摘要：数学是一种逻辑性强、抽象性强的学科，在数学教学过程中，对于一些数学问题使用常规的解题方法往往过于繁琐，而利用一些定理进行求解往往能够达到事半功倍的效果。在数学当中，勾股定理便是一个非常重要的定理，将其充分利用能够使诸多数学问题迎刃而解。
关键词： 数学 数学论文
摘要：数学是一种逻辑性强、抽象性强的学科，在数学教学过程中，对于一些数学问题使用常规的解题方法往往过于繁琐，而利用一些定理进行求解往往能够达到事半功倍的效果。在初中数学当中，勾股定理便是一个非常重要的定理，将其充分利用能够使诸多数学问题迎刃而解。本课题笔者结合实际教学案例从多方面对勾股定理在初中数学中的应用进行了探究，希望以此为初中数学教学的完善提供一些具有价值性的参考依据。
关键词：初中数学 勾股定理 应用
1 引言
勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。
2 勾股定理在线段问题中的应用
在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。
结语
通过本课题的探究，认识到在初中数学中，对于许多问题可以利用勾股定理进行求解。包括“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”等。笔者认为，勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机
[摘 要] 数学史对于数学教育的意义不言而喻，它对于践行新课改的知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观的三维目标，倡导学生自主探究学习的教学模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教学为例，探讨了上述问题.
[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值
数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.
提出问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”
接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”
这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.
定理的证明
在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.
引导学生探索其他解法
上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.
历史上的经典证明方法展示
发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.
基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.
历史上涉及勾股定理应用的古算题很多，在学习勾股定理的同时，如果能尽可能多地向学生呈现这些古算题，会使我们的教学起到事半功倍之效. 向学生呈现古算题原题，学生首先会接受很多那个时代的社会、人文信息，包括古算题涉及的真实情景、古算题的出处、涉及的数学家等. 学生还要将文言文翻译成现代白话文，然后去理解题意，考虑其解题方法. 接着给学生呈现古人解决此类问题的“术”，又会使学生感受到他们的解法与历史上的解法其实有异曲同工之妙. 在这个过程中，新课程所涉及的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标可以自然地达成. 诚然，教师在这个过程中需要适时地进行引导和点拨，它要求教师具备一定的数学史知识和修养.
结语：数学史在数学教育中的作用不言而喻，亟须一线教师开发出更多的教案和案例. 数学史对于数学教育的重要指导和引领作用，正如我国老一辈数学教育家、珠算算具改革先驱的余介石先生所说：“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之恩，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑顺序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也”.
在数学教学过程中，近阶段发现不少学生对勾股定理逆定理掌握不是太透彻.对于下面的题目不少同学给出如下错误的解法.
如果说一两个是巧合，可我带的班中不少学生是这么解答的，让我陷入困惑中，通过几个学生的调查后，有个学生说：“在RtΔABC中可以求得AC=5，而ACD中，5、12、13是一组勾股数，那么ACD是个直角三角形.”另一个同学说：“我感觉ACD是一个直角三角形，不然面积就不好求了.”还有一同学说：“我记得老师好像也是这么写的吧.”
本来打算重新讲一遍，可想想这样效果或许不太好，何不将错就错，让学生自己去探索求证，我把这样的解题过程写在黑板上让学生自己来评价是否合理.这时不少同学笑了， 其中一中等生说：“这过程不合理，因为在ACD中，如果说由勾股定理得的话，前提已经是直角三角形了，而题目中有没有直接告诉我们，需要我们验证.”
“那我们该怎么验证它是不是一直角三角形呢？”我及时的问，这时班级调子不一致了，有的说勾股定理，有的说勾股定理逆定理.我又问谁能告诉我勾股定理和它的逆定理到底有什么不一样，他们各自目的一样吗？这样又有几个同学作了回答.
我问道：“现在我们在求AC的长度时，用的是勾股定理还是其逆定理？”
学生一致答道：“勾股定理.”
“而在判断三角形ACD的形状时，是用勾股定理还是其逆定理？”
学生又一致答道：“逆定理.”
“那我们怎么用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形呢？”
这时班级安静了一小会，一平常表现活跃的学生说：“看两边平方和与第三边平方是否相等？如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形.”
“任意两边平方和吗？”我问道
“这个……，好像不是吧.”
问题好像出来了，我感觉有点高兴.
这时一较好同学站起来说：“应该是两个较小边的平方和与第三边平方进行比较.”
“为什么是较小两边平方和呢？大家讨论交流一下.”
那个表现活跃的学生又站起来说：“老师我知道，如果不选择较小两边平方和与第三边平方作比较，那结果肯定是不相等的.”
“能否举个例子？”我问道
“例如3、4、5为三角形的三边，我们知道它肯定一直角三角形，但如果我们不选择
32+42与52相比较的话，就会得到不等的结果.”
“不知道其他同学有没听懂他的意思？”
“懂了！”其他同学大声说道.
“那现在老师就板书一下，同学说，老师写”
题目等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？图1中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论.(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.)
探究勾股定理的发现S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面积分别等于直角三角形的两直角边的平方，正方形C(或C′)的面积等于直角三角形的斜边的平方，于是我们得出：
勾股定理直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
反思1为什么直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方？
探究勾股定理的证明在计算正方形C(或C′)的面积时，我们发现：正方形C(或C′)的面积等于大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，由此我们受到启发.如图2，若设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个直角三角形的面积，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
说明上述证明勾股定理的方法用到的图形，叫做“赵爽弦图”.运用“赵爽弦图”证明勾股定理，简捷巧妙.为了开阔同学们的视野，下面再介绍一种利用全等三角形和面积的证明方法.
如图2，以RtABC的两直角边AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜边向外作正方形ABED，过点C作CIDE，垂足为I，CI交AB于点H，则四边形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的发现过程，我们不难得出：
拓展1以直角三角形的两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.
反思2如果分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积吗？
探究设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
以a为斜边的等腰直角三角形的面积等于12a・12a=14a2，
以b为斜边的等腰直角三角形的面积等于12b・12b=14b2，
以c为斜边的等腰直角三角形的面积等于12c・12c=14c2，
因为a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我们得出：
拓展2分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积.
说明如果能够注意到等腰直角三角形正好是以它的斜边为一边的正方形的四分之一，运用拓展1的结论很容易得到拓展2.
下面请同学们运用拓展2的结论解决：
问题1已知：以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则三个等腰直角三角形的面积和为.
提示：如果对等腰直角三角形的面积公式(用等腰直角三角形的斜边表示)不熟悉，可先将每个等腰直角三角形补成正方形，这样所求的面积就等于两个等腰RtABE的面积，而两个等腰RtABE的面积正好等于以AB为一边的正方形的面积的一半，从而所求部分的面积=12×32=4.5.
反思3如果分别以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，那么以两直角边为边的等边三角形的面积和等于以斜边为边的等边三角形的面积吗？
勾股定理及逆定理是数学中的一个重要互逆定理，它的应用极为广泛，我们在解题时若能正确的运用数学思想和方法，将会使你的解题思路更为开阔。希望同学在学习数学知识，求解数学问题时，要注意领悟和掌握蕴含其中的数学思想。
1、数形结合的思想。
数形结合是一支双刃剑，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。N M
例1 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A.13 B.26 C.47 D.94
解析：由勾股定理可知所以故应选C.
2、方程思想。
方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解，勾股定理的灵活运用为用方程解决某些图形中线段的长度的计算问题构筑了一个极好的平台。
例2在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？
解析：如图所示，一只猴子经过的路径BCA，共走了10+20=30（m），另一只猴子经过的路径是BDA，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决.
3、转化思想。
转化是求解问题的一种办法，往往会收到“山丛水复疑无路，柳暗花明又一村。”的效果。
例3有一根13dm长的木棒，要放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放进去吗？
解析：木箱即为长方体，因此若能求出长方体的对角线的长，再与13dm长的木棒比较即得答案. 由勾股定理，得这个木箱对角线长的平方=32+42+122=169=132，而木棒长的平方为132，即木箱对角线长的平方=木棒长的平方，所以13dm长的木棒刚好能放在长、宽、高分别是4dm，3dm，12dm的木箱中。
说明 本题的求解过程中，利用勾股定理将问题转化为比较两条线段的大小.另外，在运用勾股定理求解问题时，有时会遇到不是直角三角形，这时，我们必须通过作高线的方法，将此转化成直角三角形，这样就便于解决问题.
4、分类讨论思想。
“分类讨论”是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。
例4 己知直角三角形两边长分别为6和8，试求以第三边的长为边长的正方形的面积.
解析： 由于本题的已知条件中并没有明确6和8是否是直角边，所以不能想当然地就断定6和8是直角边，而要进行分情况讨论来解决问题，下面分两种情况：
（1）当6和8都是直角边时，那么第三边的平方为62+82=100，所以以第三边的长为边长的正方形的面积100.
（2）当8是斜边时，第三边的平方为82-62=28，所以以第三边的长为边长的正方形的面积28.
5、数学建模思想。
数学建模思想方法不仅是处理数学问题的一种经典方法，又是处理各种实际问题的一般数学方法，它渗透到现实世界的各个领域，广泛应用于工程施工、投资经营、航海运输和规划设计等实际问题的解决。
例5 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？
B北东 MP 60°
解析：根据题意建立数学模型，可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出两渔船的航向所成的夹角，那么就可以知道乙船的航向了.
解：在图中，BM=8×2=16，BP=15×2=30，MP=34.
因为162+302=342，即BM2+BP2=MP2，所以∠MBP=90°.
又由甲船沿北偏东60°方向航行可知，∠PBC=30°，即乙船沿南偏东30°方向航行。
摘 要：勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓，诸如开方术、方程术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。通过“勾股定理”的学习，让学生了解我国古代数学的成就以及它在生活中的重要运用，从而激发学生热爱数学学习的乐趣。
关键词： 勾股定理 教学方法 实际运用
中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的第一章，就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。在教学中反思如下：
一、通过教学“勾股定理”的学习，培养学生学习数学的浓厚兴趣
在教学中我是这样引入新课的：教师用多媒体课件演示FLASH小动画片：“某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？”这样的问题设计有了一定的挑战性，其目的是为了激发学生的探究欲望，引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了这节课的内容后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，把生活与学习数学紧密结合起来，从而提高了学生学习数学的兴趣。
新课标要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。
二、教学过程中，转变师生角色，让学生自主学习
学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。“教师教，学生听，教师问，学生答，教室出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻阻碍了现代教育的发展。这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，新课标要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。
三、学习“勾股定理”，让学生体会数形结合的思想
教学中教师关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等； 同时关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理. 注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。勾股定理描述的是直角三角形的三边关系，应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形。应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系，要从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示。
四、学与用结合，体会到“勾股定理”在生活中的实际运用
作为学生，除了考试，勾股定理很少用到.，但是工程技术人员用的比较多，比如修建房屋、修井、造车等等，就可以用勾股定理来计算，设计工程图纸也要用到勾股定理，也经常用到“勾股定理”。在教学中，教师要培养学生“数学来源于生活”，把生活与学习数学紧密结合起来的思想。例如：
总之，勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。
一、分类讨论思想
例1 已知直角三角形的两边的边长分别为3和5，求该三角形的第三边的边长。
分析 已知直角三角形的两边，未指明是直角边还是斜边，因此边5可能是直角边，也有可能是斜边，所以要进行分类讨论求解。
解 根据三角形的边角大小关系可知，3一定是直角边，而5可能是直角边，也可能是斜边，故可分类求解。
（1）当边5为直角边时，三角形的第三边为斜边，长度为==。
（2）当边5为斜边时，三角形的第三边为直角边，长度为===4。
所以这个三角形的第三边的边长为或4。
点评 直角三角形的第三边分为两类：直角边和斜边。当已知两边求第三边时，要分析其边是直角边还是斜边，若题目未指明，则要进行分类讨论求解。
二、方程思想
例2 如图1所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的长。
分析 折叠就是轴对称，因为ADE与AFE关于AE对称，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根据勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一边，不能求解。而在RtECF中，FC=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
设EC=x cm，则EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
则EF的长为5 cm。
点评 勾股定理只能用于已知直角三角形的两边求第三边。当在直角三角形中，只知一边，又知另两边的相应关系时，可用勾股定理建立方程（组），通过解方程（组），即可求得该三角形的边长。
三、化归思想
例3 如图2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的长。
分析 题中的三角形未确定是直角三角形，不能用勾股定理，由条件∠B=60°，想到构造含30°角的直角三角形，为此作ADBC于D（如图3所示），则有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长。
解 作ADBC于D，因为∠B=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根据勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根据勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
点评 利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用。当题目中没有垂直条件时，经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理。
四、转化思想
例4 如图4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5。求线段EF的长。
分析 已知BE、CF，要求EF，但这3条线段不在同一三角形中，所以关键是转化，根据直角三角形的特征以及三角形中线的特殊性质，不妨先连接AD。
解 连接AD。
因为∠BAC=90°，AB=AC。又因为AD为ABC的中线，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因为∠EDA+∠ADF=90°。又因为∠CDF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根据勾股定理得，
EF2=AE2+AF 2=52+122=132，所以EF=13。
点评 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过对本题的解答，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.
一、分类思想
例1.（2013年贵州黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.
二、方程思想
例2.（2013年山东济南）如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）
A.12mB.13mC.16mD.17m
分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.
解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.
在RtABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.
解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.
三、整体思想
例3.（2013年江苏扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.
分析：设矩形的两邻边长分别为a、b（a>b），则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.
解：设矩形的两邻边长分别为a、b （a>b），则a-b=2.
五、数形结合思想
例5.（2013年湖南张家界）如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动.当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.
分析：易知OD=5，要使ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆；也可以点D为圆心，OD为半径作圆.
解：由C（10，0）可知OD=5.
（1）以点O为圆心，OD为半径作圆交边
六、构造思想例6.同例3
分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.
【摘要】 在数学课堂发现学生的兴趣点，激发学生的学习兴趣，利用多样的手段去促进学生提高学习成绩，是老师的主要任务. 因此，我们必须把握自主、探究、合作的学习模式. 本文以三角形勾股定理的证明为例，简要地谈谈帮助学生完成学习任务的几点看法.
【关键词】 初中数学；三角形；勾股定理
《义务教育阶段数学课程标准》提出，“在义务教育阶段，数学必须面向全体学生，必须注重基础性、普及性和发展性”.学生逻辑思维能力和抽象思维能力的培养是数学教学的重要目标，因此调动各方面的课程资源，才能最大限度地发掘学生的学习能力.
一、欧几里得的证明方法
如图1，这是早在两千多年前的数学名著《几何原本》中提出的关于勾股定理的证明，通过边长为a，b，c的三个正方形搭建一个直角三角形，并作辅助线CD，CL，FB，其中CL垂直于DE并与AB交于M点，还需要确保HB垂直于FH.
因为AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠CAD，所以 FAB ≌ CAD，因为FAB的面积等于 a2，CAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，所以 矩形ADLM的面积为a2. 同理可证，矩形MLEB的面积为b2.
因为正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积，所以可以得出结论：c2 = a2 + b2，即a2 + b2 = c2.
这一证明方法，给学生提供了通过图形的面积去分析边长关系的重要方法. 首先，就是在于∠BCA必须是直角，这样才能维持点H，B，C在同一条直线上，从而建立一个直角三角形ABC；其次，必须给学生指出给交点命名一个字母符号，才不会遗忘一些关键信息；最后，确定直角三角形ABC三边之间的关系.
数学的教学不仅需要围绕“知识与能力”展开，更重要的是需要让学生产生“情感态度和价值观”上的共鸣. 欧几里得在《几何原本》中，以这个定理为中心，开启了自己的数学框架体系，也为后人在学习数学的提供了宝贵的财富. 这些情感也需要教师在谈及图形引导时进行潜移默化的教育.
二、美国总统的证明方法
时间倒回到1876年，当时正值黄昏，在公园里，有两个孩子嘈杂的吵闹声惊动了周围许多人，其中也包括未来的美国总统加菲尔德. 两个孩子正在为直角三角形的边长讨论着，这激发了他仔细研究“勾股定理”的兴趣. 不久之后，他公开发表了自己的证明方法. 加菲尔德身为总统却为孩子的数学问题苦思冥想，这对于总是抱怨成绩不好却不愿意努力学习的学生来说，应该说是非常好的教育案例.
如图2，图形ABCD是一个直角梯形，以∠DAE为直角的三角形和以∠CBE为直角的三角形是全等三角形，两个三角形的三条边a，b，c完全相等，图形的基本关系确定之后，下面便可以开始证明.
第一步，寻找等式关系，根据已知条件，DAE和CBE是全等三角形，所以它们对应的每一条边和每一条角都相等，∠AEB为平角180°，加上∠DAE和∠EBC都为直角，证明∠DEC为直角便不是什么难事了. 紧接着依据边EC和DE为长度相等的边，判定DEC为等腰直角三角形也就顺理成章了. 证明如下：因为RtEAD ≌ RtCBE， 所以∠ADE = ∠BEC. 同时∠AED + ∠ADE = 90°，所以 ∠AED + ∠BEC = 90°，还能得出∠DEC = 180° - 90° = 90°，最终可以确定DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 c2.
第二步，建立破题的等式关系，根据边长的关系算出DEC的面积的根本目的还是在于建立另外一个等式关系， 那就是直角梯形ABCD的面积等于三个直角三角形面积之和，即直角梯形ABCD的面积 = DAE的面积 + EBC的面积 + DEC的面积. 因为∠DAE = 90°， ∠EBC = 90°，所以AD∥BC，并可以证明ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 （a + b）2，即 （a + b）2 = 2 × ab + c2 . 最终可以得出结论a2 + b2 = c2.
通过这两个等式，我们便很容易地证明出了“勾股定理”，这个方法十分简便地描述出了三角形各个边长的关系，还确定了各个面积之间的关系.
三、课堂通常的证明方法
虽然说相对于欧几里得在《几何原本》当中记录的方法，总统证明法已经要简单许多，但是从初中生的知识基础而言，课堂通常使用的方法要更加简便易懂. 这是为学习基础薄弱的同学准备的，也是为学习能力较强的同学打好基础的重要手段.
如图3，将四个全等三角形进行组合，拼凑出一个边长为a + b的正方形，这样便形成了一个明显的面积相等的等式，再根据边角关系可以确定中间的图形为边长为c的正方形
四、小 结
初中数学教学是一个动态生成的过程，教师应该尽可能多地为学生提供学习资源和平台. 从“勾股定理”的证明来看，教师提供多种证明的方法和思路，对于开拓学生的图形思维能力有很大的帮助. 结合知名数学人物在学习和研究数学时表现出来的积极与进取的精神进行教学，对于激励学生学好数学，实现情感态度的升华有重要作用.
摘要：创造性地使用教材主要表现在对教材的灵活运用和对课程资源的综合、合理、有效利用。它需要教师具有较强的课程意识，准确把握教材编写意图和教学目的，避免形式化、极端化倾向。在创造性地使用教材的过程中教师的专业化水平将得到飞速提高。
关键词：教师；教材使用；创造性；勾股定理
本次课程改革无论是在课程设置上还是在课程内容及教材编排方式的更新上都给教师提供了广阔的创造空间。它带来教学观念、方式的一大改变，就是要求打破原有的教学观、教材观，创造性地使用数学教材。这就要求教师在充分了解和把握课程标准、学科特点、教学目标、教材编写意图的基础上，以教材为载体，灵活有效地组织教学，拓展课堂教学空间。创造性地使用教材是教学内容与教学方式综合优化的过程；是课程标准、教材内容与学生生活实际相联系的结晶；是教师智慧与学生创造力的有效融合。
一、创造性的使用教材的内涵
创造性地使用教材主要表现在对教材的灵活运用和对课程资源的综合、合理、有效利用。它需要教师具有较强的课程意识，准确把握教材编写意图和教学目的，避免形式化、极端化倾向。在创造性地使用教材的过程中教师的专业化水平将得到飞速提高。
那究竟如何来创造性地使用教材呢？笔者拟通过人教版八年级下册《勾股定理》一课来具体阐述。在人教版的教学建议中，明确指出：《勾股定理》一课的教学目标是使学生了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程，掌握直角三角形的三边关系。为了达成教学目标，不同的教师创设任务的方式也有所不同。
二、课堂再现
课例1
1.提出问题。T：相传两千五百多年前，古希腊毕达哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的宾客都在尽情地欢乐。只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖发呆，原来朋友家的地面是用直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪就过去询问，谁知毕达哥拉斯突然站起来，大笑着跑回家了，他发现了直角三角形的某一些性质。同学们，你知道毕达哥拉斯发现了什么性质？你能发现什么？S1：我发现图中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我发现以直角边为边做出的正方形的两个面积之和等于斜边为边做出的正方形面积。T：我们发现A+B=C，由于这个三角形为特殊的直角等腰三角形。我们再来看几个直角边为整数的三角形，它们的面积是否依然存在这样关系？
2.解决问题。T：接下来我们一起来做个实验，大家看下图。A、B、C面积之间有什么关系？边长a、b、c之间存在什么样的关系？
老师发现有的同学不会算C的面积，于是请会算的同学说说计算思路。
S：我用的方法是补的，就是把这样以c为边的斜的正方形补成一个正放的大正方形。
先算出大正方形的面积，减去4块直角三角形的面积就得出C的面积了。
T：非常好，有没有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把这个大的正方形割成4个直角三角形和1个小的正方形。我们可用三角形的面积加上中间小正方形就是大的正方形的面积。
T：非常好。接下来，请大家仔细观察表格中的数据，请想一下，直角三角形三边可能存在哪些数量关系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本质。T：我们刚才进一步验证我们的猜想a2+b2=c2是成立的。那对于一般的直角三角形，两直角边为a、b斜边为c，是否都有a2+b2=c2？不要忘记，刚才我们在求大正方形的面积是如何求的？它给我们什么启示？其实历史对证明勾股定理有许多种，而我们中国古代数学家的证明思想是“以盈补虚，出入相补”。
T：2002年国际数学家大会放在北京举行，大会的会徽正是三国时期的数学家赵爽关于勾股定理证明的草图。同学们，请拿出纸笔证明一下。
S：我用大的正方形的面积等于四个直角三角形加上小正方形的面积。
T：运用面积不变，用割补的方法我们可以得到a2+b2=c2。
4.描述定义。T：下面我们给出勾股定理的表述。
命题：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学语言：ABC为直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教学总结。T：同学们，今天这节课我们学了勾股定理，那你学到了什么？S：用割补法进行勾股定理的证明。T：对，我们讲了中国古代以盈补虚的数学思想，那这种以面积来证明勾股定理的方法同时也体现了我们的数学上的数形结合的思想。这节课你还学到了哪些数学方法？S：从特殊到一般。T：我们从特殊的等腰直角三角形入手再探究有整数边的直角三角形，最后到一般直角三角形的证明。
分析：张老师本节课的重点放在定理的证明上，让学生充分体验逻辑推理的魅力。让学生自主探索、小组合作交流，直观理解勾股定理规律的发现，重视学生独立思考和探索能力的培养，在与同学交流学习中，通过取长补短，吸收同学意见，修正、完善自己的想法，探讨出利用割补法求面积的方法，就本节课的教学内容而言，掌握方法（割补法）和渗透学科思想（转化的思想）与知道结果同样重要。
课例2
1.引入课题（第一次活动）。T：请在方格纸上画面积最小的格点RtABC，教师用实物投影展示一位学生作品即如图ABC，并随即提问：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用计算面积法求AB的长？
S：可以把四个三角形拼成一个大正方形，得到正方形的面积为2，那正方形的边长也就是AB的长为■。
T：对于一个特殊的Rt确实有a2+b2=c2，但对于一般直角三角形能成立吗？
2.深入探究（第二次活动）。T：请各组利用手中的四个全等Rt纸板，拼出一个边长为C的正方形。（设定两直角边、斜边分别是a，b，c）学生合作后摆出了如下的两种图案：
T：对于摆法1，大正方形面积可有几种表示法？S：两种，一种是c2，另一种为4个直角三角形和与一个小正方形的面积。
T：小正方形边长为多少？S：b-a，把两种表示法等同起来（b-a）2+2ab=c2，化简整理得a2+b2=c2。
S：对于摆法2，也可得出a2+b2=c2。
3.强调定义。如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
4.总结拓展。T：关于勾股定理的证明方法有五百余种，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。下面我们来看几组勾股定理证明的简单介绍（介绍刘徽图、加菲尔德图），希望同学们课下也去思考一种证明勾股定理的方法。
分析：课例2中的两次活动都运用了动手操作的形式，非常符合中学生好奇性强的心理特点，几乎所有的学生都兴趣盎然地参与了整个学习活动，并在教师的提问下进行积极的思考与探索。新课程下的学生不希望老师经常给他们一些轻而易举就能解决的问题，有时他们渴望做一个探索者、研究者、论证家。而上面的两个活动正是为学生提供了这样的氛围与平台，使学生在合作学习中体会了从特殊到一般的论证思想，整个设计提倡多样化问题解决的思维方式，在活动中完成了思维的不断发展。最后老师展示了一些较为典型的证明方法激发学生思考，也为学生课下学习奠定基础。
三、创造性地使用教材
上述两位老师都在课堂中创造性地使用教材，那创造性地使用教材究竟有哪些可取之处呢？笔者认为有三点：首先，它要求教师要进一步树立课程意识，以新的课程观（学生观、教材观、课程资源观）来重新审视、规划教学目标、内容和方法——以更高、更宽的眼光来设计教学、看待孩子，而不仅仅局限在教材和一时的教学效果。其次，教师在创造性使用教材中应充分认识明确教学目的的重要性。每节课、每次活动都应有明确的教学目的，而不是为了创造性地使用教材而轻率、刻意地去更改教材内容等等。教学手段与教学目的和谐一致的原则是创造性教材使用的基本着眼点与归宿。最后，希望教师们在创造性地使用教材的过程中获得专业成长。一是广泛吸收各种教材的精华与长处，进行合理整合，逐步形成自己的东西；二是结合个人教学经验、研究成果和本地实际，尝试编制富有时代气息和地方特色的校本教材，从而进一步丰富和完善现行的教材体系。当教师在自己的教学活动中有了明显的课程意识和研究、探索意识，教师就不再是普通的“教书匠”，而是已经步入到学者型、专家型的实践研究者行列，其专业化教学水平必然得到全面发展与提高。
【摘 要】勾股定理是数学历史上最为古老的定理，也是初中数学中的一个非常重要的定理，其相关历史在《数学》书中以引入、例题、作业题、阅读材料等多种形式体现，为数学史融入课堂教学奠定了基础，使教学方式和处理方法更加灵活多样.鉴于此，本文以“勾股定理”的教学为例，结合自己教学实践和学习思考，阐述数学教学中勾股定理历史的融入.
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
摘要：对人教版和北师大版数学教材中“勾股定理”一章数学史编排模式的比较发现：两版本教材在数学史的设计上各具特色，都力求以多种方式呈现数学史，北师大版比人教版更加注重学生的实践操作能力和交流能力的培养，人教版更关注学生的情感；反思发现两版本教材在数学史融入教学中的弱点：数学史的运用过于浅显、缺乏与信息技术的整合。
关键词：数学史；勾股定理；教材比较
一、引言
数学史与数学课程的整合已成为当今数学教育界的一个热点话题。张奠宙先生指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出，“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，“它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致”。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的编写与修订过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。基于以上认识，本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。
二、调查与分析
首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书?摇数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表1。
从表1可以看出，在勾股定理这一章中两版本教材都呈现了大量史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据表1，两版本教材在本章各出现数学史11处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（人教版以“阅读与思考”呈现数学史料，北师大版以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在相关知识旁边以框架的形式对某些内容作简要介绍。）此外，北师大版第一节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。
三、章前内容和数学家的设计
人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。
两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。
四、对两版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在第一、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好的。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。
现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外，并没有涉及与信息技术有关的内容。“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，这些证法反映了东西方不同的文化。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。
摘 要：勾股定理是一个最基本、最重要的定理，它揭示了直角三角形的三边关系． 勾股定理这部分内容蕴涵着丰富的数学思想，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，从而使数学更容易理解和记忆，更好地提高学生的学习效果． 本文以勾股定理的教学为例，从五个方面浅谈其教学中体现的数学思想．
关键词：化归思想；数形结合思想；方程思想；分类讨论思想；整体思想
随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，更加注重培养学生的思维能力． 本文以勾股定理的教学为例，探讨在新课程教学中结合运用一些数学思想方法，通过转换思维角度，达到渗透数学思想、训练学生思维的目标．
化归思想
所谓化归思想，就是把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”，它具有不可逆转的单向性．
例1 已知ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC的值．
图1
评析：ABC为斜三角形，利用化归思想可化斜三角形为直角三角形，转化为用勾股定理解决的问题． 过A点作BC边上的高AE，将ABC分成两个特殊的直角三角形ABE与ACE，根据勾股定理，由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=2，再由∠C=45°，得AE=CE，求出CE=2，从而得到BC的值为2+2．
例2 小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师兴冲冲地来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当他们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机． 同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理．
图2
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化为一个数学问题．先在底面ABCD的RtABD中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=；再在对角平面D′DBB′的RtDBD′中，由DD′=1，BD=，求出BD′=，又因为≈1.7＞1.6，因而便可判断能将飞机模型完整地带上飞机．
例3 如图3所示是一个三块台阶，它的每一块的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，点A和点B是这个台阶两个相对的点，A点有一只蚂蚁，想到B点吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是________dm．
评析：求几何体表面的最短路程时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形（如图4），在RtACB中，AC=20 dm，BC=15 dm，由勾股定理易求出AB=25 dm，即蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是25 dm．
数形结合思想
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形有机结合来思考，是抽象思维与形象思维的结合． 通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的．
例4 A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到此次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
评析：本题的情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定的挑战性，如何将实际问题转化为数学模型（数形结合），是解决本题的关键．
如图5所示构造数学模型，作APBF，在RtABP中∠ABP=30°，AB=320 km，所以AP=160 km＜200 km，即A城受到这次台风的影响．
设AD=AC=200 km，在RtADP中，应用勾股定理，得DP= ==120 km，所以A城遭受风暴影响的时间为=6（小时）．
方程思想
方程思想就是根据问题的条件或结论，列出方程或方程组，通过解方程或方程组，从而使问题得到解决．
例5 折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，AE为折痕． 已知AB=8 cm，BC=10 cm，试求EC的长．
评析：由折叠重合可知ADE≌AFE，从而AD=AF=10 cm，DE=EF． 在RtABF中，AB=8 cm，由勾股定理容易求出BF==6 cm． 又因为BC=10 cm，易求CF=4 cm，再在RtCEF中，若设CE=x，则EF=DE=8-x，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，可构造方程x2+16=（8-x）2． 只要求出方程的解，问题便水到渠成．
分类讨论思想
分类讨论可以使解答更为严密完整，避免漏解的情况发生，分类时要引导学生按一定的标准，将问题分成既不重复又不遗漏的类别．
例6 已知在ABC中，AB=20，AC=15，高AD=12，求：（1）BC的长；（2）求ABC的面积．
评析：由于三角形的高线的位置随其形状的不同而改变，本题中若ABC为锐角三角形，则其高线在三角形的内部；若ABC为钝角三角形，则其高线在三角形的外部；若ABC为直角三角形，则其高线在三角形边上且与AC重合，而AC≠AD，所以ABC不为直角三角形．故本题只须分两种情况讨论（如图7）．
整体思想
整体思想就是把考虑的对象作为一个整体看待，进而解决问题的一种数学思想． 应用整体思想解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．
例7 已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积．
评析：若设两直角边长分别为a，b，因为a+b=10， 则b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，所以要直接求出a，b的值，只要用一元二次方程a2+（10-a）2=64可解．
但解这个方程较繁，而由S=ab联想到可运用整体思想：将ab视为一个整体，因为（a+b）2= a2+b2+2ab，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，所以S=ab=9，问题便顺利获解．
例8 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图8所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________．
评析：此题不可能分别求出S1，S2，S3，S4，但我们可以分别求出S1+S2，S3+S4． 例如S3+S4可用以下方法求得：易知RtABC≌RtCDE，所以AB=CD，BC=DE． 又CD2+DE2=CE2，而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，所以S3+S4=3，同理S1+S2=1，所以S1+S2+S3+S4=1+3=4．
以上是仅在勾股定理中体现的数学思想，只要我们平时多加留意，引导得当，学生的数学思维能力就会提高．
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