求解问题中，有些题目，用正面方法进行直接求解通常难度较大且费时，让我们证明或者是求解时感到比较困难，在有限的考试时间内很不划算. 而采用反证法则很容易解决. 然而，高中教材中缺乏针对反证法原理的相关介绍和总结，现将做题中经常遇到的反证法进行归纳和阐述.
一、反证法基本概述
反证法又称背理法，是求解数学问题的一种常用论证方法.其基本原理为：首先假设原命题的反命题是正确的，并将假设条件作为求解和推理的基础，再根据已知的公式、定理和定义以及原题中的已知条件进行逻辑推理和运算，以推出假设与逻辑的矛盾，从而肯定原命题的正确性.
通常，在棋类比赛中，有一种“弃子取势”的下棋策略，意思为：以牺牲某些棋子为代价，从而以获取优势. 科学家哈代曾说，背理法是远远优胜和高超于任何一种棋术的策略. 即使棋手牺牲几个棋子可能不会影响比赛结果，而数学家可以牺牲的是整个一盘棋. 反证法和其相似，都是一种为了巧妙取胜的最了不起的策略.
反证法即是要在假设命题的基础上进行推理认证，推出矛盾，假设，从而证明原命题的正确. 通常有以下几种较为明显的矛盾：
（1）自相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与题中所给条件相矛盾；（4）与定理、公式相矛盾；（5）与事实相矛盾.
二、反证法的理论基础
反证法是以人的逻辑思维为依据的求解数学问题的方法. 反证法的理论基础是逻辑思维规律中的两大规律，即“矛盾律”和“排中律”. 这也间接说明了反证法是科学可信的.
排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而没有其他可能性，也不具备其他属性. 排中律在一定程度上揭示了思维的规律，即通常来讲，一个命题要么为真，要么为假，而无其他可能性. 其用符号表示为：P∨ .
矛盾律：矛盾律又称不矛盾律，是表示同一个目标不能同时得出两个矛盾的判断，换句话来讲就是，同一个命题不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某种程度上揭示了事物活动的规律性定律. 矛盾律用符号表示为：P∧ .
三、反证法解题一般步骤
反证法的一般步骤是如下：
首先，仔细审题，从题目中找出命题的条件和结论；
其次，将原命题进行否定转换，将题目中原有的条件和结论作为进一步推理的基础；
再次，从假设出发，运用课本中的定义、定理、公式以及题目中的条件，再加以逻辑推理，证明出与假设相矛盾的结论；
最后，肯定题目原有结论的正确性.
反证法的根本目标题设原有命题的不正确，通过命题的否定转换，并在否定转换的基础上运用公式、定理等条件进行矛盾揭露，使矛盾显化，从而证明原有结论的正确.
四、反证法的应用范围
高中数学中反证法应用范围十分广泛，但是课本上并未说明哪些题型适用用反证法，哪些题型该用反证法实际上并无特别规律可循，原则上来讲，因题而异，反证法的目标是简便解题步骤，缩短解题时间，实现巧解、便解的目的. 当所给题目下面求解困难，或者正面求解步骤较多时，就当考虑使用反证法来求解. 本文列举应用反证法求解的几个常见安全来具体说明反证法的应用.
（一）否定性命题的证明
如题目结论出现“没有...”、“不是...”、“不能”等字样的时候，通常正面直接证明不易入手，可以使用反证法来证明.
例：证明：同一个三角形中不能同时出现两个钝角.
已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角
求证：三个内角中不能同时存在两个钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C三个内角中有两个内角为钝角，不妨假设∠B > 90°，∠C > 90°，则∠B + ∠C > 180°，显然与三角形的内角等于180°相矛盾，因而，假设不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同时存在有两个钝角存在.
（二）唯一性命题的证明
通常在几何图形中要证明符合条件的图形有且只有一个时，即要求证明几何图形的“唯一性”，此类命题使用反证法证明更简单.
例：证明：一个圆只有一个圆心.
分析：此命题为唯一性命题，可用反证法证明.
证明：假设此圆有两个圆心A和B，在圆内任意作一条弦CD，并取CD的中点M，连接OM、AM，则OM、CD、AM、CD，过直线CD上的一点M有OM和AM两条直线与其垂直，这与经过一点有且只有一条直线与已知直线相垂直的结论相悖，故假设不成立，也即证明了一个圆只有一个圆心的命题是成立的.
（三）必然性命题的证明
必然性的命题通常是结论中带有“必然”字样，求解过程中应通过肯定结论，将原命题的肯定转化为否定的假设，运用一定的定理和定义找出矛盾，假设，从而证明命题的必然性.
例：已知：a、b、c同为正整数，a为质数，且满足a2 + b2 = c2.
求证：b、c两数必然一奇一偶.
分析：可假设两数同为奇数或者同为偶数，看是否满足等式，如若不满足等式即可假设，证明原命题的正确性.
证明：假设b、c两数同为奇或者同为偶数，由a2 + b2 = c2可知，（c + b）（c - b） = a2，由于b、c两数同为奇或者同为偶数，两者的加减运算也同为奇或同为偶，那么a2一定为偶数，且a也为偶数. 但是题目中已知a2为质数，与题设相矛盾，故假设不成立，原命题正确.
此外，还可给已知变量设定值. 假设a = 2，则（c + b）（c - d） = 4，因此有c + b = 4，c - b = 1，即b = ，c = ，或者c + b = 2，c - b = 2，即b = 0，c = 2，这与原命题中a、b同为正整数相矛盾，故b、c两数为一奇数、一偶数.
（四）无限性命题的证明
例：证明 为无理数.
分析：由于题目所提供的信息较少，如若从正面直接求解较为困难，解题思路可以从假设 是有理数开始，这也使得题目的信息量加大了，可以考虑将 表示成分数.
证明：假设 是有理数，且存在实数a、b，且a、b互为质数，使得 = ，即a2 = 8b2，故a为偶数，记为 a = 2L，故a2=4L2，b2 = 2L2，则b也为偶数，这与假设a、b互为质数相矛盾，故假设不成立，即 非有理数，而是有理数.
（五）不等式命题的证明
证明不等式是高中数学中常见的题型，特别是不等式的求解和计算，在历届高考中都会有大题出现. 反证法也是解不等式中常用的方法之一，通常情况下，解不等式的问题可以用到“对比法”、“分析法”和“综合法”，也有些正面直接求解较为困难的题目，这时就要用到反证法求解，可以简化求解过程，提高求解效率，使问题得到快速解答.
例：已知：m、n > 0，求证：m3 + n3 > m2n + mn2
证明：假设m3 + n3 < m2n + mn2
证明：由于m、n > 0，由此可以推出m3 + n3 < mn（m + n），由此可知（m + n）（m2 - mn + n2） < mn（m + n），即（m2 - mn + n2） < mn，故m2 + n2 < 2mn. 又因为与m、n > 0，m2 + n2 > 2mn相矛盾，故假设不成立，即证明了 m3 + n3 > m2n + mn2.
不等式问题的求解方法有很多种，形式也不尽相同，反证法与其他诸如分析法和综合法等其他方法一道，丰富了不等式的求解方法，求解优化了不等式的求解过程，多运用反证法、分析法和综合法求解不等式问题，可以扩展思路，提升求解能力.
五、反证法巧解的具体案例分析
（一）案例1――公式有改动
若下列方程：①x2 + ax - a + 3 = 0；② x2 + a - 1 + a2 = 0；③ x2 + ax + a = 0，三个方程中至少一个方程有实根，求a的取值范围.
解析：由题可知，三个方程中至少有一个方程有实根有三种情况：其一，①有实根，②③无实根；其二，②有实根，①③无实根；其三，③有实根，①②无实根；正面直接解答不仅烦琐复杂效率低，还易出错，尤其在考试中，正面解答很浪费时间. 而通过反证法则容易得多，我们只需要求得“三个方程都无实根”中a值的取值范围，并将所得的取值范围取补集，就是题目中要求的取值范围.
设三个方程全无实根，则Δ1 = a2 - 4（3 - a） < 0Δ2= a - 12 - a2 < 0Δ3 = a2 - 4a < 0，求得-6 < a < 2，a > 1，0 < a < 4解得1 < a < 2，再求补集，该范围的补集为a ≥ 2或a ≤ 1.
因此，当a ≥ 2或a ≤ 1时，题目所给的三个方程满足至少有一个方程有实根.
（二）案例2
如图所示，已知O是圆锥的底面圆心，SA、SB是圆锥的两条母线，C点是直线SB上的任意一点，求证：直线AC与平面SOB不垂直.
解析：为证明直线AC与平面SOB不垂直，可由反证法来求解. 先假设AC与平面SOB垂直，再证明假设的不成立，即矛盾性，间接证明AC直线与SOB平面不垂直.
解：假设ACSOB面，由于SO底面ABO，且SO在平面SOB内，故SOB面底面ABO，因而AC∥底面ABO，显然，AC与底面ABO相交不垂直，因而假设不成立，直线AC与平面SOB不垂直.
（三）案例3
已知x，y∈[0，1]，证明：对于m，n∈R，存在满足条件的x，y，使得|xy - m - yn| ≥ 成立.
分析 此类问题主要是探讨存在性问题，可使用反证法求解.
证明：假设x，y∈[0，1]对于任意的x，y都成立时满足|xy - m - yn| ≤ . 令x = 1，y = 0，则由此可以得到，|m| < ；再令x = m，y = 1，可得出|y| < 成立；然后令x = 1，y = 1，则能够得出|1 - m - n| < 成立. 但是由于|1 - m - n| ≥ 1 - |m| - |n| > 1 - - = ，产生了矛盾，因此，假设不成立，原命题是正确的.
（四）案例4
求证：两条相交直线有且只有一个交点.
证明：假设两条相交直线交点多于一个，则至少有两个交点，这样过两点就可以做两条直线，这与公理：过两点有且只有一条直线相矛盾，因而假设错误，从而证明了原命题两条直线相交有且只有一个交点的正确性.
一、“反证法”在初中教材中的解读
“反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设归谬存真”。
八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。
由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。
二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力
数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。
（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤
初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。
例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。
第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。
第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果。那么这两个（或三个）钝角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，
第三步，存真――假设，说明假设不成立，原命题成立。所以假设不成立，所以“一个三角形中最多有一个钝角”。
关键词：中职数学；解题方法
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】C
【文章编号】1671-8437(2012)01-0022-01
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的几种解题方法，都是中学数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都会经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题过程中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项、添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题变得容易解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b、c∈R，a≠0)根的判别式=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数的运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个根的和与积，求这两个根等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等方面，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式。最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法：反证法是一种间接证明方法，首先要提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到论证原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是／不是；存在／不存在；平行于／不平行于；垂直于／不垂直于；等于／不等于；大(小)于／不大(小)于；都是／不都是；至少有一个／一个也没有；至少有n个／至多有(n－1)个：至多有一个／至少有两个；唯一／至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设条件出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设条件矛盾；自相矛盾。
8、等(面或体)积法：平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积(体积)，而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法，称为等(面或体)积法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等(面或体)积法的特点是将已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用等(面或体)积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线。即使需要添置辅助线，也很容易想到。
9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单的问题从而简单的得以解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
10、客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识的覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生有猜估答案的情况发生。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
关键词：初中数学教学；反例教学；作用
数学是一门有着自己独特的思维特点和逻辑推理体系的严密科学，所以学生不能只直观地理解它。在教学中，教师在指导学生掌握数学严密的逻辑推理的同时，还需要教授学生掌握逆向思维的学习方法――反例。
一、反例在初中数学教学中的作用
举反例是一种简便、实效并极富科学性的方法，在有关数学概念的教学中，反例方法的恰当运用不仅可以帮助学生深刻理解基础知识，还可以培养学生灵活、缜密和创新的思维，所以反例教学在数学教学中具有重要的地位。
首先，反例作为公式教学和强化数学概念的有力工具，可以帮助学生对数学基础知识有深刻掌握，并在一定程度上提高学生的数学修养、培养学生的科学研究能力。其次，反例教学可以培养学生勇于探索、敢于质疑的数学品质。用反例，可以帮助学生消除思维的定式所造成的错觉，如果在做题时千方百计从正面论证却没有结果，就可以试着从反方向入手来论证。所以教师要充分挖掘反例的功能，帮助学生在发散思维的能力和创造能力两方面都有所提升。再次，利用反例可使学生对错解的辨析能力加强。
二、数学课堂教学中反例的具体运用
1.加强知识的理解
对于容易混淆的知识点，学生靠自己是无法彻底分清楚的。这时就需要教师在平时作业或者批改试卷的时候及时发现并整理出来，然后将大部分学生的错题当成反例，在课堂上强调。对于那些模糊的概念，教师也需要运用反例来帮助学生理解。
2.巩固所学的知识点
数学知识是连续记忆的过程，需要不断巩固。例如，在对一元一次方程的学习中，教师可以举出几个反例让学生判断，这样不仅节约了课堂时间，也达到了巩固的目的，还使原本单一的学习过程变得有趣。
3.证明命题的正确性
作为一种重要的解题思路，反例法最大的优势是只要能找出一个反例就能证明命题是否正确。比如，题目要求证明一种说法是否成立，此时若从正面证明就显得复杂，若利用反例来证明，只要举出一个就可以很轻松地解决问题。
4.通过反例预防错误的出现
犯错误是初中生在数学学习中不可避免的，教师可以帮助学生做记录并总结好。当教师归纳出学生易出现的错误之后，就可以通过反例法有针对性地详细讲解那些容易出现的错误，加深学生印象的同时也降低再次犯错的几率。
摘要：思维定式在数学学习中有它积极的一面，同时也具有消极因素的一面. 本文通过6个例子浅谈在高三数学教学中如何突破思维定式和培养逆向思维.
关键词：思维定势；逆向思维；反证法
思维定式在数学学习中有它积极的一面，因为定式思维作为人们的一种基本思维形式，在形成中学生理性思维中发挥着独特的作用，但它同时具有消极因素的一面也不容忽视. 笔者从另外一个角度出发，浅谈自己在高三数学教学中破除思维定式消极的因素和培养学生逆向思维的一些体会.
例1 （2005上海）对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），
规定函数h（x）=f（x）g（x），当x∈Df且x∈Dg，
f（x），当x∈Df且x∉Dg，
g（x），当x∉Df且x∈Dg.
（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈［0，π］，请设计一个定义域是R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明.
解析第（1）小题和第（2）小题的答案分别是
（1）h（x）=
，x∈（－∞，1）∪（1，+∞），
1，x=1；
（2）函数h（x）的值域是（－∞，0］∪{1}∪［4，+∞）. 下面仅解第（3）小题.
解法1令f（x）=sin2x+cos2x，α=，
则g（x）=f（x+α）=sin2x+
+cos2x+
=cos2x－sin2x，
于是h（x）=f（x）・f（x+α）=（sin2x+cos2x）・（cos2x－sin2x）=cos4x.
解法2令f（x）=1+sin2x，α=，
则g（x）=f（x+α）=1+sin2x+
=1－sin2x，
于是h（x）=f（x）・f（x+α）=（1+sin2x）・（1－sin2x）=cos4x.
点评第（3）小题虽然不算很难，但高考失分率却很高. 主要的原因就是受思维定式的影响，在平时练习时学生们习惯正面使用三角函数中的二倍角公式cos4x=1－2sin22x=2cos22x－1=cos22x－sin22x，而不会逆向使用公式. 其实，若从反面思考，逆向使用公式，1－2sin22x=2cos22x－1=cos22x－sin22x=cos4x，再因式分解，则有cos4x=（1+sin2x）（1－sin2x）=（cos2x+1）（cos2x－1）=（sin2x+cos2x）（cos2x－sin2x）. 这时，我们就不难构造出类似的较多的函数，从而解决此题.
例2 判定如下命题的真假：在ABC中，若acosB=bcosA，则ABC为直角三角形或等腰三角形.
解析该命题为真命题.
在上课时，笔者要求学生们进一步写出这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定这些命题的真假. 学生们一开始很不重视，认为这是一件很简单的事，不料在写否命题和逆否命题时马上就感到束手无策了. 一部分学生们的答案是逆否命题为“若ABC不是直角三角形或等腰三角形，则acosB≠bcosA”；否命题为“若acosB≠bcosA，则ABC不是直角三角形或等腰三角形”. 其实逆命题也为真命题，而逆否命题应该和原命题等价，否命题也应该和逆命题等价，但学生写出的两个命题都是假的. 问题在哪里呢？问题就出在学生们缺乏反面思考的能力，即出在对结论的“否定”上！其实“A或B”的“否定”是“非A且非B”；“A和B”的“否定”才是“非A或非B”.
点评教师在教学时，要经常有意识地引导学生注意数学概念、命题（或判断）、推理（或计算）和论证中的反面意义，例如教师可以让学生经常进行四种命题的练习，或是要求学生合理地表达对一些定义的否定等.
在下例中，学生往往从“正面”进攻，殊不知，“反面考虑”更加简捷.
例3（1987全国）已知空间的四个点E，F，G，H，命题甲：点E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么（）
A. 甲是乙的充分条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析由题意可知甲的否命题为“点E，F，G，H共面”；乙的否命题 为“直线EF和GH相交”. 易知“⇒”等价于它的逆否命题“甲⇒乙”，故答案选A.
点评“正难则反”，显然“反面考虑”更简捷.
例4 一个口袋里装有大小相同的10个小球，给它们分别编上1至10的十个号码，现在一次任意摸出两个球，则它们的号码和大于7的概率为 .（用分数表示）
解析从口袋中一次任意摸出两个球，令这两个球的编号分别为i，j，可得号码为i+j的一种结果. 这样该实验等可能出现的结果有C种.
解法1既然两个球是一次摸出，就无须考虑i和j的先后顺序，故“不妨假设”i7，则从“反面考虑”A的对立事件为i+j≤7. 当i+j≤7时，由2≤2i
解法2从正面考虑，类似于解法一. 令i=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，j有C，C，C，C，C，C，C，C，C种取法，于是可得事件A全部可能的结果为36，从而P（A）==.
点评解法1的“不妨假设”很巧妙地得出了i只有三种情况，而解法2枚举的个数太多，比较繁琐，故“反面考虑”使解法更加简捷.
另外，教师应注意培养学生们的逆向思维和创新思维，加强一题多变和一题多解的练习，通过转化思想和运用反证法来证明命题，是高三数学教学中培养学生逆向思维的有效的方法.
例5 设X1，X2，…，Xn为一组数据，如果其中最大的数据恰等于数据的平均数X，则这组数据的方差S2= . （其中S2=（X－X）2）
解析学生往往用“特取法”来求解. 因为S2=[（X1－X）2+（X2－X）2+…+（Xn－X）2]，所以S2越大，Xi（i=1，2，…，n）与平均数X的距离就越大，反之则距离越小. 由题意特取X1=X2=…=Xn=X，则S2=0，满足题意.
在备课时，笔者想“如果此题作为大题目，又如何来证明呢？”这时，例5便转化为一个有趣且具有挑战性的探究性问题. 证明过程如下：
“不妨假设”Xn=X为最大，则易得X1≤X，X2≤X，…，Xn-1≤X，若S2=0，则X1=X2=…=Xn=X. 从“反面考虑”，“不妨假设”S2不为0，则X1≤X，X2≤X，…，Xn-1≤X中至少有一个“=”不成立.
由此推得X1+X2+…+Xn-1
点评“不妨假设”既不失一般性，又回避了很多分类讨论，同时“反面考虑”也更加简捷，这种方法就是我们经常讲的“反证法”.
反证法在高考中已经引起了高度的重视，例如上海市2002年高考考纲的一个明显的变化就是对反证法作了要求，这也反映在当年的春季高考中.
例6（2002上海）已知函数f（x）=ax+（a>1）.
（1）证明：函数在（－1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根.
证明仅证第（2）小题.
假设存在x0
则a=－，且0
所以0
而这与x0
点评请读者想一想，除了用反证法证明方程f（x）=0没有负数根以外，还有没有其他的证明方法呢？
爱因斯坦曾说过：“现在的教学方法扼杀了人们研究问题的神圣的好奇心，在学校里，有时觉得自己像头野兽一样，被人用鞭子强迫着吃食.”因此，在高三教学中，单调地、不当地重复训练的强度越大，产生的思维定式的消极作用也就越强，扼杀学生思维和学习的积极性和创造性的恶果也就越甚. 教师在每个章节和每种方法的教学中，往往有意识地给出本节内容的重点或某种方法的得意之处，千方百计地引起学生的重视，配备的练习题也大多是本节知识的再现和方法的重复. 长此以往，学生们会在某一知识或方法上形成较强的思维定式，从而在解题时方法单一、能力簿弱，缺乏逆向思维、探究思维和创新思维.
[关键词] 数学物质性 量变到质变 对立统一 否定之否定 数学内在规律
辩证唯物主义是从自然、社会中概括出来的,作为自然科学的一部分――数学,当然同样可以印证唯物辩证法的客观性和真理性;反过来,用辩证唯物论阐述数学教学内容,可以训练学生进行辩证思维,使学生思想清晰、思路开阔,正如恩格斯论述唯物辩证法时所说的:“除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维,在这里没有其他任何出路,没有达到思想清晰的任何可能(《自然辩证法》)。”因而,这就有利于学生学好数学基础知识,有利于培养学生的包括形式逻辑和辩证逻辑在内的思维能力,发展学生的智力,而且有助于学生形成辩证唯物主义世界观。
一、用辩证唯物论的观点阐明数学来源于客观世界,揭示数学的物质性
恩格斯指出:“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的(《反杜林论》)。”由于数学具有高度的抽象性,因而迷惑了一些人,以为数学不是来源于客观世界,而是由专搞数学的人的头脑里臆想出来的。这种观点是唯心的、错误的。数学虽然具有高度的抽象性,但是却是从客观实际经验中提取出来的,它具有现实的物质性。正如恩格斯所提出的:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料,这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实(《反杜林论》)。”对于中学数学中的所有数和形的概念,都可以用辩证唯物论的观点来阐明它的物质性。例如,代数第一册第一章“有理数”中在讲“相反意义的量”而引进正负数时,首先阐明了“整数”、“分数”来源于现实世界的情况和引用恩格斯关于数和形概念的论述,即“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的。”接着阐述现实世界中存在着一些只具有相反意义的量,需要引进新数来表示它们,这样所引进来的新数就是“正数”“负数”。课本上的这一段教学内容就是这样用辩证唯物论阐述它们的,对形的概念,当然同样可以用唯物论来阐述它们。例如,几何中的点、线、面、角、多边形、圆、二维空间等概念以及长度、面积等几何量的概念,都很明显地是从现实世界中得出来。就连几何图形的性质,它也是客观存在的,不是数学家纯粹的思维臆造出来的。例如,两个三角形的全等,其对应边和角都相等,这两个三角形的全等性质就来源与把它们叠合在一起的操作实际。可以说,所有这些概念和性质,既从它们自身的起源方面,也从实际应用方面同生活和生产密切联系着,它们都有着完全现实的内容。至于数学中的数量关系及其相互推导出来的关系式,也是有着现实的物质基础的,它们是客观现实数量关系的规律性的反映。例如,各种数的加、减、乘、除运算以及用“大于”“小于”“不等号”来表示数之间的关系式,都反映了各种量的现实联系。加法反映了线段的相加,这个“线段的相加”就是很具体的现实联系。函数关系式,就是物理的、化学的或其他方面的实际问题中具体的量(时间、速度、路程;溶质、溶液、浓度……)和对它们之间的相依关系所作出的抽象和概括。各种方程是反映客观过程的因果规律的数学模型,而其数学模型则是从现实原型中抽象出来的,等等。至于根据具体的实际问题中的等量关系所列出的方程,更明显地具有其客观现实的物质基础。根据以上这些论述,对于代数、几何、三角中的一些数量关系的恒等变换以及相互推导出来的定律、定理、公式或法则,都可以按照以上的观点加以解释和阐述。比如,几何中,由矩形沿它的一边旋转可以导出圆柱形,这种推导,就是反映了客观存在的矩形和圆柱形之间的关系;再如任意二次方程,通过适当的直角坐标平移可以作出标准形状的抛物线或其他标准形状的曲线(如椭圆、双曲线等)。其中,应用抛物线的顶点坐标,可以解答客观现实中某些极值问题。而抛物线,以及它的顶点都存在于客观现实中,因此,任意二次方程也是具有客观现实的物质基础的,正因为它来源于现实,所以它才可能应用于实际。
二、用唯物辩证法的量变质变观点阐述中学数学教学内容,揭示数学的内在规律
唯物辩证法认为,自然界的一切事物都是具有一定的质和量的,其质和量也都是运动变化的,并且呈量变质变互变状态,但事物的运动变化总是从量变开始,由量变引起质变,其量变引起质变后的这个新的质,又开始了新的量变过程。这种从量变到质变的变化方面:从自然数变化发展到整数、分数、从有理数变化发展到无理数、实数、复数。在形的变化方面:从“锐角”逐渐变化到90°时,称为“直角”;从“直角”逐渐变化到大于90°而小于180°时,称为“钝角”;由“钝角”逐渐变化到180°时,称为“平角”。平行四边形由于其角度的变化而变成“矩形”;由两圆连心线的变化而引起两圆的位置发生变化,即两圆连心线长度变化到大于两圆的半径和时两圆相离,变化到等于两圆的半径和时两圆相切,变化到小于两圆半径和而大于半径差时两圆相交,变化到等于两圆的半径差时两圆内切,变化到等于零时两圆成为同心圆;从正多边形的角度量随着边数的不断增加而过渡到圆的度量;从两图形的相等随其对应边的比的变化而成为相似,等等,都是事物从量变到质变的规律的反映。
三、用唯物辩证法的对立统一观点阐述中学数学教学内容,揭示教学的内在规律
同志指出:“对立统一规律是宇宙的根本规律”、“事物的矛盾法则,即对立统一的法则,是唯物辩证法的最根本的法则(《矛盾论》)。”对立统一规律在数学中也有所反映。可以说,数学的发展是在交织着许多对立面的斗争中进行的。概括来说,这些对立面是:具体与抽象,特殊与一般,形式与内容,有限与无限,等等。具体来说,中学数学教材中的正数和负数、奇数和偶数、整数和分数、有理数和无理数、“未知数”和“已知数”、有限集合和无限集合、常量和变量、总量和个体(统计中的概念)、近似和精确、加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、端点和终点、直线和曲线、方形和圆形、平行和相交,数学方法的分析和综合、归纳和演绎,表示“无”的0和区别于“无”的“有”……都是矛盾对立的双方,各自以其对方存在为前提,无一方也就无所谓另一方。同时,如同志在《矛盾论》中所说的,“矛盾着的双方,依据一定的条件,各向着其相反的方向转化,以至统一起来。”例如,在等式变形中,把一个数(或式)从等式的一边移到另一边,正的转化为负的,负的转化为正的;或者,在把整个坐标系旋转180°的条件下,正数和负数可以相互转化,即原来的正向变为负向,负向变为正向;或者,把系数扩大到实系数的条件下,有理数和无理数的矛盾就统一起来;在引进负数的条件下,减法和加法统一起来了〈如a-b=a+(-b)〉;在建立了负指数的条件下,除法和乘法统一起来了(如a÷b=a×b-1);在建立了分数指数的条件下,开方和乘方统一起来了(如x=x12)。指出:“每一事物的运动都和它的周围其他事物互相联系着和互相影响着(《矛盾论》)。”客观事物都在对立中运动,而对立着的双方是相互联系相互影响的。在上面所列举的那些反映对立统一规律的中学数学内容,也体现了事物的运动是相互联系相互影响的这一规律。对于事物的运动是相互联系相互影响的这一规律的反映,例如,数学中的定理,都是从有关的不加定义的原始基本概念和公理出发,经演绎推理和归纳推理而用定理的形式建立的,其中的任一定理都可以由前面的有关概念和定理推导出来,接着它又成为推导以后新定理的条件和依据。这很明显地反映了事物的运动是相互联系相互影响的规律。又如,函数(包括代数函数、超越函数)其自变量的值对应着一确定的函数值,自变量的值变了,所对应的函数的值也就变了,即在某变化过程中一个变量依赖于另一个变量变动,故函数关系就是唯物辩证法关于事物的运动变化是相互联系相互影响的规律的反映。因此,凡是数量关系构成函数关系的,我们都可以作如上的解释的阐述。比如,行程问题的表达式,其时间、速度、距离就有着函数关系,因而有着相互联系相互影响的关系;圆周、圆面积与半径的关系,球表面积和球的体积与半径的关系,都有着函数关系因而有着相互联系相互影响的关系。另外,三角形内角的大小与其角所对的边有着相互联系相互影响关系;多边形的内角和与其边数之间有着相互联系相互影响的关系;弧长与圆心角或圆周角、几何条件与点的轨迹、坐标平面上的点与实数对、函数与其图象、直线与方程都各有其相互联系相互影响的关系;解析几何中,从零点这点起,在一条直线上如果一方向规定为正而相反的方向规定为负,则零点就是所有表示正数或负数的这些点与之有关联的所依存的点,等等。又如,指数ab=N与对数logaN=b,是a、b、N三者的同一关系的不同表达形式,它们有着密切的相互联系,等等。概括地说,数学概念中凡是有从属关系的、对应关系的以及数学概念之间有以合成关系为纽带而结合的,都有着密切的联系。
四、用唯物辩证法的否定之否定观点阐述中学数学教学内容,揭示数学的内在规律
关键字：唯物辩证法；数学
从数学理论形成开始，数学和哲学就存在着不解之缘， 数学是客观世界数量关系变化的规律性与数学思维能动性相结合的产物，数学来源于客观世界又反作用于客观世界，并为解决客观世界存在的客观问题提供了理论依据，而客观世界是一个运动、变化、发展着的对立统一体，作为反映客观世界数量关系变化规律性的数学必然充满着辩证法。所以解决数学问题离不开唯物辩证法。
一、用联系的观点分析问题
唯物辩证法用普遍联系的观点看待世界和历史，认为一切事物都处于相互影响、相互作用、相互制约之中，反对以片面或孤立的观点看问题。我们解决数学问题也不例外，应该用联系的观点全面的分析、解决问题。而分析问题是解决问题的前提和基础，所以分析的方法应该是辩证的方法。唯物辩证法中相互联系的辩证关系，为我们解决问题提供线索，为数学问题的转换变通提供依据。下面就以圆锥曲线问题为例说明。
已知直线l与椭圆C：■+y2=1 交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为■，求AOB面积的最大值.
解 设A（x1，y1），B（x2，y2）.则①当ABx轴时，|AB|=■.②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m.由已知=■=■，得m2=■（k2+1）.
联立方程得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=■，x1x2=■.
|AB|2=（1+k2）[■-■]=3+■=3+■（k≠0）≤4.
当且仅当9k2=■，即k=±■时等号成立.
综上所述，|AB|max=2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值：Smax=■×|AB|max×■=■.
联系在数学当中普遍存在，任何问题都要用联系的观点去分析，只有这样才能很好的解决问题。上述问题是求面积，那么就要和面积公式相联系，进而用到边长，根据本题特点就要和弦长公式联系，而弦长公式要用到韦达定理和直线的斜率，所以就要设出直线方程和曲线方程联立，在设直线的斜率时要考虑斜率是否存在，因此分析问题还要“一分为二”，“合二为一”全面分析。
二、对立统一规律在解题中的应用
我们在解决有些数学问题时，由于受思维定势与惯性的影响，使我们墨守成规，难以涌出新思维，有碍于问题的解决。面对这种情况，我们可以利用辩证关系中的对立统一规律，转而从原来思维的对立方面着手分析，则往往寻到柳暗花明的新境地，因为数学当中的对立关系总是相比较而存在的。
对立统一规律揭示了事物发展变化的源泉和动力，这也就是解决数学问题要从它的根源出发，寻找解决问题的途径。上述问题中事件的发生与不发生相对立，用不发生解决发生的问题，问题迎刃而解。再如极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用，借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。所以我们要充分认识数学问题中的对立关系，并利用它解决问题。
三、否定之否定规律在解题中的应用
否定之否定规律揭示了事物发展的全过程和总趋势，是唯物辩证法基本规律的综合体现。具有代表性的是马克思和恩格斯的否定之否定原理，即“正-反-合”三阶段论：“正”态事物由于内部矛盾的发展，会过渡到反面，成为“反”阶段，这是第一个否定；由反阶段再过渡到它的反面，是为否定之否定。经过否定之否定后，事物显然回到“正”态。例如数学中的反证法就是否定之否定规律的典型应用，首先假设结论不成立，这是第一次否定，然后经过推理论证得出矛盾，这是第二次否定，最后说明原命题成立。再如做选择题的假设法、命题与其逆否命题的关系也是否定之否定规律的应用。
四、质量互变规律在解题中的应用
一、巧提问，提高学生的运算能力
1.提问利于准确掌握数学运算基础知识
学生学好数学基础知识是提高学生基本能力的前提，因此培养学生运算能力首先要使学生理解和掌握各种运算所需要的概念、性质、公式和法则等。教学中，通过精心设计的问题，能使学生比较容易理解概念、性质、公式和法则的内涵。
普通高中数学教材，一开始就引入了集合的概念。这部分内容一直是数学教学的重、难点，是继续学习后面内容的基础之一，也是数学中的通用语言，必须要讲清、讲透。
例如，在讲解完交、并集的定义时，可设计问题：交集和并集的定义有什么区别？学生一般仅简单回答是"且"和"或"一字之差，而对他们的内涵还是难以弄清。这时可结合文氏图提问：交集或并集中的一个元素有什么特点？集合A、B和A∩B、A∪B有什么联系？学生讨论后，可归纳为，A∩B中的任一元素都是A、B的公共元素，A∩B是A、B的公共子集。AUB的一个元素x， 则有三种可能：x仅属于A；x仅属于B；x是A、B的公共元素，A、B都是AUB 的子集。
2.提问利于提高学生运算中的推理能力
数学运算的实质是根据运算定义、公式及其性质从已知数据及算式推导出结果的过程，也是一种推理过程。要提高学生运算能力就要提高学生运算中的推理能力。使学生运算时，做到步步有根据、有充足理由。
3.提问利于提高学生的记忆能力
培养学生运算能力还要提高学生的记忆能力，讲究记忆方法，牢固掌握一些常用的数据、公式和法则。
如在记忆k·1800士α的诱导公式时，可问：能否编-句口诀可记牢这六组诱导公式？使学生总结出"符号看象限，函数名不变"的口诀。如果进一步启问k·900士α的诱导公式记法？还可总结出口诀"奇余偶同，象限定号"。学生既记牢了公式，也学会了"口诀记忆法"。
二、巧提问，提高学生的逻辑思维能力
数学中的逻辑思维能力是指根据正确思维规律和形式对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力。
高中数学内容是通过逻辑论证来叙述的。数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程。教学中的提问要严格遵守逻辑规律，作出示范，潜移默化是培养学生逻辑思维能力的宽广途径。
1.提问利于清楚论证的逻辑系统
数学论证是在一定的逻辑系统中进行的。教学中进行论证时，必须使学生首先搞清楚此问题是在哪个范围（即条件）下考虑的。然后再用正确思维规律和形式去进行推理论证。
如讲反正弦函数时，可设计这样的问题。y=sinx有无反函数？若把定义域缩小后有反函数吗？定义域缩小为什么时才有反函数？下定义后再问：反正弦函数就是正弦函数的反函数吗？为什么？可使学生正确理解反正弦函数概念的实质。
2.提问利于学生在运用逻辑知识进行推理论证过程中提高抽象概括、分析综合、推理证明的能力
例如在教学直线和平面平行的判定定理的证明时，引导学生画图写出已知求证后，可问：此定理能用直接证法证明吗？思考讨论后问：用反证法行否？使用反证法的条件是什么？（命题只有两种或三种对立的可能）直线和平面有几种位置关系？反证法的步骤是什么？这里用反证法时证什么？怎么证？在问答中，完成了证明，也使学生加深了对反证法的理解（反证法有两种，归谬法和穷举法）。
总之，若能引导学生运用逻辑知识来指导推理证明，就容易做到思路畅通、正确无误。
三、巧提问，提高学生的空间想象力
想象是一种特殊的思维活动，即在头脑里表象出某种未曾感知过的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念。数学中的空间想象力是指对物体的形状、结构、大小、位置关系的想象能力。
1.提问利于学生对物体或模型的直观分析
在立体几何教学中对物体或模型的直观分析，对培养学生的空间想象力会收到良好的效果。
如“三垂线定理"是立体几何中的一个重要定理，也是教学中的难点。学习时，首先要备好模型先提问平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影概念，为学习三垂线定理铺平道路。紧接着提出平面的垂线的性质和斜线与垂线的区别。垂线：平面内的所有直线都与平面的垂线垂直；而斜线则不具备上述性质。这种区别正是我们发现矛盾的"契机"。再提问：是不是平面内的所有直线与平面的斜线都不垂直呢？学生思考观察实物模型后一般可得出结论。平面内有些直线与其斜线垂直，有些直线与其斜线不垂直。这时教师不失时机地继续提问：平面内与其斜线垂直的直线有什么性质？如何判断平面内一条直线与其斜线垂直呢？这样，提高了学生的直观分析能力和主动学习的积极性，学生感到了本课内容研究的迫切性。显然比一般地直接写出"三垂线定理"然后去证明要自然的多，更利于培养学生空间想象能力。
2.提问利于学生学好有关空间的基础知识
一个建筑师能够想象设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建筑师不仅具有丰富的建筑物感性识，而且还具有建筑物的理性知识。学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象力的根本。教学中，要精心设计提问，使学生学好有关空间形式的数学知识。
一、检验计算——反思解题结果
好多学生考试的时候,在计算方面失分多,学生乃至家长常常归结为:不细心、不踏实。其实,很多情况下问题出在计算方法、能力、技巧等方面。为此,我注意培养学 生对问题的最后结果进行自我评判的习惯。如刚学简便计算900÷40时,学生根据商不变的性质尝试写出:900÷40=(900÷10)÷(40÷10)=90÷4=22……2,这样的结果对不对呢?学生通过检验,发现22×40+2的结果不能还原到900。学生自己找原因,猜测:余数若是20就对了?师追问:余数究竟是不是20呢?能说说理由吗?简便的过程能这样写吗?刚开始教学时,我同大多数教师一样,很不在意检验,总以为一步步有理有据的解答,结果怎么会错呢?检验如同虚设。心理上重视了检验之后,才知道学生通过检验,会自己理清计算中的很多问题。
自我评判的方式很多,检验是其中一种。学生常用重算一遍、互逆运算、将答案代人原题等检验方法反思数量结果。但在学习过程中,学生往往对检验认识不足,甚至嫌烦,因而表现出怠惰。怎么办?
为了让学生在计算中愉快地、自觉地反思自己的学生行为,我大胆引进了“估算”,由于估算很便捷,所以,学生非常乐意用此方法先来估一估自己的结果,发现有误差了会立即查找原因,此时的检验就成了学生的内需。如计算38×209,好多同学会这样写竖式:这时教师引导学生估算,40×210,用估算的结果(8400)反思其竖式结果。当学生发觉与正确结果相差甚远,会急着查找:计算过程中到底哪儿出了错?用这种方法引导学生反思,一箭三雕,既可以培养学生的反思意识,又可以提高学生的估算能力,还可以训练学生的数感。
教师在教学中要有意识地引导学生自觉检验,自我完善,逐步形成有个性的检验策略。
二、验证思路——反思逻辑意义
验证与检验相比,在检验基础上提升了一步。在实际教学中,验证通常表现为:让学生由实践操作来证明或用已知的数学公理、结论等理性分析来论证未知的发现或结论。如探索长方体、正方体面、棱的特征时,学生通过观察得出:相对的面完全相同;相对的棱长度相等。这是凭眼睛看,脑子想得出来的“大概”,实际是不是这样呢?于
是,教学中我再次放手让学生想办法去验证。
师:对长方体面与面之间的关系,我们怎样动手、动脑来验证?(给学生动手、动脑的时间、空间。)
生1:画一个面下来,将它的对面与之比一比(用自带的学具),比下来是一样的。
生2:量长、宽,相对的面的长和宽是相同的,说明面积相等,同时长方体的每个面都是长方形,这样就可以验证:长方体相对的面是完全相同的。
生3:不用量也能知道,可以借助连接两个面的棱,(举起长方体)你看,同一个长方形中,长与长肯定是相等的,类推一下。
生4:将相对的面揭下来,放在一起,看能不能完全重合(这个学生的长方体纸盒每个面上都贴了一层较厚的花纸)?是完全重合的,
师:长方体相对的棱长度相等,你们想用什么办法来验证?(给学生验证的时间、空间。)
生1:量出每条棱的长度,12条棱有3种长度,相对的棱都一样长。
生2:把交于一个顶点的3条棱画下来是3条线段,将其他的棱分别与它们比一比,发现只有相对的棱长度相等。
生3:每条棱都可以先看做一个面上长方形的长和宽,然后根据长方形的对边相等进行推理,可以推出:相对的棱长度都相等,比一条条量省劲多了。
通过验证,可以让学生进一步反思:自己原先的思路、猜想或发现是否与实际相符,是否客观存在等,即是否具有逻辑意义。把这样的反思落到实处,才能充分凸现学生的主动学习,且学习活动彰显着生命,充满了灵性。遗憾的是,在众多的日常课中,我们很难看到教学的这一环节。其实,数学学习活动中蕴含着许多数理逻辑,精确性是数理逻辑的特点之一。由此看来,在学生的学习过程中进行“反思逻辑意义”活动是非常有意义的,他们会像小科学家一样去努力探求某个小发现或结论的正确性。虽然小学教材中对学生这方面的要求没留多少痕迹,但为了学生初、高中的学习、未来的发展,我们不妨先行一步,奠下基石。
三、贯通方法——反思解题策 略
贯通较之验证又上升了一大步。解决问题后,我常引导学生重新审视解题策略,表现在两方面:(1)根据题目的基本特征.进行多角度观察、联想、探索更简单的解题途径;(2)思考有无规律可循,或进行可逆变换主动建构,达到“举一反三”。
“列表”是苏教版教材中学生最先接触的解决问题策略,它与旧教材中归一应用题,有着紧密的联系。在教学中,要突出“让学生审视表格在解决问题中发挥的作用”这一过程,而不仅是原教材作为归一应用题教学时解题方法的掌握、技能的形成。
如某校3个月节约用水24吨,照这样计算,1年可节约用水多少吨?要节约120吨水,需多长时间?(先列表整理数据,再解答。)
(1)
3个
24吨
1年
?吨
(2)
3个
24吨
?个月
120吨
反思:为什么要列表?表格究竟起了什么作用?学生回到表格上,重新审视表格的作用,把表中对应的数据进行比较,又发现:表中数量之间的函数关系十分清晰。所以,在反思的同时又找到了另一条解题路径:12÷3=,24×=96(吨);120÷24=5,3×=15(个)。这里,既用另一种解法验证了前面的解答正确与否,又感悟、提升了“列表”的价值。
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